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學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精學必求其心得,業(yè)必貴于專精預習導航課程目標學習脈絡(luò)1。理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.掌握向量a與b的數(shù)量積公式及其投影的定義.3.掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律.4.會求向量的數(shù)量積、長度、夾角,會用兩個向量的數(shù)量積解決向量的垂直問題。1.平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a與b,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),其中θ是a與b的夾角記法記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0投影|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積思考1向量的數(shù)量積的運算結(jié)果是向量還是實數(shù)?如果是向量,如何確定大小和方向?如果是實數(shù),如何確定它的符號?提示:向量的數(shù)量積是實數(shù),而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦之積.當a,b為非零向量時,由a·b=|a||b|cosθ,a·b的符號由a與b的夾角θ的余弦值來確定.當0°≤θ〈90°時,a·b〉0;當90°<θ≤180°時,a·b〈0,當a與b至少有一個為零向量或θ=90°時,a·b=0。思考2根據(jù)投影的定義,如何利用兩向量的數(shù)量積求向量a在向量b上的投影?提示:根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知,向量a在向量b上的投影為|a|cosθ,又a·b=|a||b|cosθ,所以cosθ=,所以向量a在向量b上的投影為|a|cosθ=|a|×=。2.運算律交換律a·b=b·a結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c思考3平面向量數(shù)量積運算適合乘法結(jié)合律嗎?提示:數(shù)量積的運算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律,不適合乘法結(jié)合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c),這是因為(a·b)c表示一個與c共線的向量,而a(b·c)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線.3.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b為兩個非零向量,a與b的夾角為θ.垂直a⊥b?a·b=0共線同向a·b=|a||b|a·a=a2=|a|2,|a|=反向a·b=-|a||b|絕對值|a·b|≤|a||b|符號a·b>0θ∈a·b=0θ=a·b<0θ∈夾角公式cosθ=思考4當兩
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