2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)實(shí)錄（新版）新人教版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)實(shí)錄（新版）新人教版學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：本節(jié)課的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握一元二次方程的解法基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。教材內(nèi)容涉及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系公式，以及如何利用該公式求解一元二次方程。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維，通過(guò)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)符號(hào)在解決問(wèn)題中的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)建模能力。同時(shí)，通過(guò)探究和驗(yàn)證數(shù)學(xué)公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。此外，通過(guò)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和交流能力。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系公式及其應(yīng)用。

難點(diǎn)：如何正確理解和運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系公式解決實(shí)際問(wèn)題。

解決辦法：

1.重點(diǎn)：通過(guò)實(shí)例演示和小組討論，幫助學(xué)生理解和記憶根與系數(shù)的關(guān)系公式，并通過(guò)練習(xí)題鞏固應(yīng)用。

2.難點(diǎn)：設(shè)計(jì)一系列逐步深入的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單到復(fù)雜地理解和應(yīng)用公式。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖、列表等方式直觀地理解公式背后的邏輯關(guān)系。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，提供詳細(xì)的解題步驟和思路，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。此外，利用信息技術(shù)手段，如動(dòng)畫(huà)演示，幫助學(xué)生可視化地理解根與系數(shù)的變化規(guī)律。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有新版《九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)》教材，特別是第二十一章相關(guān)內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系相關(guān)的圖片、圖表和視頻，以幫助學(xué)生直觀理解。

3.實(shí)驗(yàn)器材：準(zhǔn)備計(jì)算器和相關(guān)軟件，用于演示和驗(yàn)證根與系數(shù)的關(guān)系。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，方便學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)和討論；確保教學(xué)環(huán)境整潔，以利于學(xué)生集中注意力。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)情境：展示生活中常見(jiàn)的拋物線運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景，如籃球投籃軌跡、汽車拋物線行駛等，引發(fā)學(xué)生思考。

2.提出問(wèn)題：引導(dǎo)學(xué)生觀察這些運(yùn)動(dòng)軌跡的特點(diǎn)，并提出問(wèn)題：“如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這些運(yùn)動(dòng)軌跡？”

3.引出課題：通過(guò)學(xué)生的回答，引入一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

二、講授新課（20分鐘）

1.回顧舊知：回顧一元二次方程的定義、解法以及根與系數(shù)的關(guān)系公式。

2.引入新知：通過(guò)實(shí)例講解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生理解公式含義。

3.講解過(guò)程：

a.以一個(gè)具體的一元二次方程為例，展示如何求解方程。

b.講解根與系數(shù)的關(guān)系公式，強(qiáng)調(diào)公式的應(yīng)用場(chǎng)景和注意事項(xiàng)。

c.通過(guò)舉例說(shuō)明，讓學(xué)生掌握公式的使用方法。

4.互動(dòng)環(huán)節(jié)：針對(duì)公式應(yīng)用中的常見(jiàn)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和討論，如如何判斷根的符號(hào)、如何確定根的大小等。

三、鞏固練習(xí)（10分鐘）

1.課堂練習(xí)：布置一些與根與系數(shù)的關(guān)系相關(guān)的練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成。

2.學(xué)生展示：選取部分學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行展示，教師點(diǎn)評(píng)并糾正錯(cuò)誤。

3.討論交流：引導(dǎo)學(xué)生討論練習(xí)題中的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，共同總結(jié)解題技巧。

四、課堂提問(wèn)（5分鐘）

1.針對(duì)公式應(yīng)用中的典型問(wèn)題，提問(wèn)學(xué)生，如：“如何判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)？”、“如何確定一元二次方程的判別式的符號(hào)？”

2.引導(dǎo)學(xué)生思考，總結(jié)規(guī)律，并講解解題方法。

五、師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.教師提問(wèn)：針對(duì)課堂內(nèi)容，提出問(wèn)題，如：“如何運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解一元二次方程？”、“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系有何實(shí)際應(yīng)用？”

2.學(xué)生回答：鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，表達(dá)自己的觀點(diǎn)和見(jiàn)解。

3.教師點(diǎn)評(píng)：對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，肯定優(yōu)點(diǎn)，指出不足，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考。

六、核心素養(yǎng)拓展（5分鐘）

1.結(jié)合生活實(shí)際，引導(dǎo)學(xué)生思考一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

2.鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

七、總結(jié)歸納（5分鐘）

1.教師總結(jié)：對(duì)本節(jié)課的主要內(nèi)容進(jìn)行梳理，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

2.學(xué)生回顧：引導(dǎo)學(xué)生回顧所學(xué)內(nèi)容，加深對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的理解。

教學(xué)總用時(shí)：45分鐘學(xué)生學(xué)習(xí)效果六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果

1.知識(shí)掌握：

學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系公式，包括根與系數(shù)的符號(hào)關(guān)系、根與系數(shù)的乘積關(guān)系和根與系數(shù)的和的關(guān)系。

學(xué)生能夠應(yīng)用這些關(guān)系公式解決實(shí)際問(wèn)題，如判斷一元二次方程根的個(gè)數(shù)、確定根的范圍、解方程等。

