小升初奧數(shù)講義

★小學(xué)六年級奧數(shù)的基本分類

★一、工程問題

★跟學(xué)問握握手

1、顧名思義，工程問題指的是與工程建立有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。其實，這類題目的內(nèi)容已不僅

僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等很多內(nèi)容。

2、在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：

工作總量工作效率X工作時間，

工作時間工作總量+工作效率，

工作效率工作總量+工作時間。

【工作總量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)表示，也可以是部分工作量,

常用分數(shù)表示。例如工程的一半表示成1.........................

2

工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，依據(jù)

題目須要，可以是天，也可以是時、分、秒等。

工作效率的單位是一個復(fù)合單位，表示成“工作量天”，或“工作量時”等。但在不引起誤

會的狀況下，一般不寫工作效率的單位?！?/p>

★小試牛刀

1.甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別須要小時，小時.丙水管單獨開，排一池水要小

時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，小時后，再打尸排水管丙，問水池注滿還是要多少

小時？

.修一條水渠，單獨修，甲隊須要天完成，乙隊須要天完成。假如兩隊合作，由于彼此施工

有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有

原來的特別之九?，F(xiàn)在支配天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少，那么兩隊要

合作幾天？

.一件工作，甲、乙合做需小時完成，乙、丙合做需小時完成。現(xiàn)在先請甲、丙合做小時后,

余下的乙還需做小時完成，乙單獨做完這件工作要多少小時？

4.一項工程，第一天甲做，其次天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪番做，那

么恰好用整數(shù)天完工；假如第一天乙做，其次天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替

輪番做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需天完成.，甲單獨做這項

工程要多少天完成？

.師徒倆人加工同樣多的零件。當(dāng)師傅完成了時，徒弟完成了個。當(dāng)師傅完成了任務(wù)時，徒

弟完成了這批零件共有多少個？

.一個池上裝有根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，分鐘可將滿池水放完，丙管也是

出水管，分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先打開甲管，當(dāng)水池水剛溢出時，打開乙，丙兩管用了

分鐘放完，當(dāng)打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完？

.某工程隊須要在規(guī)定FI期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)

定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾

天？

.兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要小時，而點完一根細蠟燭要小時，一天晚上停電，

小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來點了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發(fā)覺粗蠟

燭的長是細蠟燭的倍，問：停電多少分鐘？

★二.雞兔同籠問題

★跟學(xué)問握握手

、基本概念：

雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來。

、基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）；

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的緣由；

④再依據(jù)這兩個差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

、基本公式：

①把全部雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)一總腳數(shù)）4-（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

②把全部兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）彳（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

、關(guān)鍵問題：

找出總量的差與單位量的差。

、解“雞兔同籠問題”的常用方法是“替換法”、“轉(zhuǎn)換法”、“置換法”等。通常把其中

一個未知數(shù)短暫當(dāng)作另一個未知數(shù)，然后依據(jù)已知條件進行假設(shè)性的運算，直到求出結(jié)果。

【概括起來，解“雞兔同籠問題”的基本公式是工

雞數(shù)=（每只兔腳數(shù)火雞兔總數(shù)一實際腳數(shù)）+（每只兔子腳數(shù)一每只雞的腳數(shù)）兔數(shù)=雞

兔總數(shù)一雞數(shù)

★小試牛刀

、有若干只雞和兔子，它們共有個頭，只腳，問雞、%各多少只？

、蜘蛛有條腿，蜻蜓有條腿和對翅膀，蟬有條腿和對翅膀。現(xiàn)在這三種小蟲共只，有條腿

和對翅膀，問每種小蟲各多少只？

、每一輛貨車運輸只玻璃瓶，運費按到達時完好的瓶子數(shù)計算，每只角，如有破損，破損

的不給運費，還要每只賠償元，結(jié)果得到運費元，問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只？

、六年級甲班有個同學(xué)向汶川災(zāi)區(qū)捐款共計元，其中捐元的人有人，其他同學(xué)捐元或者元,

問捐元和元的同學(xué)各多少人？

、學(xué)校組織新年文藝晚會，用作獎品的鉛筆、圓珠筆、鋼筆共支，共花了元，其中鉛筆數(shù)

量是圓珠筆的倍。已知鉛筆每支元，圓珠筆每支元，鋼筆每支元，問三種筆個多少支？

、從甲到乙全長千米，有上坡路、平路、下坡路，李強上坡速度是每小時千米，平路上速

度是每小時千米，下坡速度是每小時千米。從甲到乙，李強走了小時，從乙到甲李強走了小

時，問甲到乙上坡、平路、下坡路各有多少千米？

、有堆硬幣，面值為分、分和分三種，其中分硬幣是分硬幣的倍，已知這堆硬幣的幣值總

和是元，問分有多少枚？

、出名同學(xué)外出游玩，乘電車前往每人元，乘小巴前往每人元，乘地鐵前往每人元，這些

同學(xué)共有車費元，問其中乘小巴的共有多少人？

、雞與兔共只，雞的腿數(shù)比兔的腿數(shù)少條，問雞與兔各有幾只？

★三.數(shù)字數(shù)位問題

.把至這個自然數(shù)依次寫下來得到一個多位數(shù),這個多位數(shù)除以余數(shù)是多少？

.和是小于的兩個非零的不同自然數(shù)。求分之的最小值...

.已知都是非自然數(shù)的近似值市，那么它的精確值是多少？

.一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和是.其中十位數(shù)字比個位數(shù)字大.假如把這個三位數(shù)的百位數(shù)

字與個位數(shù)字對調(diào),得到一個新的三位數(shù),則新的三位數(shù)比原三位數(shù)大,求原數(shù).

.一個兩位數(shù),在它的前面寫上,所組成的三位數(shù)比原兩位數(shù)的倍多，求原來的兩位數(shù).

.把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù),它與原數(shù)相加,和恰好是某自然

數(shù)的平方，這個和是多少？

.一個六位數(shù)的末位數(shù)字是,假如把移到首位,原數(shù)就是新數(shù)的倍,求原數(shù).

答案為

.有一個四位數(shù),個位數(shù)字與百位數(shù)字的和是，十位數(shù)字與千位數(shù)字的和是,假如個位數(shù)字與

百位數(shù)字互換，千位數(shù)字與十位數(shù)字互換,新數(shù)就比原數(shù)增加,求原數(shù).

.有一個兩位數(shù)，假如用它去除以個位數(shù)字，商為余數(shù)為，假如用這個兩位數(shù)除以個位數(shù)字與

十位數(shù)字之和,則商為余數(shù)為,求這個兩位數(shù).

