第七章計(jì)數(shù)原理（知識(shí)歸納題型突破）（17題型清單）（原卷版）

第七章計(jì)數(shù)原理（17題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記知識(shí)點(diǎn)01：分類加法計(jì)數(shù)原理（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：如果完成一件事情有類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,……在第類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.知識(shí)點(diǎn)02：分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）定義：完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：完成一件事需要個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,……做第步有種不同的方法,則完成這件事共有種不同的方法.知識(shí)點(diǎn)03：排列（1）定義：一般地,從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列.（2）相同排列：兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.知識(shí)點(diǎn)04：排列數(shù)與排列數(shù)公式（1）定義：從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)表示.（2）排列數(shù)公式①（連乘形式）：，，②（階乘形式），，（3）全排列：把個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列,叫做個(gè)元素的一個(gè)全排列,用符號(hào)表示.（4）階乘：正整數(shù)1到的連乘積,叫做的階乘,用符號(hào)表示.知識(shí)點(diǎn)05：組合（1）定義：一般地：從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素作為一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合.（2）相同組合：只要兩個(gè)組合的元素相同，無(wú)論元素的順序如何，都是相同的組合.（3）組合與排列的異同相同點(diǎn):組合與排列都是“從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素”.不同點(diǎn):組合要求元素“不管元素的順序合成一組”,而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”因此區(qū)分某一問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題,關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān),即交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有沒(méi)有影響,若有影響,則是排列問(wèn)題，若無(wú)影響，則是組合問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)06：組合數(shù)與組合數(shù)公式（1）組合數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中取出()個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)表示.（2）組合數(shù)公式或：（，）.規(guī)定：知識(shí)點(diǎn)07：組合數(shù)的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：（2）性質(zhì)2：知識(shí)點(diǎn)08：知識(shí)鏈接（1）（2）知識(shí)點(diǎn)09：二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念（1）二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于每個(gè)（），的展開式中共有個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，就可以得到二項(xiàng)展開式：（）.這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.（2）二項(xiàng)展開式公式中：，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式.（3）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為(),項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,包含符號(hào)等.（4）二項(xiàng)式定理的三種常見(jiàn)變形①②③知識(shí)點(diǎn)10：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)二項(xiàng)展開式中的()叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用表示,即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng):.通項(xiàng)體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項(xiàng)式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)11：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開式中與首尾兩端距離相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等：②增減性：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)遞減；③最大值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.④各二項(xiàng)式系數(shù)和：；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等：0303題型歸納題型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合例題1：（2324高二上·江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個(gè)不同的數(shù)作對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對(duì)數(shù)的值有（

）A．30個(gè) B．42個(gè) C．41個(gè) D．39個(gè)例題2：（2324高二下·江蘇蘇州·期末）若，則符合條件的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．81 B．90 C．108 D．114例題3：（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）為亮化城市，現(xiàn)在要把一條路上7盞燈全部改裝成彩色路燈，如果彩色路燈有紅、黃、藍(lán)共三種顏色，在安裝時(shí)要求相同顏色的路燈不能相鄰，而且每種顏色的路燈至少要有2盞，那么有多少種不同的安裝方法？鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·江蘇連云港·期中）甲、乙等5人計(jì)劃去上海、蘇州及青島三個(gè)城市調(diào)查農(nóng)民工薪資情況．每個(gè)人只能去一個(gè)城市，并且每個(gè)城市都要有人去，則不同的分配方案共有種數(shù)為（

）A．150 B．300 C．450 D．5402．（2324高二下·江蘇南京·期末）從0，1，2，，9這10個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，其中大于130的共有（

）A．520個(gè) B．631個(gè) C．632個(gè) D．647個(gè)3．（2324高三·全國(guó)·對(duì)口高考）甲廠生產(chǎn)的外殼有3種，顏色有4種．乙廠生產(chǎn)的形狀有4種，顏色有5種，且均與甲廠生產(chǎn)的不同．這兩廠生產(chǎn)的僅從外殼的形狀和顏色看，共有種．題型二實(shí)際問(wèn)題中的計(jì)數(shù)例題1：（2324高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）某物流公司需要安排四個(gè)區(qū)域的快遞運(yùn)送，公司現(xiàn)有甲、乙、丙三位快遞員可選派，要求每個(gè)區(qū)域只能有一個(gè)快遞員負(fù)責(zé)，每位快遞員至多負(fù)責(zé)兩個(gè)區(qū)域，則不同的安排方案共有（

