小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型〔等積鳥頭蝶形相似共邊

小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型〔等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊）

目標(biāo)：熟練掌握五大面積模型等積，鳥頭，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏

模型），共邊（含燕尾模型和風(fēng)箏模型），掌握五大面積模型的各種變形

知識(shí)點(diǎn)撥

一、等積模型

①等底.高的兩個(gè)三角形面積相等；A8/

②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；Z\/V7

兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；/_匚\_

如右圖￥:$2=a:。

③夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖=SABCD；

反之，如果S"8=SMC。，那么可知直線AB平行于CD.

④等底等高的兩個(gè)手行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行

四邊形）；

⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；

⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等,

面積比等于它們的高之比.

二、鳥頭定理

兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.

如圖在"BC中，分別是上的點(diǎn)如圖⑴（或。在8A的延長(zhǎng)線上，后在

AC上），

那么：S-=x/AC）：（4DxAE）

圖⑴圖⑵

三、蝶形定理

任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝶形定理〃）：

?S,:52=54:53^#S1xS3=S2xlS4（2）AO:OC=（S1+S2）:（S4+S3）

蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)那么四邊形的面積問

題的一個(gè)途徑.通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)那

么四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另

一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系.

梯形中比例關(guān)系（“梯形蝶形定理〃）:

22

②$:S3:S2:S4=a:b:ab:ab;

③S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（a+4.

四、相似模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

①AO_AE_OE_AJ

BC-AG'

②s△?。篠BC=A尸：AG??

所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，

不管大小怎樣改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下:

⑴相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似

比；

⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；

⑶連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半.

相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具.

在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形.

五、共邊定理（燕尾模型和風(fēng)箏模型）

在三角形A8C中，AD,BE,6相交于同一點(diǎn)0,那么人

^MRO*=BD：DC?/P\

上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因//\￡

為A44O和AACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個(gè)定理被稱/SK\

為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，

它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)二角形之中，為BDC

三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.

典型例題

【例1】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6,AE=1.5,CF=2.長(zhǎng)方形防的面積

為.

【解析】連接用DF,那么長(zhǎng)方形甌W的面積是三角形叱面積的二倍.

三角形比F的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積，

S^DEF=6X6-1.5X6+2-2X6+2-4.5X4+2=16.5,所以長(zhǎng)方形EFGH面

積為33.

【穩(wěn)固】如下圖，正方形A5CQ的邊長(zhǎng)為8厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)3G為：0厘米,

那么長(zhǎng)方形的寬為幾厘米？

【解析】此題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形

和正方形可以看作特殊的平行四邊形）.三角形面積等于與它等底等高

的平行四邊形面積的一半.

證明：連接AG.（我們通過AABG把這兩個(gè)長(zhǎng)方形和正方形聯(lián)系在一

起）.

???在正方形A8C。中，S△八面=gx/13xAB邊上的高，

???S^ABG=^SAbCD（三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積

的一半）

向理，~SEFGB?

，正方形A8CD與長(zhǎng)方形EFG8面積相等.長(zhǎng)方形的寬=8x8+10=6.4（厘

米）.

【例2】長(zhǎng)方形A8CD的面積為36cw2,E、八G為各邊中點(diǎn)，”為4）邊上任

意一點(diǎn)，問陰影局部面積是多少？

【解析】解法一：尋找可利用的條件，連接〃〃、HC,如下列圖：

s-15

可得：V。MHB—2ACHBSRDHG=2ShDHC而

^ABCD=S&\HB+S&CHB+^ACHD=36

即S^EHB+S.HF+S^HG=5+$&CHB+S&CHD)=]X36=18;

而S&EHB+SgHF+SRDHG=S陰影+S謝F

S皿=gx8Ex8尸=gx（gxH8）x（gx8C）="x36=4.5.

所以陰影局部的面積是：^=18-5,^=18-4.5=13.5

解法二：特殊點(diǎn)法.找”的特殊點(diǎn)，把”點(diǎn)與。點(diǎn)重合，

那么圖形就可變成右圖：

這樣陰影局部的面積就是拉把廠的面積，根據(jù)鳥頭定理，那么有:

S陰影=S/18S—SAAED-SM"-SAC/7）=36—5X5.36.5X5X36=13.5.