.假如現(xiàn)在是上午的點分:那么在經(jīng)過（一共有個）分鐘之后的時間將是幾點幾分？

★四.排列組合問題

★跟學(xué)問握握手

()七個人排成一排，小新必需站在中間.

()七個人排成一排，小新、阿呆必需有一人站在中間.

()七個人排成一排，小新、阿呆必需都站在兩邊.

()七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.

()七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.

()七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。

、用....可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是的三位數(shù)？

5、用、、、、這五個數(shù)字可組成多少個比20000大且百位數(shù)字不是3的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

、用到十個數(shù)字組成沒有重更數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的依次排列，則是

第幾個數(shù)？

7、用1、2、3、4、5這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個的倍數(shù)？

8、用....六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？

9、某管理員遺忘了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼

之和是9,那么確保打開保險柜至少要試幾次？

、兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一

位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？

11、已知在由甲、乙、丙、丁、戊共名同學(xué)進行的手工制作競賽中，決出了第一至第五名的

名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成果，回答者對甲說：“很缺憾，你和乙都未拿到冠軍.”對

乙說：“你當(dāng)然不會是最差的.”從這個回答分析，人的名次排列共有多少種不同的狀況？

、4名男生，5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：

[]甲不在中間也不在兩端；

[]甲、乙兩人必需排在兩端：

[]男、女生分別排在一起；

[]男女相間一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目.

求：口當(dāng)4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的支配節(jié)目的依次？

[]當(dāng)要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少支配1個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的支配節(jié)H的

依次？

、□從八…，中任取個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？(只要求列式)

[]從位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣揚委員，共有多少種不同的選

法？

[]位同學(xué)坐個座位，每個座位坐人，共有幾種坐法？

[]個人坐個座位，每個座位坐人，共有多少種坐法？

[]一火車站有股車道，停放列火車，有多少種不同的停放方法？

[]種不同的菜籽，任選種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？

14、某校實行男生乒乓球競賽，競賽分成個階段進行，第一階段：將參與競賽的名選手分成

個小組，每組人，分別進行單循環(huán)賽；其次階段：將個小組產(chǎn)生的前名共人再分成4個小組,

每組4人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由個小組產(chǎn)生的4個第1名進行2場半決賽和2場

決賽，確定1至4名的名次.問：整個賽程一共須要進行多少場競賽？

16、由數(shù)字，，組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中，，至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有個。

（年“迎春杯”高年級組決賽）

17、10個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？

、個人站隊，冬冬必需站在小悅和阿奇的中間（不確定用鄰），小慧和大智不能相鄰，小光

和大亮必需相鄰，滿意要求的站法一共有多少種？

19、小明有塊大白兔奶糖:從今日起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法？

20、某池塘中有A、4、C三只游船，A船可乘坐3人，8船可乘坐2人，C船可乘坐1人，

今有3個成人和2個兒童要分乘這些游船，為平安起見，有兒童乘坐的游船上必需至少有個

成人陪伴，那么他們5人乘坐這三支游船的全部平安乘船方法共有多少種？

21、從10名男生，8名女生中選出8人參與游泳競賽.在下列條件下，分別有多少種選法？

□恰出名3女生入選；

口至少有兩名女生入選；

口某兩名女生，某兩名男生必需入選；

[]某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人.

22、在名內(nèi)科醫(yī)生和名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成人醫(yī)療小組送醫(yī)

下鄉(xiāng)，依據(jù)下列條件各有多少種選派方法？

口出名內(nèi)科醫(yī)生和名外科醫(yī)生；

口既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；

[]至少有一名主任參與；

[]既有主任，又有外科醫(yī)生.

23、在名學(xué)生中，有人會裝電腦，有人會安裝音響設(shè)備，其余人既會安裝電腦，又會安裝音

響設(shè)備，今選派由6人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要3人，安裝音響設(shè)備要3人，共有

多少種不同的選人方案？

24、出名外語翻譯人員，其中5名是英語翻譯員，4名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語

都精通.從中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其?4人翻譯英文，另4人翻譯日文，

這兩個小組能同時工作.問這樣的安排名單共可以開出多少張？

★五.容斥原理問題

★跟學(xué)問握握手

1、容斥原理的概念：在計數(shù)時，為了使重疊部分不被重復(fù)計算，人們探討出一種新的計數(shù)

方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的狀況，把包含于某內(nèi)容中的全部對象的數(shù)目

先計算出來，然后再把計數(shù)時重復(fù)計算的數(shù)目排斥出去，變得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù),

這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。

2、有關(guān)容斥原理的公式:

公式.假如被計數(shù)的事物有、兩類，那么，類或類元素個數(shù)類元素個數(shù)類元素個數(shù)一既是

類又是類的元素個數(shù)。

公式.假如被計數(shù)的事物有、、三類，那么，類或類或類元素個數(shù)類元素個數(shù)類元素個數(shù)

類元素個數(shù)一既是類又是類的元素個數(shù)一既是類又是類的元素個數(shù)一既是類又是類的元素

個數(shù)既是類又是類而且是類的元素個數(shù)。

★小試牛刀

.有種赤貧.其中含鈣的有種,含鐵的有種,那么，同時含鈣和鐵的食品種類的最大值和最小

值分別是（）

.在多元智能大賽的決賽中只有三道題.已知：0某校名學(xué)生參與競賽，每個學(xué)生至少解出一

道題；（）在全部沒有解出第i題的學(xué)生中，解出其次題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的倍：（）只

解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多人；（）只解出一道題的學(xué)生中，有一

半沒有解出第一題，那么只解出其次題的學(xué)生人數(shù)是（）

.一次考試共有道試題.做對第........題的分別占參與考試人數(shù)的、、、、。假如做對

三道或三道以上為合格，那么這次考試的合格率至少是多少？

4、某大樓里有盞燈，按，，…編號，每盞燈有一個拉線開關(guān)，拉一次燈亮，再拉一次燈熄。

工程師做試驗，他先把全部號碼是的倍數(shù)的燈的開關(guān)拉次，再把全部號碼是的倍數(shù)的燈的開

關(guān)拉次，同時再拉次號碼是的倍數(shù)、但不是的倍數(shù)的燈開關(guān)，問：現(xiàn)在有多少盞燈是亮的？

5、、、三位質(zhì)檢員對流水線上的書包進行檢查，每個書包抽查個，每個書包抽查個，每個

書包抽查個，一共有個書包通過流水線，假定、、首個拍查到的書包分別是笫三個、第五個

和第七個，試求：

（1）沒被抽查到的書包數(shù)。

（2）在或抽查到的書包中，沒被抽杳到的書包數(shù)。

6、校實行趣味運動會，班里的同學(xué)有人報名。參與障礙過河競賽的有人，參與自行車慢騎

的有人，參與“袋鼠跳”競賽的有人，障礙過河、“袋鼠跳”都參與的有人，障礙過河、自

行車慢騎都參與的有人，芻行車慢騎、“袋鼠跳”都參與的有人，你能畫出參與競賽的人數(shù)

