工程流體力學(xué)答案陳卓如第四章

工程流體力學(xué)答案陳卓如第四章?一、第四章習(xí)題及解答

（一）思考題1.描述流體運(yùn)動(dòng)有哪兩種方法？它們的區(qū)別和聯(lián)系是什么？描述流體運(yùn)動(dòng)有拉格朗日法和歐拉法。區(qū)別：拉格朗日法是以研究單個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)，通過追蹤每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡來描述整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。它關(guān)注的是每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度等隨時(shí)間的變化。歐拉法是以研究流場中固定空間點(diǎn)上流體的運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)，描述流體在空間各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（如速度、壓力等）隨時(shí)間的變化。聯(lián)系：兩者都用于描述流體的運(yùn)動(dòng)，拉格朗日法從質(zhì)點(diǎn)個(gè)體角度出發(fā)，歐拉法從空間點(diǎn)的角度出發(fā)，通過一定的轉(zhuǎn)換可以相互關(guān)聯(lián)。例如，通過拉格朗日法得到的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以轉(zhuǎn)換為歐拉法下的流場描述。2.什么是定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)？試舉例說明。定常流動(dòng)是指流場中各空間點(diǎn)上的流動(dòng)參數(shù)（如速度、壓力等）不隨時(shí)間變化的流動(dòng)。例如，在一個(gè)穩(wěn)定運(yùn)行的管道系統(tǒng)中，流體的流速、壓力等在各點(diǎn)處保持恒定，就是定常流動(dòng)。非定常流動(dòng)是指流場中至少有一個(gè)空間點(diǎn)上的流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化的流動(dòng)。比如，在給一個(gè)水箱注水的過程中，水箱內(nèi)不同位置的水位和流速隨時(shí)間不斷變化，這就是非定常流動(dòng)。3.流線和跡線有什么區(qū)別？在什么情況下流線和跡線重合？區(qū)別：流線是某一時(shí)刻在流場中畫出的一條曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)處流體的速度方向一致。流線表示的是同一時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。跡線是流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡。跡線反映的是單個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置變化。流線和跡線重合的情況：在定常流動(dòng)中，流線和跡線重合。因?yàn)槎ǔＡ鲃?dòng)時(shí)，流場中各點(diǎn)的速度不隨時(shí)間變化，流體質(zhì)點(diǎn)將沿著流線運(yùn)動(dòng)，所以流線和跡線一致。4.什么是流管、流束和總流？流管：在流場中，取一微小的封閉曲線，通過曲線上各點(diǎn)作流線，這些流線所形成的管狀曲面稱為流管。流束：流管內(nèi)部的流體稱為流束。流束可以看作是由無數(shù)個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)組成的?？偭鳎河蔁o數(shù)個(gè)微小流束組成的宏觀流體流動(dòng)稱為總流。例如，一條河流、一個(gè)管道中的流體流動(dòng)等都可以看作總流。5.連續(xù)性方程的物理意義是什么？它的理論依據(jù)是什么？物理意義：連續(xù)性方程反映了流體在流動(dòng)過程中質(zhì)量守恒的規(guī)律。即在沒有流體源或匯的情況下，單位時(shí)間內(nèi)通過流管任意截面的流體質(zhì)量是相等的。理論依據(jù)：質(zhì)量守恒定律。在流體流動(dòng)過程中，雖然流體的形狀可能發(fā)生變化，但質(zhì)量不會(huì)憑空產(chǎn)生或消失。6.伯努利方程的物理意義是什么？它的應(yīng)用條件有哪些？物理意義：伯努利方程表明在理想流體、定常流動(dòng)情況下，沿同一流線，單位重量流體的動(dòng)能、勢能和壓力能之和保持不變。它反映了流體在流動(dòng)過程中各種能量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。應(yīng)用條件：理想流體（即不可壓縮、無黏性的流體）。定常流動(dòng)。沿同一流線。7.什么是水頭損失？它分為哪幾類？水頭損失是指流體在流動(dòng)過程中由于黏性摩擦、局部阻礙等原因?qū)е碌臋C(jī)械能損失。分類：沿程水頭損失：流體在等直徑直管中流動(dòng)時(shí)，由于流體與管壁之間的摩擦而產(chǎn)生的水頭損失，用$h_f$表示。局部水頭損失：流體在流經(jīng)管道中的管件（如彎頭、閥門等）、設(shè)備（如突然擴(kuò)大或縮小的截面）等局部障礙處時(shí)，由于流速大小和方向的突然改變而引起的水頭損失，用$h_j$表示。8.圓管層流和紊流的流速分布各有什么特點(diǎn)？圓管層流流速分布特點(diǎn)：呈拋物線分布，管軸處流速最大，管壁處流速為零，平均流速為最大流速的一半。圓管紊流流速分布特點(diǎn)：在紊流核心區(qū)，流速分布比較均勻，接近對數(shù)分布；在靠近管壁的黏性底層，流速呈線性分布?？傮w來說，紊流的流速分布比層流更均勻，平均流速也相對較大。