【穩(wěn)固】在邊長(zhǎng)為6厘米的正方形ZcD內(nèi)任最一點(diǎn)；，將東加形的一組對(duì)邊

二等分，另一組對(duì)邊三等分，分別與尸點(diǎn)連接，求陰影局部面積.

【解析】（法1）特殊點(diǎn)法.由于P是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)，可采用特殊點(diǎn)法，

假設(shè)2點(diǎn)與A點(diǎn)重合，那么陰影局部變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個(gè)陰

影三角形的面積分別占正方形面積的』和』，所以陰影局部的面積為

46

62x（；+*=15平方厘米.

（法2）連接孫、PC.

由于APA。與AP8C的面積之和等于正方形ABC。面積的一半，所以上、下

【例5】如圖，8=5,DE=7,EF=15,FG=6,線段A3將圖形分成兩局部，左

邊局部面積是38,右邊局部面積是65,那么三角形的的面積是.

【解析】連接AF,BD.

根據(jù)題意可知，CF=5+7+15=27;&7=7+15+6=28;

7_

9

所以，S^EF=王jSKBF，SgEC~萬S&cBF1^AA￡G=^^A4/X；9,^AAED=28'

211S719

于是：加萬Sy切=65；蘇5必“+方=38；

可得又心^一句.故二角形ADC7的面積是40.

【例6】如圖在AABC中，。，石分別是A&AC上的點(diǎn)，且AD:AB=2:5,AE:AC=4:7,

S“,%=16平方厘米，求八位的面積.

【解析】連接8E,S△八或應(yīng)他.=AQ:A3=2:5=(2X4):(5X4),

SME：S△他?=A￡AC=4:7=(4X5):(7X5)，所以S△叱：5.詠=(2x4):(7x5),設(shè)

S△加「=8份，那么又.8c=35份，S=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，

35份就是70平方厘米，AABC的面積是70平方厘米.由此我們得到一個(gè)

重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互

補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比.

【穩(wěn)固】如圖，三角形ABC中，是AD的5倍，AC是的3倍，如果三角

形4定的面積等于1,那么三角形A品的面積是多少？

【解析】連接BE.

EC=3AE

.,SABC=3S.ABE

又＜AB=5AD

,?SADE=SABE+5=SA8C+15，??S4BC=155ADE=15.

【穩(wěn)固】如圖，三角形力比被分成了甲(陰影局部)、乙兩局部，9=DC=4,座=3,

AE=6,乙局部面積是甲局部面積的幾倍？

【解析】連接4).

?:BE=3,AE=6

：.AB=3HE,S枇=35WE

又?:BD=DC=4,

??SABC—2SRBD，??SARC—6sBDE，=5S[1i?

【例7】如圖在AABC中，。在8A的延長(zhǎng)線上，E在AC上，且AB:AD=5:2,

AE:￡C=3:2,S*=12平方厘米，求AABC的面積.

【解析】連接HE,

SXADE:S，、ABE=AD:AB=2:5=(2x3)：(5x3)

S,\ABK:Sf、ABc=AE:AC=3:(3+2)=(3x5):[(3+2)x5],

所以工的與△枷=(3x2):[5x(3+2)]=6:25，設(shè)S△皿=6份，那么工.=25份，

S“0E=12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，AABC

的面積是50平方厘米.由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角

三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比

【例8】如圖，平行四邊形ABC。，BE=AB9CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD9平

行四邊形ABCD的面積是2,求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積

比.

【解析】連接AC、BD.根據(jù)共角定理

'/在AABC和/\BFE中，ZABC與ZFBE互補(bǔ)，

?S”_ABBC1x11

S4FBEBE-BF1x33

=9

又S&ARC1所以S>FBF.=3?

問理可得5△GCF=8,S△［申G=15,S4AEH=8.

所以SEIPH=S△，回+S^CFG+S3DHG+S&BEF+^ABCD=8+8+15+3+2=36?

所以mg=2_=_L.

SEFGH3618

【例9】如下圖的四邊形的面積等于多少？

【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長(zhǎng)方形，難以運(yùn)用公式直接求

面積.

我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對(duì)圖形實(shí)施變換：

把三角形OW繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使長(zhǎng)為13的兩條邊重合，此時(shí)三角

形OA8將旋轉(zhuǎn)到三角形。。的位置.這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形

是一個(gè)邊長(zhǎng)為12的正方形，且這個(gè)正方形的面積就是原來四邊形的面

積.