文氏圖嗎？

7、某體育學(xué)校的運動員中，會游泳的有人，會跳高的有人，會跳遠的有人，以上三個項目

只會其中兩種的有人，會三種的有人，則只會其中兩種的人分別有多少可能？

8、在一所中學(xué)的試驗班里，個學(xué)生參與過競賽。其中參與過數(shù)學(xué)競賽的有人，參與過英語

競賽的有人，參與過作文競賽的有人，參與過數(shù)學(xué)競賽和英語競賽的有人，參與過英語競賽

和作文競賽的有人，參與過數(shù)學(xué)競賽和作文競賽的有人，則三種競賽都參與過的學(xué)生有（）

人。

請寫出過程：

★六.抽屜原理、奇偶性問題

★跟學(xué)問握握手

、第一抽屜原理：

原理：把多于個的物體放到個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件；

【證明】（反證法）：假如每個抽屜至多只能放進一個物體，那么物體的總數(shù)至多是，而不是

題設(shè)的（2）,這不行能。

原理：把多于（乘以）個的物體放到個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于的物體。

【證明】（反證法）：若每個抽屜至多放進個物體，那么個抽屜至多放進個物體,與題設(shè)不符，

故不行能

原理：把無窮多件物體放入個抽屜，則至少有一個抽屜里有無窮個物體。

【證明】.：依據(jù)原理、即可證明

【原理都是第一抽屜原理的表述】

、其次抽屜原理：把（-）個物體放入個抽屜中，其中必有?個抽屜中至多有（一）個物體。

【證明】（反證法）：若每個抽屜都有不少r?個物體，則總共至少有個物體，與題設(shè)沖突，故

不行能

、抽屜原理的一般表述：”把多于個東西隨意分放進個空抽屜（是正整數(shù)），那么確定有一

個抽屜中放進了至少個東西

★奇數(shù)和偶數(shù)：

整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被整除的數(shù)叫做奇數(shù).

【偶數(shù)通?？梢杂茫檎麛?shù)）表示，奇數(shù)則可以用（為整數(shù)）表示。

特殊留意，因為能被整除，所以是偶數(shù)?！?/p>

、奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)：

性質(zhì)：偶數(shù)土偶數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)土奇數(shù)偶數(shù)。

性質(zhì)：偶數(shù)土奇數(shù)奇數(shù)。

性質(zhì)：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)。

性質(zhì)：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)。

性質(zhì)：偶數(shù)乂奇數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)奇數(shù).

★經(jīng)典例題

【表述】：在其次抽屜原理中，抽屜中的元素個數(shù)隨著元素總數(shù)的增加而增加，當(dāng)元素總數(shù)

達到抽屜數(shù)的若干倍后，可用抽屜數(shù)除元素總數(shù)，寫成下面的等式：

元素總數(shù)商X抽屜數(shù)余數(shù)

【假如余數(shù)不是，則最小數(shù)商；假如余數(shù)正好是，則最小數(shù)商?！?/p>

例題：幼兒園里有個小摯友，各種玩具有件。把這些玩具分給小摯友，是否有人會得到件或

件以上的玩具？

【解析】：把個小摯友看做是個抽屜，把玩具件數(shù)看做是元素。則X,V。依據(jù)抽屜

原理的第（）條規(guī)則：假如把XX（>2）個元素放到個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含

有個或更多個元素?？芍辽儆幸粋€抽屜里有個元素，即有人會得到件或件以上的玩具。

練習(xí)：

1、一個幼兒園大班有個小摯友，班里有各種玩具件。把這些玩具分給小摯友，是否有人會

得到件或件以上的玩具？

2、把枝鉛筆放入三個筆盒里，至少有一個筆盒里的筆不少于枝。這是為什么？

、把個球最多放在幾個盒子里，才能至少有一個盒子里有個球？

例題：布袋里有種不同顏色的球，每種都有個。最少取出多少個球，才能保證其中確定有個

球的顏色一樣？

【解析】：把種不同顏色看做個抽屜，把布袋中的球看做元素。依據(jù)抽屜原理第（）

條，要使其中一個抽屜里至少有個顏色一樣的球，那么取出的球的個數(shù)應(yīng)比抽屜個數(shù)的倍多。

即X（個）球。列算式為

（―）X（個）

練習(xí)：

1、布袋里有組都多的種不同顏色的球。最少取出多少個球才能保證其中確定有個顏色一樣

的球？

2、一個容器里放有塊紅木塊、塊向木塊、塊藍木塊，它們的形態(tài)、大小都一樣。當(dāng)你被蒙

上眼睛去容器中取出木塊時，為確保取出的木塊中至少有塊顏色相同，應(yīng)至少取出多少塊木

塊？

、一副撲克牌共張，其中一點各有張，還有兩張王的撲克牌。至少要取出幾張牌，才能保證

其中必有張牌的點數(shù)相同？

例題：某班共出名學(xué)生，他們都參與了課外愛好小組?；顒觾?nèi)容有數(shù)學(xué)、美術(shù)、書法和英語，

每人可參與個、個、個或個愛好小組。問班級中至少有幾名學(xué)生參與的項目完全相同？

【解析】：參與課外愛好小組的學(xué)生共分四種狀況，只參與一個組的有種類型，只參與

兩個小組的有個類型，只參與三個組的有種類型，參與四個組的有種類型。把（種）類型看

做個抽屜，把個學(xué)生放入這些抽屜，因為X,所以班級中至少出名學(xué)生參與的項目完全相同。

練習(xí)：

1、某班有個學(xué)生，他們都訂閱了《小主子報》、《少年文藝》、《小學(xué)生優(yōu)秀作文》三種報刊

中的一、二、三種。其中至少有幾位同學(xué)訂的報刊相同？

2、學(xué)校開辦了繪畫、笛子、足球和電腦四個課外學(xué)習(xí)班，每個學(xué)生最多可以參與兩個（可

以不參與）。某班出名同學(xué)，問至少有幾名同學(xué)參與課外學(xué)習(xí)班的狀況完全相同？

3、庫房里有一批籃球、排球、足球和鉛球,每人隨意搬運兩個,問：在個搬運者中至少有

幾人搬運的球完全相同？

例題：從至中，的倍數(shù)有彳個，不是的倍數(shù)的數(shù)有一個，至少要取出個不同的數(shù)才能保證其

中確定有一個數(shù)是的倍數(shù)，

練習(xí)：

1、在，，，……，中，至少要取出多少個不同的數(shù)，才能保證其中確定有一個數(shù)能被整除？

2、從至中，至少要取出匚個不同的數(shù)才能保證其中確定有一個數(shù)是的倍數(shù)？

、從至中，最多可以取出幾個數(shù)，使得這些數(shù)中沒有兩數(shù)的差是的倍數(shù)？

例題：將張卡片分給若干名同學(xué)，每人都能分到，但都不能超過張，試證明：找少有七名同

學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同，

【證明】：這題須要敏捷運用抽屜原理。將分得，，，……，張可片看做個抽屜，把同學(xué)