2.能力提升：

學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，提高了邏輯推理能力，能夠通過(guò)分析問(wèn)題、運(yùn)用公式進(jìn)行推理得出結(jié)論。

學(xué)生通過(guò)小組討論和合作學(xué)習(xí)，提升了溝通能力和團(tuán)隊(duì)合作精神。

3.思維發(fā)展：

學(xué)生在探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象思維，能夠從具體的實(shí)例中提煉出一般的數(shù)學(xué)規(guī)律。

學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖、列表等方式，培養(yǎng)了空間想象能力和直觀思維能力。

4.學(xué)習(xí)習(xí)慣：

學(xué)生通過(guò)課堂練習(xí)和課后作業(yè)，養(yǎng)成了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如認(rèn)真審題、規(guī)范書(shū)寫(xiě)、及時(shí)復(fù)習(xí)等。

學(xué)生學(xué)會(huì)了如何通過(guò)自我檢測(cè)和反饋來(lái)調(diào)整學(xué)習(xí)方法，提高了自我管理能力。

5.應(yīng)用能力：

學(xué)生能夠?qū)⒁辉畏匠痰母c系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)等，提高了綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中，能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，如計(jì)算物體的運(yùn)動(dòng)軌跡、分析市場(chǎng)供需關(guān)系等。

6.創(chuàng)新意識(shí)：

學(xué)生在探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，敢于提出自己的觀點(diǎn)，嘗試不同的解題方法，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí)和解決問(wèn)題的能力。

學(xué)生在課堂上能夠提出有價(jià)值的問(wèn)題，促進(jìn)了師生之間的互動(dòng)和知識(shí)的拓展。

7.情感態(tài)度：

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心。

學(xué)生在遇到困難時(shí)，能夠堅(jiān)持不懈地嘗試，培養(yǎng)了堅(jiān)韌不拔的學(xué)習(xí)態(tài)度。典型例題講解1.例題一：

已知一元二次方程$x^2-5x+6=0$，求該方程的根與系數(shù)的關(guān)系。

解答：

根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)方程的兩根為$x_1$和$x_2$，則有：

$x_1+x_2=-\frac{a}=-\frac{-5}{1}=5$

$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6$

因此，該方程的兩根之和為5，兩根之積為6。

2.例題二：

已知一元二次方程$2x^2-3x+1=0$的兩根之和為4，求該方程的兩根之積。

解答：

設(shè)方程的兩根為$x_1$和$x_2$，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有：

$x_1+x_2=-\frac{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$

已知$x_1+x_2=4$，所以有$\frac{3}{2}=4$，這是不可能的，因此原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

3.例題三：

已知一元二次方程$x^2-2x-3=0$的兩根之積為-3，求該方程的兩根之和。

解答：

設(shè)方程的兩根為$x_1$和$x_2$，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有：

$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$

已知$x_1\cdotx_2=-3$，所以有：

$x_1+x_2=-\frac{a}=-\frac{-2}{1}=2$

因此，該方程的兩根之和為2。

4.例題四：

已知一元二次方程$3x^2-6x+4=0$的兩根之和為4，求該方程的判別式。

解答：

設(shè)方程的兩根為$x_1$和$x_2$，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有：

$x_1+x_2=-\frac{a}=-\frac{-6}{3}=2$

已知$x_1+x_2=4$，所以有：

$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$

判別式$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot3\cdot4=36-48=-12$

因此，該方程的判別式為-12。

5.例題五：

已知一元二次方程$x^2-4x+3=0$的兩根之和與兩根之積相等，求該方程的兩根。

解答：

設(shè)方程的兩根為$x_1$和$x_2$，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有：

$x_1+x_2=-\frac{a}=-\frac{-4}{1}=4$

$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$

因?yàn)?x_1+x_2=x_1\cdotx_2$，所以有：

$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=x_1x_2$

即$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=0$

代入已知的$x_1+x_2=4$和$x_1\cdotx_2=3$，得到：

$4^2-3\cdot3=0$

$16-9=0$

這顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)?16-9=7\neq0$。因此，這里需要重新審視問(wèn)題。

正確解法：

由于$x_1+x_2=x_1\cdotx_2$，我們可以設(shè)$x_1=x_2$，即方程有一個(gè)重根。

代入方程$x^2-4x+3=0$，得到：

$x^2-4x+3=0$

解得$x=1$或$x=3$。

因此，該方程的兩根為1和3。教學(xué)反思與改進(jìn)親愛(ài)的同學(xué)們，今天我們的數(shù)學(xué)課已經(jīng)結(jié)束了，我想和大家分享一下我對(duì)這節(jié)課的反思和改進(jìn)的思路。

首先，我想說(shuō)的是，我在導(dǎo)入環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)上可能還不夠吸引人。雖然我盡力通過(guò)生活中的實(shí)例來(lái)激發(fā)大家的興趣，但我覺(jué)得可能還需要更加貼近大家的實(shí)際生活，比如結(jié)合一些大家感興趣的體育活動(dòng)或者科技產(chǎn)品，這樣可能更能引起大家的共鳴。所以，我打算在未來(lái)的教學(xué)中，嘗試尋找更多與同學(xué)們生活緊密相關(guān)的話題，以此來(lái)激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