因此，原來四邊形的面積為12x12=144.（也可以用勾股定理）

【例10】如下圖，AA8C中，ZABC=90°,AB=3,BC=59以AC為一邊向AABC外

作正方形ACDE,中心為O,求的面積.

【解析】如圖，將△048沿著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，到達(dá)AOCE的位置.

由于Z/$C=90。，ZAOC=90°,所以NQM“C4=】80°?而=

所以NX尸+“C8=180。，那么8、C、尸三點(diǎn)在一條直線上.

由于08=8,ZBOF=ZAOC=90°,所以她。尸是等腰直角三角形，且斜邊所

為5+3=8,所以它的面積為82x，=16.

4

根據(jù)面積比例模型，AOBC的面積為16x3=10.

8

【例11］如圖，以正方形的邊/W為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形梃，

ZAEB=90°,AC、BD交于O.AE>應(yīng):的長(zhǎng)分別為女m、5cm,求三角形QBE

的面積.

【解析】如圖，連接以4點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到A45戶的位置.

ZE4F=ZE4B+ZE4F=ZE4B+ZZME=90°,而N4所也是90。，所以四邊形

AF8E是直角梯形，且A尸=AE=3,

所以梯形的面積為：

（3+5）x3xg=12（cm2）.

又因?yàn)锳ASE是直角三角形，根據(jù)勾股定理，AB-=AE-+BE-=32+52=34，

所以鼠如）=17（cm2）.

那么S2DE=S3D—(SMBE+^MDE)=^MBD~^AFBE=17—12=5(Cm"),

所以S&OBE=5SgDE=2.5（cnr）.

【例12】如下列圖，六邊形AZJCDEV中，AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有A/J平

行于ED,"平行于8,8c平行于EF,對(duì)角線㈤垂直于BD,尸。=24厘

米，=18厘米，請(qǐng)問六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？

【解析】如圖，我們將AfiC。平移使得CD與AF重合，將ADE5平移使得ED與加重

合，這樣所、都重合到圖中的AG了.這樣就組成了一個(gè)長(zhǎng)方形

它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長(zhǎng)方形3Gm的面積為24x18=432

平方厘米，所以六邊形A3CD）的面積為432平方厘米.

【例13】如圖，三角形"3C的面積是1,E,是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在AC上，且

BD:DC=1:2,AD與BE交于點(diǎn)F.那么四邊形。正。的面積等于.

【解析】方法一：連接B,根據(jù)燕尾定理，2=孥，S△八BF_AE_]

°qACBF-乙FC?~，

=

設(shè)s△皿=1份，那么S△叼=2份，S△人"=3份,S&AEF=3份，

如圖所標(biāo)

所以SDCEF=卷S^ABC=\

2

方法二：連接。E,由題目條件可得到%.二；$△ABC二1

5A^=^A4DC=|X|SA,^=1所以等=沁=:

1

2233/E%ADE

$」《_11_11￡Q

、4DEF—X—2X3X、ABEC一e'1'弓X3△人BC-五

而以以4JXSAA所以那么四邊形mEC的面積等于1

【穩(wěn)固】如圖，長(zhǎng)方形AHC7）的面積是2平方厘米，EC=2DE,尸是。G的中點(diǎn).陰

影局部的面積是多少平方厘米？

【解析】設(shè)s-二i份，那么根據(jù)燕尾定理其他面積如下圖s陰影4ss=尚

平方厘米.

【例14］四邊形A8CD的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)。（如下圖）?如果三角形的面

積等于三角形BCD的面積的g,且AO=2,DO=3,那么CO的長(zhǎng)度是OO

的長(zhǎng)度的倍.'

【解析】在此題中，四邊形ABC。為任意四邊形，對(duì)于這種〃不良四邊形〃，無

外乎兩種處理方法：⑴利用條件，向己有模型靠攏，從而快速解決；⑵

通過畫輔助線來改造不良四邊形.看到題目中給出條件3.：力血=1:3,

這可以向模型一蝶形定理靠攏，于是得出一種解法.又觀察題目中給出

的條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第

二種解法需要一個(gè)中介來改造這個(gè)〃不良四邊形〃，于是可以作A"垂

直8D于”，CG垂直比＞于G,面積比轉(zhuǎn)化為高之比.再應(yīng)用結(jié)論：三角

形高相同，那么面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果.請(qǐng)老師注意比擬兩

種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝶形定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀上愿意掌握并使用蝶

形定理解決問題.