人數(shù)看做元素，假如每個抽屜都有一個元素，則需……（張）卡片。而+……（張），即每

個周體都有個元素，還余下張卡片沒分掉。而這張卡片無論怎么分，都會使得某一個抽屜至

少有個元素，所以至少出名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同。

練習(xí)：

1、把個桃分給若干只猴子，每只猴子不超過個。證明：無論怎樣分，至少有只猴子得到的

桃一樣多。

2、把顆棋子放在若干個格子里，每個格子最多可以放顆棋子。證明：至少有個格子中的棋

子數(shù)日相同。

、汽車小時行了千米，已知汽車第一小時行了千米，最終一小時行了千米。證明：確定存在

連續(xù)的兩小時，在這兩小時內(nèi)汽車至少行了千米。

例題：…的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？

例題：一個數(shù)分別與另外兩個相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個枳相差，這個數(shù)是多少？

例題：元旦前夕，同學(xué)們相互送賀年卡.每人只要接到對方賀年卡就確定回贈賀年卡，那么

送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)？為什么？

例題：已知、、中有一個是，一個是，一個是.求證,，的乘積確定是偶數(shù)。

例題：如下頁圖，從起點始，隔一米種一棵樹，假如把三塊'‘愛惜樹木”的小牌分別掛在三

棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），

這是為什么？

1米

起點

★小試牛刀

.木箱里裝有紅色球個、黃色球個、藍色球個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的

顏色相同，則最少要取出多少個球？

.一幅撲克牌有張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有張牌有相同的點數(shù)？

3.出名學(xué)生到老師家借書，老師的書房中有A、B、C、D四類書，每名學(xué)生最多可借兩

本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個學(xué)生所借的書的類型相同

.出名運動員進行某個項目的單循環(huán)賽,假如沒有平局,也沒有全勝。試證明：確定有兩個

運動員積分相同。

.體育用品倉庫里有很多足球、排球和籃球，某班名同學(xué)來倉庫拿球，規(guī)定每個人至少拿個

球，至多拿個球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一樣的？

.某校有個同學(xué)參與數(shù)學(xué)競賽，已知將參賽人隨意分成四組，則必有一組的女生多于人，乂

知參賽者中任何人中必有男生，則參賽男生的人數(shù)為多少人？

.有黑色、白色、藍色手套各只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的時候不許看疏色）,

才能使拿出的手套中確定有兩雙是同顏色的。

.一些蘋果和梨混放在一個筐里，小明把這筐水果分成了若干堆，后來發(fā)覺無論怎么分，總

能從這若干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個數(shù)是偶數(shù)，那么小明

至少把這些水果分成了多少堆？

.從，，，……，中，至少選出多少個數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和是。

.某旅游車上出名乘客，每位乘客都只帶有一種水果。假如乘客中有人帶梨，并且其中任何

兩位乘客中至少有一個人帶蘋果，那么乘客中有多少人帶蘋果。

.某個年級有人參與考試，滿分為分，且得分都為整數(shù)，總得分為分，則至少有多少人得分

相同？

.名營員去巡游長城，頤和園，天壇。規(guī)定每人最少去一處，最多去兩處巡游，至少有幾個

人巡游的地方完全相同？

.某校派出學(xué)生人上山植樹株，其中最少一人植樹株，最多一人植樹株，則至少有多少人植

樹的株數(shù)相同？

14、有個自然數(shù)，它們的和是偶數(shù).在這個自然數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多.問：這些

數(shù)中至多有多少個偶數(shù)？

15、有一串?dāng)?shù)，最前面的四個數(shù)依次是、、、.從第五個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面相鄰四

個數(shù)之和的個位數(shù)字.問：在這一串?dāng)?shù)中，會依次出現(xiàn)、、、這四個數(shù)嗎？

、求證：四個連續(xù)奇數(shù)的和確定是的倍數(shù)。

、把隨意個整數(shù)分別填入右圖中的個小方格內(nèi)，試說明確定有一個矩形，它的四個角上四個

小方格中的四個數(shù)之和為偶數(shù)。

、假如兩個人通一次電話，每人都記通話一次，在小時以內(nèi)，全世界通話次數(shù)是奇數(shù)的那些

人的總數(shù)為。

（）必為奇數(shù)，（）必為偶數(shù)，

O可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)。

請選擇并寫出過程：

19、一次宴會上，客人們相互握手.問握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總?cè)藬?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。

20、有張卡片，其中有張上面寫著，有張上面寫著，有張上面寫著，有張上面寫著.你能否

從中選出五張，使它們上面的數(shù)字和為？為什么？

21、有只杯子全部口朝下.放在盤子里.你能否每次翻動只杯子，經(jīng)過若干次翻動后將杯子全

部翻成口朝上？

22、電影廳每排有個座位，共排，要求每一觀眾都僅和它鄰近（即前、后、左、右）一人交

換位置.問：這種交換方法是否可行？

、由個大小相同的方格組成下列圖形（右圖），請證明：不論怎樣剪法，總不能把它剪成個

由兩個相鄰方格組成的長方形.

★七.行程問題

★跟學(xué)問握握手

、發(fā)車問題

[]一般間隔發(fā)車問題。用個公式快速作答；

汽車間距（汽車速度行人速度）X相遇事務(wù)時間間隔

汽車間距（汽車速度行人速度）X追與事務(wù)時間間隔

汽車間距汽車速度X汽車發(fā)車時間間隔

口求到達目的地后相遇和追與的公共汽車的輛數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖一一盡可能多的列個好使公式一一結(jié)合全程=乂結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。

[]當(dāng)出現(xiàn)多次相遇和追與問題一一柳卡

、火車過橋

【火車過橋問題常用方法】

口火車過橋時間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時間，因此火車的路程是橋長與

車身長度之和.

[]火車與人錯身時.，忽視人本身的長度，兩者路程和為火車本身長度；火車與火車錯身時,

兩者路程和則為兩車身長度之和.

口火車與火車上的人錯身時，只要認為人具備所在火車的速度，而忽視本身的長度，那么

他所看到的錯車的相應(yīng)路程仍只是對面火車的長度.