）A．60種 B．54種 C．48種 D．36種例題2：（2324高二下·江西·開學(xué)考試）小王同學(xué)家3樓與4樓之間有8個(gè)臺(tái)階，已知小王一步可走一個(gè)或兩個(gè)臺(tái)階，那么他從3樓到4樓不同的走法總數(shù)為（

）A．28種 B．32種 C．34種 D．40種例題3：（多選）（2324高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)小球和4個(gè)小盒子，下面的結(jié)論正確的是（

）A．若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法B．若4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，且恰有2個(gè)空盒的放法共有18種C．若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，且恰有1個(gè)空盒的放法共有72種D．若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子，每個(gè)盒子一個(gè)小球，且小球的編號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同的方法共有9種鞏固訓(xùn)練1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）某人從上一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為二階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步，從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（

）種.A．10 B．9 C．8 D．122．（2324高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）甲組有男同學(xué)名，女同學(xué)名：乙組有名男同學(xué)、名女同學(xué)．若從甲、乙兩組中各選出名同學(xué)，則選出的人中恰有名女同學(xué)的不同選法共有（

）A．345種 B．225種 C．120種 D．690種3．（2324高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知一個(gè)袋內(nèi)有4只不同的紅球，6只不同的白球．現(xiàn)從中一次任取5只球，取一只紅球記2分，取一只白球記1分.(1)求總分不小于7分的取法共有多少種？(2)若要抽出總分為8的5個(gè)球排成一排，且僅有2個(gè)紅球相鄰，共有多少種不同的排法？題型三代數(shù)（幾何）中的計(jì)數(shù)問(wèn)題例題1：（2324高二下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）完全展開后的項(xiàng)數(shù)是（

）A．7 B．9 C．12 D．18例題2：（2425高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）古代中國(guó)的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出形狀相同的兩個(gè)陰陽(yáng)魚，陽(yáng)魚的頭部有個(gè)陰眼，陰魚的頭部有個(gè)陽(yáng)眼，表示萬(wàn)物都在相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，陰中有陽(yáng)，陽(yáng)中有陰，陰陽(yáng)相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律．由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取出4個(gè)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個(gè)數(shù)為．

例題3：（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）二維碼是一種由黑色和白色組成的雙色方格陣圖，規(guī)定如果一個(gè)的二維碼有對(duì)稱軸且繞其中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，稱其為“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)碼”，則“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)碼”的個(gè)數(shù)為.（用數(shù)字作答）鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）若從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中取出4個(gè)不同的數(shù)排成一排，依次記為a，b，c，d，則使得為偶數(shù)的不同排列方法有（

）A．1224種 B．1800種 C．984種 D．840種2．（2324高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，，則不同的有序集合對(duì)有種.3．（2425高三上·上?！るA段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且都是集合中的元素.又點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.題型四數(shù)字排列問(wèn)題例題1：（2324高二下·江蘇徐州·期末）用數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．48 B．60 C．96 D．120例題2：（2324高二下·河南洛陽(yáng)·期中）用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有（

）A．48個(gè) B．24個(gè) C．18個(gè) D．12個(gè)例題3：（2324高二下·江蘇·課后作業(yè)）用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字．(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的號(hào)碼？(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(4)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·福建福州·期中）定義：“各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1005，2013”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．20 B．56 C．84 D．1202．（2324高二下·天津南開·期中）用這個(gè)數(shù)字，可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)（

）A．720 B．648 C．320 D．3283．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）由數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有個(gè).題型五涂色問(wèn)題例題1：（2324高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有（

）種．A．480 B．600 C．360 D．750例題2：（2324高二下·江蘇南京·期中）如圖，用4種不同的顏色給圖中四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（

）A． B． C． D．例題3：（2324高二下·江蘇徐州·期中）如圖是一個(gè)由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方法有種.

鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·江蘇鹽城·期中）用4種不同的顏色給如圖所示的4塊區(qū)域上色，要求相鄰2塊涂不同的顏色，問(wèn)有（

）種不同的涂法？A．24 B．48 C．96 D．1202．（2324高二下·江蘇宿遷·期末）如圖，用四種不同顏色給圖中的五個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色．則不同的涂色方法共有種．3．（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）用6種不同顏色的粉筆寫黑板報(bào)，板報(bào)設(shè)計(jì)如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的粉筆，則該板報(bào)共有多少種不同的書寫方案？題型六元素位置有限制的排列問(wèn)題例題1：（2425高二上·江蘇常州·期末）某班一天上午有4節(jié)課，下午有2節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)、通技各一節(jié)課的課表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，體育課排在下午，不同的排法種數(shù)是（

）A． B． C． D．例題2：（2324高二下·江蘇南京·期末）即將暑假，小明一家5人計(jì)劃開車回趟老家，車子前排有駕駛座和副駕駛座，后排有3個(gè)座位．家人中只有小明和哥哥不會(huì)開車，且小明未成年只能坐在后排，則一共有種不同的乘坐方式．例題3：（2324高二下·江蘇南京·期中）晚會(huì)上共有7個(gè)節(jié)目，其中有4個(gè)不同的歌唱節(jié)目，2個(gè)不同的舞蹈節(jié)目和1個(gè)相聲節(jié)目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節(jié)目單.(1)2個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰；(2)前3個(gè)節(jié)目中既要有歌唱節(jié)目又要有舞蹈節(jié)目.鞏固訓(xùn)練1．（2425高一上·江蘇南京·自主招生）從1，2，3，…，29，30，中選三個(gè)不同的數(shù)，，，且滿足的數(shù)組的對(duì)數(shù)為（

）A．120 B．210 C．420 D．1052．（2324高二下·江蘇南通·期中）學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的8個(gè)節(jié)目的演出順序，學(xué)生的節(jié)目有6個(gè)，教師的節(jié)目有2個(gè)，如果教師的節(jié)目既不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，那么不同的排法數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2324高二下·江蘇南通·期末）電視臺(tái)有6個(gè)不同的節(jié)目準(zhǔn)備當(dāng)天播出，每半天播出3個(gè)節(jié)目，其中某電視劇和某專題報(bào)道必須在上午播出，則不同播出方案的種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．144題型七相鄰（不相鄰）問(wèn)題例題1：（2324高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）某電視臺(tái)計(jì)劃在五一期間某段時(shí)間連續(xù)播放5個(gè)廣告，其中2個(gè)不同的商業(yè)廣告和3個(gè)不同的公益廣告，要求第一個(gè)必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有（

）種.A．144 B．72 C．64 D．36例題2：（多選）（2324高二下·江蘇宿遷·期中）在青華中學(xué)舉行的課本劇大賽中，高二（16）班有3名男生，2名女生獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)將獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生排成一排合影，則（

）A．3名男生排在一起，有36種不同排法 B．2名女生不排在一起，有72種不同排法C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D．女生不站在兩端，有108種不同排法例題3：（2324高二下·江蘇徐州·期中）有8名同學(xué)站成一排照相，符合下列各題要求的不同排法共有多少種（用數(shù)字作答）？(1)甲同學(xué)既不站在排頭也不站在排尾；(2)甲?乙?丙三位同學(xué)兩兩不相鄰；(3)甲?乙兩同學(xué)相鄰，且丙?丁兩同學(xué)也相鄰；(4)甲?乙兩同學(xué)不相鄰，且乙?丙兩同學(xué)也不相鄰.鞏固訓(xùn)練1．（多選）（2324高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）2023年國(guó)外某智庫(kù)發(fā)布尖端技術(shù)研究國(guó)家競(jìng)爭(zhēng)力排名，在極超音速和水下無(wú)人機(jī)等23個(gè)領(lǐng)域中，中國(guó)在其中19個(gè)領(lǐng)域領(lǐng)先.某科技博主從這19個(gè)領(lǐng)域中選取了六個(gè)領(lǐng)域，準(zhǔn)備在2024年1月1—6日對(duì)公眾進(jìn)行介紹，每天隨機(jī)介紹其中一個(gè)領(lǐng)域，且每個(gè)領(lǐng)域只在其中一天介紹，則（