解法一：「AO：OC=Sg9：5.叱=1：3,/.OC=2x3=6,AOC:00=6:3=2:1.

解法二：作/V/J.4D于〃，CGLBD^G^

=

?TJ^ABcn，??A”二。;CG,???^^AOD=T*^ADOC>

?1/

..AO=-CO,..OC=2x3=6,..OC:OD=6:3=2:1.

3

【穩(wěn)固】如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面

積，

求：⑴三角形BGC的面積；(2)AG:GC=?

【解析】⑴根據(jù)蝶形定理，SBGCXI=2x3,那么S"=6；

⑵根據(jù)蝶形定理，AG:GC=(l+2):(3+6)=l:3.

【例15］如圖，平行四邊形AAC/)的對(duì)角線交于。點(diǎn)，ACEF、4OEF、AODF、/XBOE

的面積依次是2、4、4和6.求：⑴求△如〃的面積；⑵求△GCE的面

積.

【解析】⑴根據(jù)題意可知，/^。。的面積為2+4+4+6=16,那么△ACO和△6)的面

積都是16+2=8,所以△OC尸的面積為8-4=4;

⑵由于△Z7CO的面積為8,的面積為6,所以△%￡；的面積為

8-6=2,

根據(jù)蝶形定理，EG:FG=SMOE：SACOF=2：4=1:2，所以

S'GCK?S\8r.=EG:FG=1:2,

那么S&GCE=]+2SACEF33

【例16］如圖，長(zhǎng)方形A8CZ)中，BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形MG的面積為

2平方厘米，求長(zhǎng)方形ABC7)的面積.

【解析】連接AE,FE.

因?yàn)锽E:EC=2:3，DF:FC=l:2,所以

5.?！瓴?［X§X5)S長(zhǎng)方形八8a)=-S長(zhǎng)方形"CO?

因?yàn)?AM=耳S長(zhǎng)方聆8co，AG:GF=^:-^=5:1)所以S?)=5SG/?=10平方厘

米，所以5.0=12平方厘米.因?yàn)殚L(zhǎng)方形所以長(zhǎng)方形ABC。

o

的面積是72平方厘米.

【例17]如圖，正方形A8CZ）面積為3平方厘米，M是4）邊上的中點(diǎn).求圖中陰

影局部的面積.

【解析】因?yàn)镸是4）邊上的中點(diǎn)，所以aM:4c=1:2,根據(jù)梯形蝶形定理可以知

道

SAAMG:S^ABG:S△MC6:S/X8CG=f：（1X2）：（1X2）：2]=]：2：2：4,設(shè)S^GA/=1份，那么

S.S=1+2=3份，所以正方形的面積為1+2+2+4+3=12份，

S陰影=2+2=4份,所以S陰影：S正方形=1:3,所以S陰影=1平方厘米.

【穩(wěn)固】在下列圖的正方形八成7）中，E是邊的中點(diǎn)，AE與8。相交于廠點(diǎn)，

三角形8"的面積為1平方厘米，那么正方形A8CZ）面積是平方厘米.

【解析】連接。E,根據(jù)題意可知BE:AD=\:2,根據(jù)蝶形定理得

S梯形=（1+2）2=9（平方厘米）,SA￡CD=3（平方厘米），那么S小=12（平

方厘米）.

【例18]A8CQ是平行四邊形，水?:CE=3:2,三角形8E的面積為6平方厘米.那

么陰影局部的面積是平方厘米.

【解析】連接AC.

由于ABC。是平行四邊形，BUCE=3:2,所以CE:4）=2:3,

22

根據(jù)梯形蝶形定理，5CO￡:54OC:SW￡:SMOD=2:2x3:2x3:3=4:6:6:9,所

以SAOC=6（平方厘米），Sj曲=9（平方厘米），又

S.=S.Q=6+9=15（平方厘米）,陰影局部面積為6+15=21（平方厘米）.

【穩(wěn)固】右圖中MCD是梯形，A3。是平行四邊形，三角形面積如下圖（單位:

平方厘米），陰影局部的面積是平方厘米.

【分析】連接AE.由于4）與8c是平行的，所以AECD也是梯形，那么

S&OCD=S^OAE?

=

根據(jù)蝶形定理,S&OCDXS&OAE=SA"￡XS^OAD=4X9=36,故S'OCD36,

所以人。8=6（平方厘米）.