【對于火車過橋、火車和人相遇、火車追與人、以與火車和火車之間的相遇、追與等

等這幾種類型的題目，在分析題目的時候確定得結(jié)合著圖來進行.】

、接送問題：【依據(jù)校車速度（來回不同）、班級速度（穴同班不同速）、班數(shù)是否變更

分類為四種常見題型工

[]車速不變班速不變班數(shù)個（最常見）

[]車速不變班速不變班數(shù)多個

[]車速不變班速變班數(shù)個

[]車速變班速不變班數(shù)個

【標(biāo)準(zhǔn)解法：畫圖+列個式子】：

□總時間一個隊伍坐車的時間這個隊伍步行的時間；

[]班車走的總路程；

[]一個隊伍步行的時間班車同時動身后回來接它的時間。

、時鐘問題：時鐘問題可以看做是一個特殊的圓形軌道上人追與問題，不過這里的兩個“人”

分別是時鐘的分針和時針，

【時鐘問題有別于其他行程問題是因為它的速度和總路程的度量方式不再是常規(guī)的米每秒

或者千米每小時，而是個指針”每分鐘走多少角度”或者“每分鐘走多少小格

5、流水行船問題中的相遇與追與

[]兩只船在河流中相遇問題，當(dāng)甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出：

【甲船順?biāo)俣纫掖嫠俣龋状偎伲?（乙船速水速）甲船船速乙船船速】

[]同樣道理，假如兩只船，同向運動，一只船追上另一只船所用的時間，與水速無關(guān).

【甲船順?biāo)俣纫掖標(biāo)俣龋状偎伲ㄒ掖偎伲┘状僖掖?/p>

也有：甲船逆水速度乙船逆水速度（甲船速水速）（乙船速水速）甲船速乙船速.】

說明：兩船在水中的相遇與追與問題同靜水中的與兩車在陸地卜的相遇與追與問題一樣,與

水速沒有關(guān)系.

、比例與行程問題綜合問題：比例的學(xué)問是小學(xué)數(shù)學(xué)最終一個重要內(nèi)容，從某種意義上講

仿佛扮演著一個小學(xué)“壓軸學(xué)問點”的角色。

從一個工具性的學(xué)問點而言，比例在解很多應(yīng)用題時有著“得天獨厚”的優(yōu)勢，往往

體現(xiàn)在方法的敏捷性和思維的奇妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡潔明白。比例的

技巧不僅可用于解行程問題，對于工程問題、分數(shù)百分數(shù)應(yīng)用題也有廣泛的應(yīng)用。

我們常常會應(yīng)用比例的工具分析個物體在某一段相同路途上的運動狀況，我們將甲、

乙的速度、時間、路程分別用即，憶；外,「乙；5甲,5乙來表示，人體可分為以下兩種狀況：

[]當(dāng)個物體運行速度在所探討的路途上保持不變時，經(jīng)過同一段時間后，他們走過的

路程之比就等于他們的速度之比。

加一叫X加，這里因為時間相同，即廂=〃=，所以由加二包，/乙=反

S乙=乙勺V乙

得到，=曳=2，曳=曳，甲乙在同一段時間內(nèi)的路程之比等于速度比

琳U乙S乙U乙

[]當(dāng)個物體運行速度在所探討的路途上保持不變時，走過相同的路程時，個物體所用

的時間之比等于他們速度的反比。

=x

?，這里因為路程相同，即S甲=S乙=S,由5甲=甲，s乙乙

卜乙二〃xr乙

得5=%1、%=匕乂/乙，&=上，甲乙在同一段路程上的時間之比等于速度比

以外

的反比。

7、行程問題常用的解題方法有

口公式法

即依據(jù)常用的行程問題的公式進行求解，這種方法看似簡潔，其實也有很多技巧，運用

公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時條件不是干脆給出的，這就須

要對公式特別熟識，可以推知須要的條件；

口圖示法

在一些困難的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為協(xié)助工具.示意圖包括線段

圖和折線圖.圖示法即畫出行程的也許過程，重點在折返、相遇、追與的地點.另外在多次

相遇、追與問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法；

口比例法

行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時，用比例法可求得詳細數(shù)值.更重

要的是，在一些較困難的題目中，有些條件（如路程、速度、時間等）往往是不確定的，在沒

有詳細數(shù)值的狀況下，只能用比例解題：

口分段法

在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能干脆適用.這時通常把不勻速的運動分為

勻速的幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來；

口方程法

在關(guān)系困難、條件分放的題目中，干脆用公式或比例都很難求解時，設(shè)條件關(guān)系最多的

未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂槷?dāng)求解.

★小試牛刀

1、某停車場有輛出租汽車，第一輛出租汽車動身后，每隔分鐘，有一輛出租汽車開出.在第

一輛出租汽車開出分鐘后，有一輛出租汽車進場.以后每隔分鐘有一輛出租汽車回場.回場的

出租汽車，在原有的輛出用汽車之后又依次每隔分鐘開出?輛，問：從第?輛出租汽車開出

后，經(jīng)過多少時間，停車場就沒有出租汽車了？

2、小峰騎自行車去小寶家聚會，一路上小峰留意到，每隔分鐘就有一輛公交車從后方超越

小峰，小峰騎車到半路，車壞了，小峰只好打的去小寶家，這時小峰乂發(fā)覺出租車也是每隔

分鐘超越一輛公交車，已知出租車的速度是小峰騎車速度的倍，那么假如公交車的發(fā)車時間

間隔和行駛速度固定的話，公交車的發(fā)車時間間隔為多少分鐘？

3、小英和小敏為了測量飛駛而過的火車速度和車身長，他們拿了兩塊跑表.小英用一塊表登

記了火車從她面前通過所花的時間是秒;小敏用另一塊表登記了從車頭過第一根電線桿到車

尾過其次根電線桿所花的時間是秒.已知兩電線桿之間的距離是米.你能幫助小英和小敏算

出火車的全長和時速嗎？

4、一條單線鐵路上有個車站，它們之間的路程如圖所示（單位:千米）.兩列火車同時從兩站

相對開出，從站開出的每小時行千米,從站開出的每小時行千米.由于單線鐵路上只有車站才

鋪有停車的軌道,要使對面開來的列車通過，必需在車站停車,才能讓開行車軌道.因此，應(yīng)支

配哪個站相遇,才能使停車等候的時間最短.先到這一站的那一列火車至少須要停車多少分

鐘？

5、乙船順?biāo)叫行r，行了千米，返回原地用了小時.甲船順?biāo)叫型欢嗡?，用了小時.

