2024-2025學(xué)年福建省寧德一中九年級(jí)（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷 (含解析)

2024-2025學(xué)年福建省寧德一中九年級(jí)（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）從正面觀察如圖所示的幾何體，看到的形狀圖是A． B． C． D．2．（4分）已知，則的值為A． B． C． D．3．（4分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列各點(diǎn)中也在該函數(shù)圖象上的是A． B． C． D．4．（4分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A．9， B． C． D．5．（4分）在一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)紅球，5個(gè)白球和若干個(gè)黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在附近，則口袋中黑球可能有A．10個(gè) B．11個(gè) C．12個(gè) D．13個(gè)6．（4分）如圖，在的矩形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，若的三個(gè)頂點(diǎn)在圖中相應(yīng)的格點(diǎn)上，則的值為A．1 B． C． D．7．（4分）如圖，，是上直徑兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)，則A． B． C． D．8．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源．木桿兩端的坐標(biāo)分別為，．則木桿在軸上的投影長(zhǎng)為A．3 B．5 C．6 D．79．（4分）一次函數(shù)與反比例函數(shù)，為常數(shù)且均不等于在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是A． B． C． D．10．（4分）已知二次函數(shù)（其中是自變量），當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，則的取值范圍為A． B． C．或 D．或二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若是銳角，，則度．12．（4分）如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，已知，的面積為2，則的面積為．13．（4分）如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，連接，．若△的面積等于3，則的值為．14．（4分）如圖拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則不等式的解集為．15．（4分）如圖，在矩形中，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧過(guò)與的交點(diǎn)，連接．若，，則．16．（4分）京劇是中國(guó)的一門傳統(tǒng)文化藝術(shù)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，某臉譜輪廓可以近似地看成是一個(gè)半圓與拋物線的一部分組合成的封閉圖形，記作圖形．點(diǎn)，，，分別是圖形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，為半圓的直徑，且，半圓圓心的坐標(biāo)為．關(guān)于圖形給出下列五個(gè)結(jié)論，其中正確的是（填序號(hào)）．①圖形關(guān)于直線對(duì)稱；②線段的長(zhǎng)為；③圖形圍成區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有12個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④當(dāng)時(shí)，直線與圖形有兩個(gè)公共點(diǎn)；⑤圖形的面積小于．三、解答題（本大題共9小題，共86分）17．（9分）計(jì)算：．18．（9分）已知如圖，，分別是△的邊，上的點(diǎn)，，，，．求的長(zhǎng)度．19．（9分）如圖，小明想要用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力為，阻力臂長(zhǎng)為．設(shè)動(dòng)力為，動(dòng)力臂長(zhǎng)為．（杠桿平衡時(shí)，動(dòng)力動(dòng)力臂阻力阻力臂，圖中撬棍本身所受的重力忽略不計(jì)）（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式．（2）當(dāng)動(dòng)力臂長(zhǎng)為時(shí)，撬動(dòng)石頭至少需要多大的力？20．（9分）隨著高鐵、地鐵的大量興建以及鐵路的改擴(kuò)建，我國(guó)人民的出行方式越來(lái)越多，出行越來(lái)越便捷．為保障旅客快捷、安全的出入車站，每個(gè)車站都修建了如圖所示的出入閘口．某車站有四個(gè)出入閘口，分別記為、、、．（1）一名乘客通過(guò)該站閘口時(shí)，求他選擇閘口通過(guò)的概率；（2）當(dāng)兩名乘客通過(guò)該站閘口時(shí)，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求兩名乘客選擇相同閘口通過(guò)的概率．21．（9分）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，請(qǐng)用配方法探索有實(shí)數(shù)根的條件，并推導(dǎo)出求根公式．22．（9分）如圖大樓的高度為，小可為了測(cè)量大樓頂部旗桿的高度，他從大樓底部處出發(fā)，沿水平地面前行到達(dá)處，再沿著斜坡走到達(dá)處，測(cè)得旗桿頂端的仰角為．已知斜坡與水平面的夾角，圖中點(diǎn)，，，，，在同一平面內(nèi)（結(jié)果精確到（1）求斜坡的鉛直高度和水平寬度．（2）求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，23．（9分）把邊長(zhǎng)為的正方形硬紙板（如圖，在四個(gè)頂點(diǎn)處分別剪掉一個(gè)小正方形，折成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋盒子（如圖．若剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為，長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋盒子的側(cè)面積為．（1）①求與的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫(xiě)出的取值范圍．（2）求當(dāng)取何值時(shí)，達(dá)到最大，并求出最大值．24．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）該拋物線的表達(dá)式為；（2）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（14分）如圖，在矩形中，，點(diǎn)，分別在邊，上（均不與端點(diǎn)重合），且，以和為鄰邊作矩形，連接，．（1）如圖②，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為．【類比探究】（2）如圖③，當(dāng)時(shí)，矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，則與之間的數(shù)量關(guān)系與（1）是否發(fā)生變化？若變化，求出數(shù)量關(guān)系，若不變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的條件下，已知，，當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至，，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．