【穩(wěn)固】右圖中40是梯形，八3口是平行四邊形，三角形面積如下圖（單位:

平方厘米），陰影局部的面積是平方厘米.

【解析】連接AE.由于4）與8c是平行的，所以A￡C￡＞也是梯形，那么SAOS=S皿E.

根據(jù)蝶形定理，S&OCD*S^OAE=S&0cEXS\OAD=2x8=16,故%1=16,

所以“"°=4（平方厘米）.

另解：在平行四邊形ABE。中，5叩=卜盛產(chǎn)9（16+8）=12（平方厘米），

所以&=SMDE-S301）=12-8=4（平方厘米）,

根據(jù)蝶形定理，陰影局部的面積為8x27=4（平方厘米）.

【例19】如圖，長(zhǎng)方形"8被CE、以分成四塊，其中3塊的面積分別為2、5、

8平方厘米，那么余下的四邊形。叫c的面積為平方厘米.

【解析】連接DE、CF.匹邊形EDCV為梯形，所以S"=SF"，又根據(jù)蝶形定理,

SzE0D,S^FOC=SAE0F,f所以'$AFOC=^^F,OF',^AC0D=2x8=16,所以=4（平

方厘米），5.0=4+8=12（平方厘米）.那么長(zhǎng)方形的面積為12x2=24

平方厘米，四邊形。陽C的面積為24-5-2-8=9（平方厘米）.

【例20】如圖，AA8C是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段與CD相交于

K點(diǎn).正方形。比'G的面積48,AK:KB=\:39那么的面積是多少？

【解析】由于。EFG是正方形，所以ZM與3c平行，那么四邊形AD8C是梯形.在

梯形A08C中，MDK和AACK的面積是相等的.而以:解=1:3,所以AACK

的面積是MBC面積的」-=L那么MDK的面積也是MBC面積的L

1+344

由于是等腰直角三角形，如果過A作8C的垂線，M為垂足，那么M

是BC的中點(diǎn)，而且AM=￡>￡,可見和A4CM的面積都等于正方形

OEFG面積的一半，所以AABC的面積與正方形OEEG的面積相等，為48.

那么拉h(huán)K的面積為48x1=12.

4

【例21】下列圖中，四邊形AACD都是邊長(zhǎng)為1的正方形，E、F、G、”分別

是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，如果左圖中陰影局部與右圖中陰影局部

的面積之比是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”，那么，（m+n）的值等于.

n

【解析】左、右兩個(gè)圖中的陰影局部都是不規(guī)那么圖形，不方便直接求面積，觀

察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖中的空白局部面積都比擬好求，所以可以先求出空白局部

的面積，再求陰影局部的面積.

如下列圖所示，在左圖中連接EG.設(shè)4G與。E的交點(diǎn)為M.

左圖中AEG。為長(zhǎng)方形，可知的面積為長(zhǎng)方形AEGD面積的L所以

4

三角形AM。的面積為L(zhǎng)又左圖中四個(gè)空白三角形的面積是相

248

等的，所以左圖中陰影局部的面積為1」X4=L

82

如上圖所示，在右圖中連接AC、EF.設(shè)"、EC的交點(diǎn)為N.

可知麻〃AC且AC=2Ef.那么三角形巫尸的面積為三角形ABC面積的L

4

所以三角形把尸的面積為FXLLL梯形AEFC的面積為

248288

在梯形AEW中，由于":4C=l:2,根據(jù)梯形蝶形定理，其四局部的面積

比為：12：］X2:1X2"=1:2:2:4,所以三角形E/W的面積為，!——=—,

81+2+2+424

那么四邊形/汨懷的面積為而右圖中四個(gè)空白四邊形的面積是

8246

相等的，所以右圖中陰影局部的面積為1-、4=\

63

那么左圖中陰影局部面積與右圖中陰影局部面積之比為工，=3:2,即

23

-m=—31

n2

那么m+n=3+2=5.

【例22］如圖，AA3C中，DE,FG,3C互相平行，AD=DF=FB,

力R么SAADE；S四邊形：S四邊形AGO?=?

【解析】設(shè)S△皿=1份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，

2222

所以S&ADE:S^FC=AD:AF=l:4fS△叱：S^ABC=AD:AB=\:9,

因此““G=4份，S^c=9份，

進(jìn)而有S四邊形DEGF=3份，S四邊形的8=5份,所以:S四邊形DEGF:S四邊形FGCB=】：3：5

【穩(wěn)固】如圖，QE平行3C,且4）=2,AB=5,AE=4,求AC的長(zhǎng).