甲船返回原地比去時多用了幾小時？

6、一條小河流過，，三鎮(zhèn)兩鎮(zhèn)之間有汽船來往，汽船在靜水中的速度為每小時千米兩鎮(zhèn)之間

有木船擺渡,木船在靜水中的速度為每小時千米.已知兩鎮(zhèn)水路相距千米,水流速度為每小時

千米.某人從鎮(zhèn)上船順流而下到鎮(zhèn),吃午飯用去小時,接著乘木船又順流而下到鎮(zhèn),共用小時.

那么兩鎮(zhèn)間的距離是多少千米？

7、現(xiàn)在是點，再過多長時間，時針與分針將第一次在一條直線上？

8、有一座時鐘現(xiàn)在顯示時整.那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時針第一次重合；再經(jīng)過多少

分鐘，分針與時針其次次重合？

9、某科學(xué)家設(shè)計了只怪鐘，這只怪鐘每晝夜時，每時分（如右圖所示）。當(dāng)這只鐘顯

示點時，事實上是中午點；當(dāng)這只鐘顯示點分時，事實上是什么時間？

、手表比鬧鐘每時快秒，鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時間每時慢秒。點悠將手表對準(zhǔn)，點整手表顯示

的時間是幾點幾分幾秒?

11、甲、乙二人分別從、兩地同時動身，相向而行，甲、乙的速度之比是：，二人相

遇后接著行進，甲到達地和乙到達地后都馬上沿原路返回，已知二人其次次相遇的地點

距第一次相遇的地點千米，則、兩地相距多少千米？

12、地在，兩地之間.甲從地到地去送信，甲動身分后，乙從地動身到地去送另一封信，乙

動身后分，丙發(fā)覺甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從地動身騎車去追逐甲和乙，以便

把信調(diào)過來.已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的倍，丙從動身到把信調(diào)過來

后返回地至少要用多少時間。

、甲、乙兩車分別從、兩地同時動身，相向而行.動身時，甲、乙的速度之比是：，

相遇后甲的速度削減，乙的速度增加.這樣當(dāng)甲到達地時，乙離地還有千米.那么、

兩地相距多少千米？

、在一圓形跑道上，甲從點、乙從點同時動身反向而行，分后兩人相遇，再過分甲到

達點，又過分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各須要多少分？

14、一輛汽車從甲地開往乙地，每分鐘行米，預(yù)料分鐘到達.但汽車行駛到路程的|時，出

了故障，用分鐘修理完畢，假如仍需在預(yù)定時間內(nèi)到達乙地，汽車行駛余下的路程時，每分

鐘必需比原來快多少米？

、狗跑步的時間馬跑步，馬跑步的距離狗跑步，現(xiàn)在狗已跑出米，馬起先追它。問：狗再跑

多遠，馬可以追上它？

、甲乙輛車同時從兩地相對開出，幾小時后再距中點千米處相遇？已知，甲車行完全程要

小時，乙車行完全程要小時，求兩地相距多少千米？

、在一個米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔分鐘相遇

一次，若兩個人速度不變，還是在原來動身點同時動身，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人

每隔分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？

、慢車車長米，車速每秒行米，快車車長米，車速每秒行米，慢車在前面行駛，快車從后面

追上來，那么，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車須要多少時間？

、在米長的環(huán)形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒米，乙平均速度

是每秒米，兩人起跑后的第一次相遇在起跑線前幾米？

、一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲后，在經(jīng)過秒火車經(jīng)過她前面，已知火車鳴

笛時離他米，（軌道是直的），聲音每秒傳米，求火車的速度（得出保留整數(shù)）

、獵犬發(fā)覺在離它米遠的前方有一只奔跑著的野兔，立刻緊追上去，獵犬的步伐大，它跑步

的路程，兔子要跑步，但是兔子的動作快，獵犬跑步的時間，兔子卻能跑步，問獵犬至少跑

多少米才能追上兔子。

正確的答案是獵犬至少跑米才能追上。

、兩地，甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是，假如甲乙二人分別同時從兩地相對行使

分鐘后兩人相遇,相遇后各自接著前行,這樣，乙到達地比甲到達地要晚多少分鐘？

、甲乙兩車同時從兩地相對開出。第一次相遇后兩車接著行駛，各自到達對方動身點后馬上

返回。其次次相遇時離地的距離是全程的。已知甲車在第一次相遇時行了千米。兩地相距多

少千米？

、一船以同樣速度來回于兩地之間，它順流須要小時;逆流小時。假如水流速度是每小時千

米，求兩地間的距離？

、快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行千米，相遇是已行了全程的七分之四，

已知慢車行完全程須要小時，求甲乙兩地的路程。

、小華從甲地到乙地分之騎車分之乘車;從乙地返回甲地分之騎車分之乘車，結(jié)果慢了半小時.

已知,騎車每小時千米,乘車每小時千米，問：甲乙兩地相距多少千米？

★八.比例問題

★跟學(xué)問握握手

★【比例與百分數(shù)作為一種數(shù)學(xué)工具在人們口常生活中處理多組數(shù)量關(guān)系特別有用，這一部

分內(nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容。故學(xué)生敢當(dāng)駕馭的學(xué)問有】:

、比和比例的性質(zhì)

性

即若

，貝h）:（）::;

典

性

若

，則（）:（）

屆

性

若

,則（）:（（為常數(shù)）

屆

性

若

，則XX；（即外項積等于內(nèi)項積）

正比例：假如+（為常數(shù)），則稱、成正比；

反比例：假如X（為常數(shù)），則稱、成反比.

、主要比例轉(zhuǎn)化實例

「1xaybxyab

LJ—=-=—=—;—=—;—=—;

ybxaabxy

[]V，n吧,：口吧（其中,〃#o）；

yhmyhymb

xa=x_ax-y_a-bx+y_a+b

ybx4-ya+bxax-ya-b

-,xaycxac..,

rLJ—=一,—=—=>—=—；x:y:z=ac:bc:ba；

ybzdzbd

□》的￡等于y的&,則X是>，的㈣，y是X的處.

abbead

、按比例安排與和差關(guān)系

口按比例安排

例如：將x個物體依據(jù)。:6的比例安排給甲、乙兩個人，那么事實上甲、乙兩個人各自安排

到的物體數(shù)量與x的比分別為。：（〃+與和江（〃+與，所以甲安排到￡■個，乙安

a+b

排到匹個.

a+b

[]已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個類別數(shù)量的問題

例如：兩個類別A、B,元素的數(shù)量比為（這里,數(shù)量差為％,那么4的元素數(shù)

量為二匚，3的元素數(shù)量為3-，所以解題的關(guān)鍵是求出（〃-。）與〃或〃的比值.

a-ba-b

、比例題目常用解題方式和思路

解答分數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、運用單位"”。題中假如有幾個不同的單位“”，必需

依據(jù)詳細狀況，將不同的單位“二轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單位“”，使數(shù)量關(guān)系簡潔化，達到解決問

題的效果。在解答分數(shù)應(yīng)用題時，要留意以下幾點：

[]題中有幾種數(shù)量相比較時，要選擇與各個已知條件關(guān)系親密、便于干脆解答的數(shù)量為單

位“”。

[]若題中數(shù)量發(fā)生變更的，一般要選擇不變量為單位"”。

[]應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解答應(yīng)用題時要留意題中某一數(shù)量是否確定，然后再確定是成正比

例，還是成反比例。找出這些詳細數(shù)量相對應(yīng)的分率與其他詳細數(shù)量之間的正、反比例關(guān)系，

就能找到更好、更巧的解法。

口題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。

口賦值解比例問題

★小試牛刀

1、已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的！，乙等于甲、丙兩數(shù)和的工，丙等于

32

甲、乙兩數(shù)和的2,求甲:乙:丙.