（二）習(xí)題1.已知流場的速度分布為$u=x+2t$，$v=yt$，$w=0$，求：（1）$t=1$時(shí)，通過點(diǎn)$(2,1)$的流線方程；（2）$t=0$時(shí)位于點(diǎn)$(1,1)$的流體質(zhì)點(diǎn)在$t=1$時(shí)的位置。

解：（1）流線方程的微分方程為：\(\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}\)已知\(u=x+2t\)，\(v=yt\)，當(dāng)\(t=1\)時(shí)，\(u=x+2\)，\(v=y1\)，則有：\(\frac{dx}{x+2}=\frac{dy}{y1}\)兩邊積分：\(\int\frac{dx}{x+2}=\int\frac{dy}{y1}\)\(\ln|x+2|=\ln|y1|+C\)\(x+2=C(y1)\)將點(diǎn)\((2,1)\)代入上式：\(2+2=C(11)\)，此時(shí)\(C\)無解，說明給定的速度分布在\(t=1\)時(shí)，通過點(diǎn)\((2,1)\)的流線方程為\(x+2=0\)（這是因?yàn)樵擖c(diǎn)處\(v=0\)，流線與\(y\)軸平行）。

（2）由拉格朗日法，設(shè)\(t=0\)時(shí)位于點(diǎn)\((1,1)\)的流體質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為\((a,b)\)，則有：\(a=1\)，\(b=1\)\(x=a+\int_{0}^{t}u(a+\int_{0}^{\tau}ud\tau,b+\int_{0}^{\tau}vd\tau,\tau)d\tau\)\(y=b+\int_{0}^{t}v(a+\int_{0}^{\tau}ud\tau,b+\int_{0}^{\tau}vd\tau,\tau)d\tau\)已知\(u=x+2t\)，\(v=yt\)，先求\(x\)：\(x=1+\int_{0}^{1}(1+2\tau)d\tau\)\(=1+[\tau+\tau^{2}]_{0}^{1}\)\(=1+(1+1)\)\(=3\)再求\(y\)：\(y=1+\int_{0}^{1}(1\tau)d\tau\)\(=1+[\tau\frac{1}{2}\tau^{2}]_{0}^{1}\)\(=1+(1\frac{1}{2})\)\(=\frac{3}{2}\)所以\(t=1\)時(shí)該流體質(zhì)點(diǎn)的位置為\((3,\frac{3}{2})\)。

2.已知某二維流場的速度分布為\(u=x^2y^2\)，\(v=2xy\)，試證明該流場是無旋流場，并求其流函數(shù)。

解：（1）證明無旋流場：對于二維流場，旋度\(\omega_z=\frac{\partialv}{\partialx}\frac{\partialu}{\partialy}\)\(\frac{\partialv}{\partialx}=2y\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=2y\)則\(\omega_z=2y(2y)=0\)所以該流場是無旋流場。

（2）求流函數(shù)：由流函數(shù)與速度的關(guān)系\(u=\frac{\partial\psi}{\partialy}\)，\(v=\frac{\partial\psi}{\partialx}\)已知\(u=x^2y^2\)，則\(\frac{\partial\psi}{\partialy}=x^2y^2\)積分得：\(\psi=x^2y\frac{1}{3}y^3+f(x)\)又因?yàn)閈(v=2xy\)，則\(\frac{\partial\psi}{\partialx}=2xy\)對\(\psi=x^2y\frac{1}{3}y^3+f(x)\)求\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)：\(\frac{\partial\psi}{\partialx}=2xy+f^\prime(x)\)所以\(f^\prime(x)=0\)，取\(f(x)=0\)則流函數(shù)\(\psi=x^2y\frac{1}{3}y^3\)

3.如圖41所示，水從水箱經(jīng)一水平管道流出，水箱水位保持恒定。已知管道直徑\(d_1=0.1m\)，\(d_2=0.05m\)，\(h=2m\)，不計(jì)水頭損失，求管道內(nèi)水的流量和管道出口處的流速。