【解析】由金字塔模型得AD:AB=AE:AC=Z）E:8c=2:5,所以AC=4+2x5=10

【穩(wěn)固】如圖，△ABC中，DE,FG?MN,PQ,“互

相平行，

AD=DF=FM=MP=PB,那么

S4ADE；S四邊形DEGF：S四邊形FGNM:S四邊形“、，。尸：§四邊形也0{=?

【解析】設(shè)％ADE=1份，S△叱：5"=心乂尸=1:4,因此

$△"6=4份，進(jìn)而有S四邊形DEGF=3份，同理有

S四邊形FGN,W=5份，S四邊形MN。？=7份，S四邊形PQC8=9份.

所以有

【例23］如圖，正方形AgCD的邊長(zhǎng)為4,尸是8C邊的中點(diǎn)，E是DC邊上的點(diǎn)，

且。K:EC=1:3,AF與BE相交于點(diǎn)G,求工.

【解析】方法一：連接AE,延長(zhǎng)AF,DC兩條線交于點(diǎn)M,構(gòu)造出兩個(gè)沙漏，所

以有=3尸:萬C=l:l,因此CM=4,根據(jù)題意有CE=3,再根據(jù)另一個(gè)

沙漏有G3:GE=A8:￡M=4:7，所以S4,8G7s=^x（4x4+2）.

方法二：連接AE,EF,分別求S.W=4X2+2=4,

S4NEF=4x4—4x14-2-3x2-4-2—4=7，根據(jù)蝶形定理

4432

S&ABF：S&AEF=BG:GE=4:7,所以%八8。=；^^5"喀二YjX（4x4+2）=yj.

【例24】如下圖，平行四邊形A8CD的面積是1,E、尸是AB、4）的中點(diǎn)，BF

交EC于M,求A5MG的面積.

【解析】解法一:由題意可得，E、尸是A笈、4）的中點(diǎn)，得EF//BD,而

FD:BC=FH:HC=1:2,

EB:CD=BG:GD=l:2所以CH:CF=GH:EF=2:3,

并得G、，是瓦）的三等分點(diǎn)，所以8G=G〃，所以

BG:EF=BM:MF=2:3,所以8M=|研，Swm=^5仙m=gx；S八K。=:；

又因?yàn)?G=所以5兇松=:又|'5.血=；乂|><；=*.

解法二:延長(zhǎng)CE交”于/,如右圖，

可得，A/:4C=A￡:￡B=1:1,從而可以確定M的點(diǎn)的位置,

C1

BM:MF=BC;IF=2:3,BM=-BF,8G/BO（鳥頭定理），

53

=S=，S，=

可彳導(dǎo)S2MG"XT*'ABDF7XTX-*T77

IVx

I9i25］如圖，A8CD為正方形，AM=NB=DE=FC=\cmKMN=2cm,請(qǐng)問四邊形

PQRS的面積為多少?

【解析】（法D由血有關(guān)喉，所以尸―又卷噌,所以

MQ=QC=-MC,PQ=-MC--MC=-MC,所以&QR占鼠心的L

22366

-1O

2

所以SSPQR=-xlx(l+l+2)=-(cm).

（法2）如圖，連結(jié)AE,那么心班.=gx4x4=8（cn?）,

而歿=空，所以歿=絲=2,

ABEFEFEF

2

而S&MBQ=S^NS=1X3X4X1=3（cm）,因?yàn)楹?警,

所以MP=1A/C,那么S&WNP=1x2x4xU（cm，），陰影局部面積等于

3233

S

MBR-S^s-S.W80+SAWNP=^-3-3+?（cm?）.

【例26】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=4:9,C￡:E4=4:3,求A尸:尸8.

［解析】根據(jù)燕尾定理得SAAOff:S△&0c=8。:CD=4:9=12:27

（都有"05的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）

所以L”：S△吶=27:16=AF:F8

【點(diǎn)評(píng)】此題關(guān)鍵是把AAO3的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們

用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能到達(dá)解

奧數(shù)題四四撥千斤的巨大力量！

【穩(wěn)固】如右圖，三角形A8C中，80:DC=3:4,AE:CE=5:6,求A尸:郎.