7

2、已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的士7，那么甲的士2、乙的2倍、

33

丙的一半這三個數(shù)的比為多少？

、如下圖所示，圓4與圓C的面積之和等于圓A面積的?4，且圓A中的陰影部分面積占圓4

?J

面積的J,圓A的陰影部分面積占圓5面積的,，圓c的陰影部分面積占圓c面積的1.求

653

圓A、圓8、圓C的面積之比

A

B

4、某俱樂部男、女會員的人數(shù)比是，分為甲、乙、丙三組的人數(shù)比是，甲組中男、女會員

的人數(shù)之比是，乙組中男、女會員的人數(shù)之比是.求丙組中男、女會員人數(shù)之比。

5、某團體出名100會員，男女會員人數(shù)之比是14:11,會員分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩

組人數(shù)之和一樣多，各組男女會員人數(shù)之比依次為12:13、5:3、2:1,那么丙組有多少名

男會員？

6、（年華杯賽總決賽）4、B、C三項工程的工作量之比為1:2:3,由甲、乙、丙三隊分別

擔(dān)當(dāng).三個工程隊同時開工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，

乙完成的工作量是內(nèi)未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，

則甲、乙、丙隊的工作效率的比是多少？

、□某校畢業(yè)生共有個班，每班人數(shù)相等.

口已知一班的男生人數(shù)比二、三班兩個班的女生總數(shù)多；

口四、五、六班三個班的女生總數(shù)比七、八、九班三個班的男生總數(shù)多.那么該校畢業(yè)

生中男、女生人數(shù)比是多少？

8、一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學(xué)生，甲班比乙班多分到16個，而甲、乙兩班的人數(shù)比

為13:11,求一共有多少個蘋果？

9、一班和二班的人數(shù)之匕是8:7,假如將一班的8名同學(xué)調(diào)到二班去，則一班和二班的人

數(shù)比變?yōu)?:5.求原來兩班的人數(shù)。

、幼兒園大班和中班共出名男生，名女生.已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為5:3,中班再生

數(shù)與女生數(shù)的比為2:1,那么大班有女生多少名？

、甲、乙兩只螞蟻同時從4點動身，沿長方形的邊爬去，結(jié)果在距4點2厘米的。點相遇，

己知乙螞蟻的速度是甲的1.2倍，求這個長方形的周長？

A甲

乙

12、甲乙兩車分別從，兩地動身，相向而行.動身時，甲、乙的速度比是：，相遇后，甲

的速度削減％,乙的速度增加％,這樣，當(dāng)甲到達地時，乙離地還有千米.問：，兩地相距

多少千米？

13、師徒二人加工一批零件，師傅加工一個零件用分鐘，徒弟加工一個零件用分鐘.完成任

務(wù)時，師傅比徒弟多加工個零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個零件？

14、4、B、。三個水桶的總?cè)莘e是1440公升，假如A、2兩桶裝滿水，。桶是空的；若

將A桶水的全部和8桶水的或?qū)?桶水的全部和A桶水的1倒入。桶，。桶都恰好裝

53

滿.求4、B、。三個水桶容積各是多少公升？

15、一塊長方形鐵板，寬是長的從寬邊截去21厘米，長邊截去35%以后，得到一塊正

方形鐵板.問原來長方形鐵板的長是多少厘米？

16、一把小刀售價3元.假如小明買了這把小刀，那么小明與小強剩余的錢數(shù)之比是2:5；

假如小強買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)?:13.小明原來有多少錢？

17、一項機械加工作業(yè)，用臺A型機床，天可以完成；用臺A型機床和臺8型機床天可以

完成；用臺3型機床和臺C型機床，天可以完成，若種機床各取一臺工作天后，剩下A、C

型機床接著工作，還須要一天可以完成作業(yè)。

18、動物園門票大人20元，小孩10元.六一兒童節(jié)那天，兒童免票，結(jié)果與前一天桂比，

大人增加了60%,兒童增加了90%,共增加了2100人，但門票收入與前一天相同.六一兒

童節(jié)這天共有多少人入園？

19、某水果批發(fā)市場存放的蘋果與桃子的噸數(shù)的比是1:2,第一天售出蘋果的20%,售出桃

子的噸數(shù)與所剩桃子的噸數(shù)的比是1:3；其次天售出蘋果18噸，桃子12噸，這樣一來，所

剩蘋果的噸數(shù)是所剩桃子噸數(shù)的色，向原有蘋果和桃子各有多少噸？

15

20、有一?個長方體，長和寬的比是2:1,寬與高的比是3:2.表面積為72cm2,求這個長方

體的體積。

21、（年第七屆“希望杯”二試六年級）某高速馬路收費站對于過往車輛收費標(biāo)準(zhǔn)是：大型

車30元，中型車15元，小型車10元.一天，通過該收費站的大型車和中型車數(shù)量之比是5:6,

中型車與小型車之比是4:11,小型車的通行費總數(shù)比大型車多270元.（）這天通過收費站

的大型車、中型車、小型車各有多少輛？（）這天的收熨總數(shù)是多少元？

22、6枚壹分硬幣摞在?起與5枚貳分硬幣摞在?起?樣高，4枚壹分硬幣摞在?起與3枚

伍分硬幣摞在一起一樣高.用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個圓柱體，并且三個圓柱體一

樣高，共用了124枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？

23、某工地用3種型號的卡車運輸土方.已知甲、乙、丙三種卡車教重量之比為10:7:6,

速度比為6:8:9,運輸土方的路程之比為15:14:14,三種車的輛數(shù)之比為10:5:7.工程起

先時，乙、丙兩種車全部投入運輸，但甲種車只有一半投入，直到10天后，另一半甲種車

才投入工作，一共干了25天完成任務(wù).那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？

24、將一堆糖果全部分給甲、乙、內(nèi)三個小摯友.原支配甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為