）A．與相鄰，共有240種排法B．相隔一天介紹的方法種數(shù)為96C．若與不相鄰，共有480種排法D．若在的前面，共有360種排法2．（2324高二下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）五種不同商品在貨架上排成一排，其中A，B兩種必須連排，而C，D兩種不能連排，則不同的排法共有種．3．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）把5個(gè)人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法有種．題型八間接法例題1：（2025·貴州安順·模擬預(yù)測(cè)）甲，乙兩名大學(xué)生計(jì)劃今年寒假分別從黃果樹風(fēng)景名勝區(qū)、龍宮景區(qū)、天龍屯堡景區(qū)、安順古城四個(gè)不同的景區(qū)中隨機(jī)選兩個(gè)景區(qū)前往旅游打卡，則這兩人恰好有一個(gè)景區(qū)相同的選法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種例題2：（2425高三上·山東日照·期末）從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、團(tuán)支書、學(xué)習(xí)委員，則甲、乙至多有人被選中的不同選法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種例題3：（多選）（2425高二上·河南駐馬店·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念，則（

）A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法C．5人站成一排，甲不在兩端，共有144種排法D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法鞏固訓(xùn)練1．（2425高三上·江西·期末）小明、小紅等5人報(bào)名學(xué)校的三類選修課(球類、武術(shù)類、田徑類)，規(guī)定每個(gè)人只能報(bào)其中的一類選修課，且每類選修課至少一人報(bào)名，則小明和小紅不報(bào)同一類選修課的情況有（

）A．132種 B．114種 C．96種 D．84種2．（2425高二上·河南駐馬店·階段練習(xí)）某中學(xué)高二年級(jí)入學(xué)進(jìn)行了一場(chǎng)為期一周的軍訓(xùn)，在軍訓(xùn)過(guò)程中，教官根據(jù)班級(jí)表現(xiàn)從各個(gè)維度進(jìn)行評(píng)分，最終評(píng)出“先進(jìn)集體”“作風(fēng)優(yōu)良班級(jí)”“紀(jì)律優(yōu)良班級(jí)”“素質(zhì)優(yōu)良班級(jí)”四個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)．已知總共有三個(gè)班級(jí)獲獎(jiǎng)，其中有兩個(gè)班級(jí)均獲得了“先進(jìn)集體”，剩余三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)每個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)均只有一個(gè)班級(jí)獲得，則所有的頒獎(jiǎng)方式有（

）A．57種 B．60種 C．114種 D．120種3．（2324高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）根據(jù)學(xué)校要求，錯(cuò)峰放學(xué)去食堂吃飯，高三年級(jí)五樓有4個(gè)班排隊(duì)，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，則四個(gè)班排隊(duì)吃飯的不同方案有種.（用數(shù)字作答）題型九幾何中的組合問(wèn)題例題1：（2324高二下·四川眉山·期末）一個(gè)直四棱柱的底面為梯形，這個(gè)四棱柱的每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)相連形成多條直線，這些直線最多能組成（

）對(duì)異面直線A．174 B．180 C．210 D．368例題2：（2324高三下·江蘇泰州·階段練習(xí)）將“用一條線段聯(lián)結(jié)兩個(gè)點(diǎn)”稱為一次操作，把操作得到的線段稱為“邊”．若單位圓上個(gè)顏色不相同且位置固定的點(diǎn)經(jīng)過(guò)次操作后，從任意一點(diǎn)出發(fā)，沿著邊可以到達(dá)其他任意點(diǎn)，就稱這n個(gè)點(diǎn)和k條邊所構(gòu)成的圖形滿足“條件”，并將所有滿足“條件”的圖形個(gè)數(shù)記為，則．例題3：（2324高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）平面上有9個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，除此外無(wú)3點(diǎn)共線．(1)這9個(gè)點(diǎn)，可確定多少條不同的直線？(2)以這9個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)三角形？(3)以這9個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)四邊形？鞏固訓(xùn)練1．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）正八面體中，以其頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的個(gè)數(shù)為（用數(shù)字作答）．2．（2324高二下·河南洛陽(yáng)·期中）已知正四棱錐，從底面四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D和四條側(cè)棱的中點(diǎn)共8個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)作為三棱錐的頂點(diǎn)，可得三棱錐個(gè).（用數(shù)字作答）3．（2425高三·上?！るS堂練習(xí)）連結(jié)正三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)，可以組成個(gè)四面體．題型十分組分配問(wèn)題例題1：（2324高二下·福建福州·階段練習(xí)）正值元宵佳節(jié)，赤峰市“盛世中華?龍舞紅山”紀(jì)念紅山文化命名七十周年大型新春祈?；顒?dòng)中，有5名大學(xué)生將前往3處場(chǎng)地開展志愿服務(wù)工作.若要求每處場(chǎng)地都要有志愿者，每名志愿者都必須參加且只能去一處場(chǎng)地，則當(dāng)甲去場(chǎng)地時(shí)，場(chǎng)地有且只有1名志愿者的概率為（