［解析】根據(jù)燕尾定理得S^AOB:S△八".=:8=3:4=15:20

（都有AAQB的畝積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）

所以%x：S△嚕=2°:18=l0:9=Ab:F8

【穩(wěn)固】如右圖，三角形A4C中，BD:DC=2:3,E4:CE=5:4,求4戶:西

【解析】根據(jù)燕尾定理得口。8：5/=加＞。=2:3=10:15

（都有AAO3的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）

所以工八”區(qū)8”=15:8=":尸8

【點(diǎn)評(píng)】此題關(guān)鍵是把108的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們

用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能到達(dá)解

奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！

【例27】如右圖，三角形A8C中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:29且三角形ABC的

面積是I,那么三角形A的的面積為,三角形AGE的面積為

，三角形G”/的面積為.

【分析】連接4"、BI、CG.

由于CE:AE=3:2,所以AE=,AC,故=15,“磴="|；

根據(jù)燕尾定理，S^CG:SMBG=CD:BD=2:3,SSBCG:S^BG=CE-.EA=3:2,所以

_9_

^AACG-Sg前：^SBCG=4：6：9,那么Ssec=歷，=歷

X；

那么^MGGEF5=-^MGCC=5-—19=—95

同樣分析可得S：，那么EG:EH=SM8：S“CH=牝9

EG:EB=SMCG:S^CB=4:19,所以EG:GH:HB=4:5:10,同樣分析可得

AG:G/:/D=10:5:4f

所以s.=Q皿=4|=卜^H/=ASAB/￡=2x1=1.

【穩(wěn)固】如右圖，三角形A3C中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且二角形G”/的

面積是1，求三角形A8C的面積.

【解析】連接BG,s^A6C.=6份

根據(jù)燕尾定理■"為=3:2=6:4

S.ABC:S、*=BD:DC=3:2=9:6

得%c=4（份），S△皿=9（份），那么S△布=19（份），因此21=2，

同理連接力/、CH得建型~=工五'色,所以生也■=19-6-6-6=2_

S^ABC19S△甌19S4AK1919

三角形67〃的面積是1,所以三角形力比的面積是19

【穩(wěn)固】如圖，M8C中8D=2DA,CE=2EB9AF=2FC9那么08C的面積是陰影

三角形面積的倍.

【分析】如圖，連接4.

根據(jù)燕尾定理，SSBCI:SMCI=BD:AD=2:\,[BI=CF:AF=1:2,

S二S

所以，S晨0:5》:5必卸=1:2:4,那么，S由°AABC-

71+2+4

同理可知MCG和MBH的面積也都等于MBC面積的2,所以陰影三角形

7

的面積等于AA3C面積的1-2x3=1，所以A48C的面積是陰影三角形面積

77

的7倍.

【穩(wěn)固】如圖在A的中，為喂喑斗求盜鬻的值?

【解析】連接BG,設(shè)s?=l份，根據(jù)燕尾定理

S△八因：S△叱=A*:32:l,S△即:S△心.=加＞:。。=2:1,得S△依=2（份）,

s*=4（份），那么s△他.=7（份），因此沁=會(huì)同理連接A1、CH得

Szvsc7

S&ABH_2S&BIC_2所以S.GH/_7-2-2-2_1

。一〒。一TW--7~7

【點(diǎn)評(píng)】如果任意一個(gè)三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上

的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題

目都是用“同理得到〃的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對(duì)稱

法作輔助線.

【例28】如圖，三角形"C的面積是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA，三角形A&?被

分成9局部，請(qǐng)寫出這9局部的面積各是多少？

【解析】設(shè)附與月。交于點(diǎn)只BG與AE交于點(diǎn)、Q,即與AD交于點(diǎn)、救,BF與AE

交于點(diǎn)兒連接口CQ,CM,CN.

根據(jù)燕尾定理，S$、BP：SMBP=AG:GC=1:2，SAABP:S?ACP=BD:CD=\:2,設(shè)

Szu”=l（份），那么必必=1+2+2=5（份），所以打的=（

同理可得，S&8Q=:,S&ABN=:，而S.AW=g,所以S4APQ=￡-2=A

121

3721

同理‘S△呼”S△皿=（,所以％邊形PQWN=2

乙\DJ/\z

_139_5_11511115

?四邊形-3-3570-42,?四邊形NF"-321/-'5nl邊形G/WQ321642

【穩(wěn)固】如圖，AABC的面積為19點(diǎn)。、E是8c邊的二等分點(diǎn)，點(diǎn)Z7、G是AC

邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形JK/”的面積是多少？

【解析】連接CK、a、a.