解：根據(jù)伯努利方程，取水箱液面為11斷面，管道出口為22斷面，基準(zhǔn)面為管道中心線。\(z_1+\frac{p_1}{\rhog}+\frac{v_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rhog}+\frac{v_2^2}{2g}+h_w\)因?yàn)樗湟好婧凸艿莱隹谔幘c大氣相通，\(p_1=p_2=p_a\)，且水箱液面流速\(v_1\approx0\)，不計(jì)水頭損失\(h_w=0\)，\(z_1z_2=h=2m\)則\(h=\frac{v_2^2}{2g}\)\(v_2=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times9.8\times2}\approx6.26m/s\)根據(jù)連續(xù)性方程\(Q=A_1v_1=A_2v_2\)\(A_1=\frac{\pid_1^2}{4}=\frac{\pi\times(0.1)^2}{4}\)，\(A_2=\frac{\pid_2^2}{4}=\frac{\pi\times(0.05)^2}{4}\)\(Q=A_2v_2=\frac{\pi\times(0.05)^2}{4}\times6.26\approx0.0123m^3/s\)

4.如圖42所示，水從水箱流入一水平管道，水箱水面與管道中心線的高差\(H=3m\)，管道直徑\(d=0.05m\)，管道長度\(L=10m\)，沿程阻力系數(shù)\(\lambda=0.03\)，求管道內(nèi)水的流量。


解：根據(jù)伯努利方程，取水箱液面為11斷面，管道出口為22斷面，基準(zhǔn)面為管道中心線。\(z_1+\frac{p_1}{\rhog}+\frac{v_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rhog}+\frac{v_2^2}{2g}+h_w\)因?yàn)樗湟好婧凸艿莱隹谔幘c大氣相通，\(p_1=p_2=p_a\)，且水箱液面流速\(v_1\approx0\)，\(z_1z_2=H=3m\)則\(H=\frac{v_2^2}{2g}+h_f\)沿程水頭損失\(h_f=\lambda\frac{L}q4sg4mi\frac{v_2^2}{2g}\)所以\(H=\frac{v_2^2}{2g}(1+\lambda\frac{L}ue2ieqm)\)\(v_2=\sqrt{\frac{2gH}{1+\lambda\frac{L}kesyu22}}=\sqrt{\frac{2\times9.8\times3}{1+0.03\times\frac{10}{0.05}}}\approx2.14m/s\)流量\(Q=Av_2=\frac{\pid^2}{4}v_2=\frac{\pi\times(0.05)^2}{4}\times2.14\approx0.0042m^3/s\)

5.如圖43所示，水從水箱經(jīng)一收縮管道流入大氣，水箱水位保持恒定。已知管道進(jìn)口直徑\(D=0.2m\)，出口直徑\(d=0.1m\)，收縮段水頭損失\(h_j=0.05v_2^2/2g\)，不計(jì)進(jìn)口水頭損失，求管道出口處的流速\(v_2\)。


解：根據(jù)伯努利方程，取水箱液面為11斷面，管道出口為22斷面，基準(zhǔn)面為管道中心線。\(z_1+\frac{p_1}{\rhog}+\frac{v_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rhog}+\frac{v_2^2}{2g}+h_w\)因?yàn)樗湟好婧凸艿莱隹谔幘c大氣相通，\(p_1=p_2=p_a\)，且水箱液面流速\(v_1\approx0\)，\(z_1z_2=H\)（設(shè)水箱液面與管道出口高差為\(H\)）則\(H=\frac{v_2^2}{2g}+h_j\)由連續(xù)性方程\(A_1v_1=A_2v_2\)，\(A_1=\frac{\piD^2}{4}\)，\(A_2=\frac{\pid^2}{4}\)，可得\(v_1=\frac{d^2}{D^2}v_2\)又因?yàn)椴挥?jì)進(jìn)口水頭損失，\(h_j=0.05v_2^2/2g\)所以\(H=\frac{v_2^2}{2g}(1+0.05)\)\(v_2=\sqrt{\frac{2gH}{1.05}}\)將\(A_1v_1=A_2v_2\)代入伯努利方程可得：\(H=\frac{v_2^2}{2g}(1+0.05+\frac{A_2^2}{A_1^2}1)\)\(H=\frac{v_2^2}{2g}(0.05+\frac{d^4}{D^4})\)\(v_2=\sqrt{\frac{2gH}{0.05+\frac{d^4}{D^4}}}\)假設(shè)\(H=2m\)（題目未給出，自行假設(shè)以便計(jì)算）\(v_2=\sqrt{\frac{2\times9.8\times2}{0.05+\frac{(0.1)^4}{(0.2)^4}}}\approx5.83m/s\)

二、第四章重點(diǎn)知識(shí)總結(jié)

（一）流體運(yùn)動(dòng)的描述方法1.拉格朗日法以流體質(zhì)點(diǎn)為研究對象，跟蹤每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、加速度等隨時(shí)間的變化。通過對單個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述來構(gòu)建整個(gè)流體