）A． B． C． D．例題2：（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）某高校有8名研究生要去小興安嶺采集植物樣本，其中男生6人，女生2人，將這8人分成兩組，若要求每組至少2人，且兩名女生不單獨(dú)成組，則不同的分組方案共有（

）A．240種 B．158種 C．126種 D．118種例題3：（2425高三上·黑龍江大慶·期中）有5項(xiàng)不同的任務(wù)安排給甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一項(xiàng)且每項(xiàng)任務(wù)只安排一人完成，則分配給甲的任務(wù)不超過(guò)兩項(xiàng)的安排方法有（

）A．260種 B．220種 C．160種 D．130種例題4：（2425高三上·內(nèi)蒙古通遼·期末）為深入貫徹黨的二十大精神，我市邀請(qǐng)、、、、五位黨的二十大代表分別到一中、五中、鐵中、蒙中做宣講工作，每個(gè)學(xué)校至少一人參加.若其中、因只會(huì)漢語(yǔ)不能到蒙中宣講，其余三人蒙漢兼通，可選派到任何學(xué)校宣講.則不同的選派方案共有種.鞏固訓(xùn)練1．（2425高三下·山東聊城·開學(xué)考試）寒假期間某校6名同學(xué)打算去安徽旅游，體驗(yàn)皖北與皖南當(dāng)?shù)氐娘L(fēng)俗與文化，現(xiàn)有黃山、宏村、八里河三個(gè)景區(qū)可供選擇，若每個(gè)景區(qū)中至少有1名同學(xué)前往打卡，則不同方案的種數(shù)為（

）A．180 B．360 C．450 D．5402．（2425高二上·江西贛州·期末）2024年是紅軍長(zhǎng)征出發(fā)九十周年，習(xí)近平總書記考察江西于都五周年，為弘揚(yáng)紅色文化、促進(jìn)健康生活方式，江西省體育局、贛州市人民政府共同舉辦了一場(chǎng)2024于都紅色半程馬拉松比賽．某單位6名志愿者準(zhǔn)備分成三組前往比賽途徑的中央紅軍長(zhǎng)征出發(fā)地紀(jì)念碑、金山大道、于都體育中心這三個(gè)站點(diǎn)進(jìn)行志愿者活動(dòng)，要求每組至少有1名且最多有3名志愿者，則不同安排的方法數(shù)為（

）A．540 B．450 C．360 D．1803．（遼寧省丹東市20242025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）將甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三個(gè)地區(qū)參加公益活動(dòng)，要求每個(gè)地區(qū)都要有志愿者且最多不超過(guò)2人，則不同的分配方案有（

）A．90種 B．180種 C．60種 D．120種4．（2425高三上·河北邢臺(tái)·期末）運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個(gè)場(chǎng)地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．72 B．96 C．114 D．124題型十一隔板法例題1：（2425高三上·陜西西安·期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著之一，其中記載了關(guān)于粟米分配的問(wèn)題．現(xiàn)將14斗粟米分給4個(gè)人，每人分到的粟米斗數(shù)均為整數(shù)，每人至少分到1斗粟米，則不同的分配方法有（

）A．715種 B．572種 C．312種 D．286種例題2：（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）不等式，其中是非負(fù)整數(shù)，則使不等式成立的三元數(shù)組有多少組（

