數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)導(dǎo)航：平面向量的數(shù)量積（第課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1。理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．掌握向量a與b的數(shù)量積公式及其投影的定義．3．掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律．4．會(huì)求向量的數(shù)量積、長(zhǎng)度、夾角，會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決向量的垂直問(wèn)題。1．平面向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a與b,我們把數(shù)量|a｜|b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),其中θ是a與b的夾角記法記作a·b，即a·b＝｜a||b｜c(diǎn)osθ規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0投影｜a|cosθ（｜b|cosθ)叫做向量a在b方向上（b在a方向上)的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度｜a|與b在a的方向上的投影｜b｜c(diǎn)osθ的乘積思考1向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是向量還是實(shí)數(shù)？如果是向量，如何確定大小和方向？如果是實(shí)數(shù)，如何確定它的符號(hào)?提示：向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦之積．當(dāng)a，b為非零向量時(shí),由a·b＝|a｜｜b|cosθ，a·b的符號(hào)由a與b的夾角θ的余弦值來(lái)確定．當(dāng)0°≤θ〈90°時(shí)，a·b〉0；當(dāng)90°<θ≤180°時(shí)，a·b〈0，當(dāng)a與b至少有一個(gè)為零向量或θ＝90°時(shí)，a·b＝0。思考2根據(jù)投影的定義，如何利用兩向量的數(shù)量積求向量a在向量b上的投影？提示：根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知,向量a在向量b上的投影為|a｜c(diǎn)osθ，又a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ，所以cosθ＝，所以向量a在向量b上的投影為|a｜c(diǎn)osθ＝｜a｜×＝。2．運(yùn)算律交換律a·b＝b·a結(jié)合律（λa）·b＝λ(a·b）＝a·（λb）分配律(a＋b）·c＝a·c＋b·c思考3平面向量數(shù)量積運(yùn)算適合乘法結(jié)合律嗎？提示：數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律,不適合乘法結(jié)合律，即(a·b)c不一定等于a（b·c），這是因?yàn)?a·b)c表示一個(gè)與c共線(xiàn)的向量,而a（b·c)表示一個(gè)與a共線(xiàn)的向量,而c與a不一定共線(xiàn)．3．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b為兩個(gè)非零向量，a與b的夾角為θ.垂直a⊥b?a·b＝0共線(xiàn)同向a·b＝｜a｜｜b｜a·a＝a2＝|a|2,｜a|＝反向a·b＝－｜a||b｜絕對(duì)值｜a·b｜≤|a||b|符號(hào)a·b>0θ∈a·b＝0θ＝a·b<0θ∈夾角公式cosθ＝思考4當(dāng)兩