參考答案題號(hào)12345678910答案ABBDBBBCDD一、單選題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）從正面觀察如圖所示的幾何體，看到的形狀圖是A． B． C． D．解：從正面看，下方長(zhǎng)方體看到的是長(zhǎng)方形，上方圓柱看到的也是長(zhǎng)方形，且兩個(gè)長(zhǎng)方形在左側(cè)位置對(duì)齊，故選：．2．（4分）已知，則的值為A． B． C． D．解：設(shè)，，則，故選：．3．（4分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列各點(diǎn)中也在該函數(shù)圖象上的是A． B． C． D．解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，、，故此點(diǎn)不在此函數(shù)圖象上；、，故此點(diǎn)在此函數(shù)圖象上；、，故此點(diǎn)不在此函數(shù)圖象上；、，故此點(diǎn)不在此函數(shù)圖象上．故選：．4．（4分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A．9， B． C． D．解：，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：．5．（4分）在一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)紅球，5個(gè)白球和若干個(gè)黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在附近，則口袋中黑球可能有A．10個(gè) B．11個(gè) C．12個(gè) D．13個(gè)解：設(shè)黑球個(gè)數(shù)為：個(gè)，摸到白色球的頻率穩(wěn)定在左右，口袋中得到白色球的概率為，，解得：，故黑球的個(gè)數(shù)為11個(gè)．故選：．6．（4分）如圖，在的矩形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，若的三個(gè)頂點(diǎn)在圖中相應(yīng)的格點(diǎn)上，則的值為A．1 B． C． D．解：在直角中，，，則．故選：．7．（4分）如圖，，是上直徑兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)，則A． B． C． D．解：是的直徑，，，，，故選：．8．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個(gè)光源．木桿兩端的坐標(biāo)分別為，．則木桿在軸上的投影長(zhǎng)為A．3 B．5 C．6 D．7解：延長(zhǎng)、分別交軸于、，作軸于，交于，如圖，，，．，，，，△，，即，，故選：．9．（4分）一次函數(shù)與反比例函數(shù)，為常數(shù)且均不等于在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是A． B． C． D．解：、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則，，所以，則反比例應(yīng)該位于第一、三象限，故本選項(xiàng)不可能；、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則，，所以，則反比例應(yīng)該位于第二、四象限，故本選項(xiàng)不可能；、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則，，所以，則反比例應(yīng)該位于第二、四象限，故本選項(xiàng)不可能；、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則，，所以，則反比例應(yīng)該位于第二、四象限，故本選項(xiàng)有可能；故選：．10．（4分）已知二次函數(shù)（其中是自變量），當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，則的取值范圍為A． B． C．或 D．或解：當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下；當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，對(duì)稱軸為直線，時(shí)，，時(shí)，，解得，故，當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均為正數(shù)，對(duì)稱軸為直線，時(shí)，，，故，故選：．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若是銳角，，則30度．解：是銳角，，．12．（4分）如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，已知，的面積為2，則的面積為18．解：與位似，點(diǎn)為位似中心，，，，，，．故答案為：18．13．（4分）如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，連接，．若△的面積等于3，則的值為6．解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，△的面積△的面積，△的面積，，；又反比例函數(shù)的圖象的一支位于第一象限，．．故答案為：6．14．（4分）如圖拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則不等式的解集為．解：根據(jù)圖示知，拋物線圖象的對(duì)稱軸是直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，拋物線圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，即拋物線圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，不等式，即，拋物線的圖象在軸上方，不等式的解集是．故答案為：．15．（4分）如圖，在矩形中，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓弧過(guò)與的交點(diǎn)，連接．若，，則3．解：四邊形是矩形，，，為的中點(diǎn)，，，，故答案為：3．16．（4分）京劇是中國(guó)的一門傳統(tǒng)文化藝術(shù)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，某臉譜輪廓可以近似地看成是一個(gè)半圓與拋物線的一部分組合成的封閉圖形，記作圖形．點(diǎn)，，，分別是圖形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，為半圓的直徑，且，半圓圓心的坐標(biāo)為．