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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1。理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.掌握向量a與b的數(shù)量積公式及其投影的定義.3.掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.4.會(huì)求向量的數(shù)量積、長(zhǎng)度、夾角,會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決向量的垂直問(wèn)題。1.平面向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a與b,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),其中θ是a與b的夾角記法記作a·b,即a·b=|a||b|c(diǎn)osθ規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0投影|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|c(diǎn)osθ的乘積思考1向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是向量還是實(shí)數(shù)?如果是向量,如何確定大小和方向?如果是實(shí)數(shù),如何確定它的符號(hào)?提示:向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù),而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦之積.當(dāng)a,b為非零向量時(shí),由a·b=|a||b|cosθ,a·b的符號(hào)由a與b的夾角θ的余弦值來(lái)確定.當(dāng)0°≤θ〈90°時(shí),a·b〉0;當(dāng)90°<θ≤180°時(shí),a·b〈0,當(dāng)a與b至少有一個(gè)為零向量或θ=90°時(shí),a·b=0。思考2根據(jù)投影的定義,如何利用兩向量的數(shù)量積求向量a在向量b上的投影?提示:根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知,向量a在向量b上的投影為|a|c(diǎn)osθ,又a·b=|a||b|c(diǎn)osθ,所以cosθ=,所以向量a在向量b上的投影為|a|c(diǎn)osθ=|a|×=。2.運(yùn)算律交換律a·b=b·a結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c思考3平面向量數(shù)量積運(yùn)算適合乘法結(jié)合律嗎?提示:數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律,不適合乘法結(jié)合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c),這是因?yàn)?a·b)c表示一個(gè)與c共線(xiàn)的向量,而a(b·c)表示一個(gè)與a共線(xiàn)的向量,而c與a不一定共線(xiàn).3.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b為兩個(gè)非零向量,a與b的夾角為θ.垂直a⊥b?a·b=0共線(xiàn)同向a·b=|a||b|a·a=a2=|a|2,|a|=反向a·b=-|a||b|絕對(duì)值|a·b|≤|a||b|符號(hào)a·b>0θ∈a·b=0θ=a·b<0θ∈夾角公式cosθ=思考4當(dāng)兩
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