在講授新課的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)對(duì)于根與系數(shù)的關(guān)系的理解并不是很到位。這讓我意識(shí)到，我在講解時(shí)可能過(guò)于依賴公式，而沒(méi)有足夠的時(shí)間去解釋公式的來(lái)源和背后的邏輯。因此，我計(jì)劃在接下來(lái)的教學(xué)中，花更多的時(shí)間去解釋公式背后的數(shù)學(xué)原理，并通過(guò)更多的例子來(lái)幫助學(xué)生理解。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)在做題時(shí)存在一些細(xì)節(jié)上的錯(cuò)誤，比如符號(hào)的運(yùn)用和計(jì)算的準(zhǔn)確性。這提醒我，在練習(xí)環(huán)節(jié)，我需要更加細(xì)致地指導(dǎo)同學(xué)們，確保他們?cè)谧鼍毩?xí)時(shí)能夠注意到這些細(xì)節(jié)。我打算在今后的教學(xué)中，增加練習(xí)的多樣性，比如設(shè)計(jì)一些填空題、選擇題和解答題，讓學(xué)生在多種題型中鞏固知識(shí)。

另外，我在課堂提問(wèn)環(huán)節(jié)也發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題。有時(shí)候，我提出的問(wèn)題可能過(guò)于簡(jiǎn)單，或者不夠有挑戰(zhàn)性，導(dǎo)致一些同學(xué)參與討論的積極性不高。為了改善這一點(diǎn)，我計(jì)劃在今后的教學(xué)中，設(shè)計(jì)更多層次的問(wèn)題，既有基礎(chǔ)的提問(wèn)，也有拓展性的思考題，讓不同層次的同學(xué)都能參與到課堂討論中來(lái)。

在教學(xué)反思的過(guò)程中，我還注意到，有些同學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決缺乏耐心和毅力。他們?cè)诿鎸?duì)難題時(shí)容易放棄，或者找不到合適的解題方法。這讓我意識(shí)到，培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力是我教學(xué)中的一個(gè)重要任務(wù)。我打算通過(guò)設(shè)置一些難度適中的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步思考，鼓勵(lì)他們?cè)谟龅嚼щy時(shí)堅(jiān)持下來(lái)，學(xué)會(huì)從不同的角度去解決問(wèn)題。

最后，我想說(shuō)的是，教學(xué)是一個(gè)不斷反思和改進(jìn)的過(guò)程。我會(huì)認(rèn)真聽(tīng)取同學(xué)們的意見(jiàn)和建議，不斷調(diào)整我的教學(xué)方法和策略。我希望通過(guò)我的努力，能夠幫助每一位同學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上越走越遠(yuǎn)。

謝謝大家！讓我們一起期待下一次更加精彩的數(shù)學(xué)課！課堂課堂評(píng)價(jià)是教學(xué)過(guò)程中不可或缺的一部分，它有助于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，同時(shí)也能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到自己的學(xué)習(xí)狀態(tài)和進(jìn)步空間。以下是我在課堂上的評(píng)價(jià)方式：

1.課堂提問(wèn)：

在課堂上，我會(huì)通過(guò)提問(wèn)的方式來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。我會(huì)設(shè)計(jì)不同難度的問(wèn)題，包括基礎(chǔ)題、應(yīng)用題和拓展題，以此來(lái)評(píng)估學(xué)生對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的理解和應(yīng)用能力。通過(guò)觀察學(xué)生的回答，我可以了解他們對(duì)知識(shí)的掌握程度，以及是否存在理解上的偏差。

2.觀察學(xué)生參與度：

在課堂活動(dòng)中，我會(huì)注意觀察學(xué)生的參與情況，包括他們是否積極舉手回答問(wèn)題、是否能夠與同學(xué)進(jìn)行有效的討論等。這些觀察可以幫助我了解學(xué)生的課堂表現(xiàn)和學(xué)習(xí)態(tài)度。

3.小組合作評(píng)價(jià)：

在小組討論環(huán)節(jié)，我會(huì)評(píng)價(jià)學(xué)生的合作效果。我會(huì)觀察他們?cè)谛〗M中的角色定位，是否能夠提出自己的觀點(diǎn)，是否能夠傾聽(tīng)他人的意見(jiàn)，以及是否能夠共同解決問(wèn)題。這些評(píng)價(jià)有助于培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和溝通技巧。

4.實(shí)時(shí)反饋：

在課堂教學(xué)中，我會(huì)及時(shí)給予學(xué)生反饋。對(duì)于學(xué)生的正確回答，我會(huì)給予肯定和鼓勵(lì)；對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤，我會(huì)耐心解釋并引導(dǎo)他們找到正確的答案。這樣的即時(shí)反饋有助于學(xué)生及時(shí)糾正錯(cuò)誤，加深對(duì)知識(shí)的理解。

5.課堂測(cè)試：

為