關(guān)于圖形給出下列五個(gè)結(jié)論，其中正確的是①②（填序號(hào)）．①圖形關(guān)于直線對(duì)稱；②線段的長(zhǎng)為；③圖形圍成區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有12個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④當(dāng)時(shí)，直線與圖形有兩個(gè)公共點(diǎn)；⑤圖形的面積小于．解：點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作，由圖象可知：圖形關(guān)于直線對(duì)稱，故①正確；為半圓的直徑，且，半圓圓心的坐標(biāo)為．圓的半徑為2，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故②正確；圖形圍成區(qū)域內(nèi)（不含邊界）恰有13個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線與圖形有兩個(gè)公共點(diǎn)，故④錯(cuò)誤；，，圖形的面積大于，故⑤錯(cuò)誤．故答案為：①②．三、解答題（本大題共9小題，共86分）17．（9分）計(jì)算：．解：．18．（9分）已知如圖，，分別是△的邊，上的點(diǎn)，，，，．求的長(zhǎng)度．解：，，△△，，，，，，．19．（9分）如圖，小明想要用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力為，阻力臂長(zhǎng)為．設(shè)動(dòng)力為，動(dòng)力臂長(zhǎng)為．（杠桿平衡時(shí)，動(dòng)力動(dòng)力臂阻力阻力臂，圖中撬棍本身所受的重力忽略不計(jì)）（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式．（2）當(dāng)動(dòng)力臂長(zhǎng)為時(shí)，撬動(dòng)石頭至少需要多大的力？解：（1）由題意可得：，則，即關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為；（2），當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)動(dòng)力臂長(zhǎng)為時(shí)，撬動(dòng)石頭至少需要的力．20．（9分）隨著高鐵、地鐵的大量興建以及鐵路的改擴(kuò)建，我國(guó)人民的出行方式越來(lái)越多，出行越來(lái)越便捷．為保障旅客快捷、安全的出入車站，每個(gè)車站都修建了如圖所示的出入閘口．某車站有四個(gè)出入閘口，分別記為、、、．（1）一名乘客通過(guò)該站閘口時(shí)，求他選擇閘口通過(guò)的概率；（2）當(dāng)兩名乘客通過(guò)該站閘口時(shí)，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求兩名乘客選擇相同閘口通過(guò)的概率．解：（1）一名乘客通過(guò)該站閘口時(shí)，他選擇閘口通過(guò)的概率為；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖得：由樹(shù)狀圖可知：有16種等可能的結(jié)果，其中兩名乘客選擇相同閘口通過(guò)的有4種結(jié)果，兩名乘客選擇相同閘口通過(guò)的概率．21．（9分）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，請(qǐng)用配方法探索有實(shí)數(shù)根的條件，并推導(dǎo)出求根公式．解：，，，即，，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，．22．（9分）如圖大樓的高度為，小可為了測(cè)量大樓頂部旗桿的高度，他從大樓底部處出發(fā)，沿水平地面前行到達(dá)處，再沿著斜坡走到達(dá)處，測(cè)得旗桿頂端的仰角為．已知斜坡與水平面的夾角，圖中點(diǎn)，，，，，在同一平面內(nèi)（結(jié)果精確到（1）求斜坡的鉛直高度和水平寬度．（2）求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，解：（1）在中，，，，，斜坡的鉛直高度約為，水平寬度約為；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，在中，，，，旗桿的高度約為．23．（9分）把邊長(zhǎng)為的正方形硬紙板（如圖，在四個(gè)頂點(diǎn)處分別剪掉一個(gè)小正方形，折成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋盒子（如圖．若剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為，長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋盒子的側(cè)面積為．（1）①求與的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫(xiě)出的取值范圍．（2）求當(dāng)取何值時(shí)，達(dá)到最大，并求出最大值．解：（1）①由題意得，長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋盒子的底面邊長(zhǎng)為，盒子的側(cè)面積．②由題意，，．（2）由題意得，，即，即，當(dāng)時(shí)，．即當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為時(shí)，長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大為．24．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）該拋物線的表達(dá)式為；（2）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，故答案為：；（2）方法一：作于，交于，如圖：在中，令得，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，直線的關(guān)系式為：，由得：（舍去），，，，方法二：過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，交于，如圖：，為等腰直角三角形，，，，，，，直線的解析式為，由得：（舍去），，，；（3）在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在拋物線上，理由如下：點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)在上方時(shí)，作對(duì)稱軸于，對(duì)稱軸于，，，對(duì)稱軸為直線，，設(shè)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，，，，，，，，，恰好落在拋物線上，，解得，，，當(dāng)在上方時(shí)，作對(duì)稱軸于，如圖：由圖可得，，關(guān)于直線對(duì)稱，是等腰直角三角形，△，是等腰直角三角形，，，綜上所述：或．25．（14分）如圖，在矩形中，，點(diǎn)，分別在邊，上（均不與端點(diǎn)重合），且，以和為鄰邊作矩形，連接，．（1）如圖②，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為．【類比