）A．560 B．455 C．91 D．55例題3：（2425高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）2024年9月1日出版的第17期《求是》雜志發(fā)表了中共中央總書記、國(guó)家主席、中央軍委主席習(xí)近平的重要文章《培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人》·某校積極響應(yīng)總書記的指示，創(chuàng)造性提升學(xué)生勞動(dòng)意識(shí)和社會(huì)實(shí)踐能力，利用周末進(jìn)社區(qū)義務(wù)勞動(dòng).高三年級(jí)共有6個(gè)班，其中只有1班有2個(gè)勞動(dòng)模范，本次義務(wù)勞動(dòng)一共20個(gè)名額，勞動(dòng)模范必須參加并不占名額，每個(gè)班都必須有人參加.給出以下四個(gè)命題：①若1班不再分配名額，則共有種分配方法；②若1班有除勞動(dòng)模范之外的學(xué)生參加，則共有種分配方法；③若每個(gè)班至少3人參加，則共有90種分配方法；④若每個(gè)班至少3人參加，則共有126種分配方法.其中正確命題的序號(hào)是.鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·河南漯河·階段練習(xí)）某學(xué)校利用周末時(shí)間組織學(xué)生進(jìn)行志愿者服務(wù)，高二年級(jí)共6個(gè)班，其中（1）班有2個(gè)志愿者隊(duì)長(zhǎng)，本次志愿者服務(wù)一共20個(gè)名額，志愿者隊(duì)長(zhǎng)必須參加且不占名額，若每個(gè)班至少有3人參加，則共有（

）種分配方法.A．90 B．60 C．126 D．1202．（2425高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）把8個(gè)相同的籃球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發(fā)種數(shù)為（

）A．70 B．99 C．110 D．1653．（2324高二下·山西臨汾·期中）將10個(gè)詩(shī)歌朗誦比賽名額全部分給6個(gè)不同的班，每個(gè)班至少有1個(gè)名額，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．56 B．126 C．210 D．462題型十二系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)例題1：（2425高三上·江蘇無(wú)錫·期末）在二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和是32，則展開式中的系數(shù)為（

）A．40 B．80 C． D．例題2：（2324高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）的展開式中的系數(shù)為（

）A．20 B． C．28 D．例題3：（2324高二下·江蘇·期中）若的展開式中，僅第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n等于．例題4：（2425高三上·江蘇常州·期末）已知的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為30，則．鞏固訓(xùn)練1．（2024·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）在的展開式中，若第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于第10項(xiàng)與第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，則（

）A．16 B．15 C．14 D．132．（2324高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，含的項(xiàng)系數(shù)是（

）A．132 B．240 C．480 D．1963．（2324高二下·四川南充·階段練習(xí)）的展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（

）A．9 B．10 C．11 D．124．（2425高三上·江蘇蘇州·期末）已知，則的值為．題型十三有理項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)問(wèn)題例題1：（2425高三上·江蘇·期末）在的展開式中，系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是（

）A．9 B．4 C．3 D．2例題2：（2425高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）例題3：（2324高二下·江蘇宿遷·期末）在的展開式中，第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次成等差數(shù)列．(1)證明展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開式中所有的有理項(xiàng)．鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知（其中）的展開式中的第7項(xiàng)為7，則展開式中的有理項(xiàng)共有項(xiàng).2．（2425高三上·江蘇·階段練習(xí)）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．3．（2324高二下·江蘇泰州·期末）在的展開式中，第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)之比為．(1)求的值；(2)求展開式中的有理項(xiàng)．題型十四系數(shù)最大（?。├}1：（2324高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第5項(xiàng)和第6項(xiàng)例題2：（2324高二下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知的二項(xiàng)展開式共有項(xiàng)，完成以下問(wèn)題：(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)展開式中是否存在常數(shù)項(xiàng)，若有，請(qǐng)求出常數(shù)項(xiàng)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng).（注：結(jié)果用數(shù)字作答）例題3：（2324高二下·江蘇連云港·期中）在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，且第二項(xiàng)的系數(shù)大于1(1)求展開式中含的項(xiàng)；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．鞏固訓(xùn)練1．（2324高二下·江蘇泰州·期末）已知的展開式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第（

）項(xiàng)A．2 B．3 C．4 D．2或33．（2324高二下·江蘇南京·期中）在的展開式中，(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為第幾項(xiàng)．題型十五賦值法求系數(shù)和例題1：（2324高二下·湖南常德·期中）已知，則（

）A． B． C． D．例題2：（多選）（2324高二下·福建泉州·階段練習(xí)）若，則（

）A． B．C． D．例題3：（2324高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)，求：(1)；(2)鞏固訓(xùn)練1．（多選）（2324高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知，下列等式正確的是（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知，當(dāng)時(shí)，則的值是3．（2425高二上·江蘇常州·期末）設(shè)，求值：(1)；(2)；(3)．題型十六