根據(jù)燕尾定理，S$CK：SMBK=CD:BD=\:2,S^BK:S^CBK=AG:CG=1:2,

1

所以SgcK?S^BK：S&CBK=1:2:4那么SMCK=>MGK=彳

1+2+47

類似分析可得L4.

=

又S&Affj：SACBJ-AF:CF=2:1,S^RJ:^^ACJBD:CD=2:1,可得S1Mo=—?

那么，S'g=—

CCKJ42184

根據(jù)對(duì)稱性，可知四邊形的面積也為乜，那么四邊形”出周圍的

84

圖形的面積之和為先初*2+5*+5乂踮=匚2+2+:=9_,所以四邊形.小出

8415370

的面積沏糕端

【例29】右圖，AABC中，G是AC的中點(diǎn)，D、E、產(chǎn)是比?邊上的四等分點(diǎn)，AD

與BG交于M,4,與BG交于N,ZXABM的面積比四邊形ICGN的面積大

7.2平方厘米，那么AABC的面積是多少平方厘米？

【解析】連接CM、CN.

根據(jù)燕尾定理，S“8M：S△⑻=AG:GC=1:1,S^ABM:S^CM=BD:CD=\:3,所以

S&ABM；

再根據(jù)燕尾定理，s△.：SWN=4G:GC=1:1,所以

ANGX

S^ABN'?S4FBN=S&CBN：S&FBN=4:3,所以AN:NF=4:3,那么''=—=~'所

Nv5]__5_

八"FCGN,x13△八改.=—■^△ABC

根據(jù)題意，有也…系澳跣=7.2,可得工械=336（平方厘米）

JZo

【例3?！咳鐖D，面積為1的三角形板中，D、E、尺G、H、/分別是被BC、

CA的三等分點(diǎn)，求陰影局部面積.

【解析】三角形在開會(huì)，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令以與切的交點(diǎn)為帆4F與W的交點(diǎn)為N,BI與力Q的交點(diǎn)為P,BI

與〃的交點(diǎn)為Q連接AM.BN、CP

⑴求Sa。”,：在AABC中，根據(jù)燕尾定理，

：

S&ABM=4,：,，=1：2S△八CM:S&CBM=:"D=1：2

設(shè)s=1（份），那么%.=2（份），S“；”=l（份），S△詼=4（份），

==

所以^AABA/==JS^ASC9所以^^ADM§$AMiM=F^AABC>^^^.ABC>

所以S四邊麻口卬=（-+—）5AABC=kS^ABC，

同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是面積的！

6

(2)求S五邊形“WOE：在"BC中，根據(jù)燕尾定理

S^ABN:SMCN=BF:CF=1:2S^ACN:S&BCN—AD:BD=1:2,

所以S△心，=卜心=-x-^.?c=—

Q/iz小3372[￡同理S△物

&

在中，根據(jù)八、、尾定理

S&ABP-S△八CP=BF*CF=1:2,S△八8P:S.BP=A/:C/=1:2

所以'△ABP=M%ABC所以

UJ___1_

=JJ_

S五邊形/XYPQ￡=S&\BP-S^ADN-S&BEP<5-21-21'△ABC、4ABC

同理另外兩個(gè)五邊形面積是會(huì)面積的加所以

<I1CIIC13

5浦.=1—x3----x3=—

610570

【例31]如圖，面積為1的三角形胸中，D、E、F、G、H、/分別是被BC、

CA的三等分點(diǎn),求中心六邊形面積.

【解析】設(shè)深黑色六個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別為MR、P、S、M、0,連接C7?

在A4BC中根據(jù)燕尾定理，SAABR：S&ACR=BG:CG.=2L

所以工”六'^ARC，問理S>ACS=SAAK,%CQB=亍8c

1

所以S△叱=1]*會(huì)>；,同理%種=—

7

11131

根據(jù)容斥原理，和上題結(jié)果S六邊形=—+-----=

777010

課后練習(xí)：

練習(xí)1.ADEF的面積為7平方厘米，RE=CE,AD=2BD.CF=3AF,求△ABC的面積.

[解析】SAHDE:S2fte=(BDxBE):(BAxBC)=(1x1)：(2x3)=]：6,