5:4:3.事實上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為7:6:5,其中有一位小摯友比原支配多

得了15塊糖果.那么這位小摯友是（填“甲”、“乙”或“丙”），他實際所得的糖

果數(shù)為塊。

25、一個周長是56厘米的大長方形，按圖⑴與圖⑵所示意那樣，劃分為四個小長方形.在

圖⑴中小長方形面積的比是A:B=1:2,B:C=1:2.而在圖⑵中相應(yīng)的比例是是:B'=1:3,

9:C=1:3.乂知長方形D'的寬減去D的寬所得到的差與D'的長減去D的長所得到差之

比為1:3.求大長方形的面積。

26、北京中學(xué)生運動會男女運動員比例為19:12,組委會確定增加女子藝術(shù)體操項目，這樣

男女運動員比例變?yōu)?0:13；后來乂確定增加男子象棋次目，男女比例變?yōu)?0:19,已知男

子象棋項目運動員比女子藝術(shù)體操運動員多15人，則總運動員人數(shù)為多少？

27、有若干個突擊隊參與某工地會戰(zhàn)，已知每個突擊隊人數(shù)相同，而且每個隊的女隊員的人

數(shù)是該隊的男隊員的工，以后上級從第一突擊隊調(diào)走了該隊的一半隊員，而且全是男隊員，

18

「?是工地上的全體女隊員的人數(shù)是剩下的全體男隊員的福，問起先共有多少支突擊隊參與

會戰(zhàn)？

28、某學(xué)校入學(xué)考試，參與的男生與女生人數(shù)之比是4:3.結(jié)果錄用人，其中男生與女生

人數(shù)之比是8:5.未被錄用的學(xué)生中，男生與女生人數(shù)之比是3:4.問報考的共有多少人？

29、有甲、乙兩塊含銅率不同的合金，甲塊重6千克，乙塊重4千克，現(xiàn)在從甲、乙兩塊合

金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊的剩余的部分一起熔煉，再將乙

塊上切下的部分與甲塊的剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相同，求切下的

重量為。

小學(xué)奧數(shù)分類型講解資料

、最值問題

【最小值問題】

例外賓由甲地經(jīng)乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的

中點，原來就各有一位民警值勤。為了保證平安，上級確定在沿途增加值勤民警，并規(guī)定每

相鄰的兩位民警（包括原有的民警）之間的距離都相等?，F(xiàn)知甲乙相距米，乙丙相距米，丙

丁相距米，那么至少要增加位民警。

,50。0米?80。。米M000米?

甲乙西丁

如圖5.91

（《中華電力杯》少年數(shù)學(xué)競賽決賽第一試試題）

講析：如圖，現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點各有一位民警，共有位

民警。他們將上面的線段分為了個米，個米，個米,現(xiàn)要在他們各自的中間插入若干名民警,

要求每兩人之間距離相等，這事實上是要求將、、分成盡可能長的同樣長的小路。

由于、、的最大公約數(shù)是，所以，整段路最少須要的民警數(shù)是（++）++（名）。

例在一個正方體表面上，三只螞蟻分別處在、、的位置上，如圖所示，它們爬行的速

度相等。若要求它們同時動身會面，那么，應(yīng)選擇哪點會面最省時？

（湖南懷化地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試題）

如圖5.92

講析：因為三只螞蟻速度相等，要想從各自的地點動身會面最省時，必需三者同時到達,

即各自行的路程相等。

我們可將正方體表面綻開，如圖，則、、三點在同一平面上。這樣，便將問題轉(zhuǎn)化為在

同一平面內(nèi)找出一點，使到這三點的距離相等且最短。

A「?QX

BC

如圖5.93

所以，連接和，它與正方體的一條棱交于；再連接，不難得出。

故，點即為三只螞蟻會面之處。

【最大值問題】

例有三條線段、、，并且VV。推斷：圖的三個梯形中，第幾個圖形面積最大？

如圖5.94

（全國其次屆“華杯賽”初賽試題）

講析：三個圖的面積分別是：

:（a+c）Xb；；J（b+c）Xa；；（a+b）Xc；

乙乙乙

三個面積數(shù)變更的部分是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是（++）的和確定。其問題

實質(zhì)上是把這個定值拆成兩個數(shù)，求這兩個數(shù)為何值時，乘積最大。由等周長的長方形面積

最大原理可知，（+）X這組數(shù)的值最接近。

故圖（）的面積最大。

例某商店有一天，估計將進貨單價為元的某商品按元售出后，能賣出個。已知這種商

品每個漲價元，其銷售量就削減個。為了使這一天能賺得更多利潤，售價應(yīng)定為每個元。

（臺北市數(shù)學(xué)競賽試題）

講析：因為按每個元出售，能賣出個，每個漲價元，其銷量削減個，所以，這種商品按

單價元進貨，共進了個。

現(xiàn)把個商品按每份個，可分成份。因每個漲價元，鐺量就削減份（即個）：相反，每個

減價元，銷量就增加份。

所以，每個漲價的錢數(shù)與銷售的份數(shù)之和是不變的（為），依據(jù)等周長長方形面積最大

原理可知，當(dāng)把分為兩個時，即每個漲價元，賣出份，此時有最大的利潤。

因此，每個售價應(yīng)定為+（元）時，這一天能獲得最大利潤。

、最值規(guī)律

【積最大的規(guī)律】

（）多個數(shù)的和確定（為一個不變的常數(shù)），當(dāng)這幾個數(shù)均相等時，它們的積最大。

用字母表示，就是

假如…（為一常數(shù)），

那么，當(dāng)…時，XX…X有最大值。

例如，，

fX；

fx;

一X；

-x；

fX；

fx；

一X；

-*X；

由上可見，當(dāng)、兩數(shù)的差越小時，它們的積就越大：只有當(dāng)它們的差為，即時，它們的

積就會變得最大。

三個或三個以上的數(shù)也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。

由“積最大規(guī)律”，可以推出以下的結(jié)論：

結(jié)論全部周長相等的邊形，以正邊形（各角相等，各邊也相等的邊形）的面積為最大。

例如，當(dāng)時，周長相等的全部四邊形中，以正方形的面積為最大。

例題：用長為厘米的鐵絲，圍成一個長方形，長寬如何安排時，它的面積為最大？

解設(shè)長為厘米，寬為厘米，依題意得

（）X

即

由積最大規(guī)律，得（厘米）時，面積最大為

X（平方厘米）。

（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的長方形。）

結(jié)論在三度（長、寬、高）的和確定的長方體中，以正方體的體積為最大。

例題：用米