2025年高考數(shù)學必刷題分類：第22講、雙變量問題（學生版）

第22講雙變量問題

知識梳理

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化

為含單參數(shù)的不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

必考題型全歸納

題型一：雙變量單調(diào)問題

例1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21．

(1)當a2時，求曲線yf(x)在1,f(1)處的切線方程；

(2)設a2，證明：對任意x1，x2(0,)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|．

例2．（2024·安徽·校聯(lián)考三模）設aR，函數(shù)fxalnxa1x21.

（Ⅰ）討論函數(shù)fx在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)fx的圖象在點1,f1處的切線與直線8xy20平行，且對任意

fx1fx2

x1,x2,0，x1x2，不等式m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

x1x2

例3．（2024·福建漳州·高二福建省漳州第一中學校考期末）已知函數(shù)

f(x)(a1)lnxax21.

（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若a1時，任意的x1x20，總有|f(x1)f(x2)|2|x1x2|，求實數(shù)a

的取值范圍.

m1

變式1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fxlogx，mR，a0且a1．

ax2

（1）當a2時，討論fx的單調(diào)性；

x2fx1x1fx21

（2）當ae時，若對任意的x1x20，不等式恒成立，求實數(shù)m的

x1x22

取值范圍．

變式2．（2024·天津南開·高三南開大學附屬中學?？奸_學考試）已知函數(shù)

fxlnxax22a1x．

(1)討論fx的單調(diào)性；

3

(2)當a<0時，證明fx2；

4a

fx1fx2

(3)若對任意的不等正數(shù)x1,x2，總有2，求實數(shù)a的取值范圍．

x1x2

題型二：雙變量不等式:轉(zhuǎn)化為單變量問題

1

例4．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)xalnx．

x

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

5f(x2)f(x1)

（2）已知a，若f(x)存在兩個極值點x1,x2，且x1x2，求+的取值范圍.

2x1x2

例5．（2024·新疆·高二克拉瑪依市高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)

fxlnxx2axaR

(1)若a1，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

(2)當a0時，討論f（x）的單調(diào)性；

13

(3)設f（x）存在兩個極值點x1,x2且xx，若0x求證：fxfxln2.

1212124

例6．（2024·山東東營·高二東營市第一中學校考開學考試）已知函數(shù)f(x)x2ax2lnx（a

為常數(shù)）

(1)討論fx的單調(diào)性

8

(2)若函數(shù)fx存在兩個極值點x，xxx，且xx，求fxfx的范圍.

121221312

1

變式3．（2024·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)fxlnx(ax)2，其

2

中aR．

(1)當a1時，求函數(shù)fx在1,f1處的切線方程；

(2)討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

315

(3)若fx存在兩個極值點x1,x2x1x2,fx2fx1的取值范圍為ln2,2ln2，

48

求a的取值范圍．

x2a2xa3

變式4．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)fx（x0）

ex

(1)討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)fx存在兩個極值點x1,x2，記h(x1,x2)fx1fx2,求hx1,x2的取值范圍.

1

變式5．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fxx21alnx4x1．

2

（1）討論fx的單調(diào)性；

（2）若fx存在兩個極值點x1，x2，且fx1fx2fx1x24a，求a的取值范圍．

變式6．（2024·吉林長春·高二長春市實驗中學?？计谥校┰O函數(shù)

f(x)ae2x(1x)exa(aR)．

2

e

(1)當a時，求g(x)f(x)e2x的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2x1x2，

①求a的取值范圍；

②證明：x12x23．

題型三：雙變量不等式:極值和差商積問題

例7．（2024·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知aR，函數(shù)

a

f(x)xln2xx2.

2x

(1)當a0時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若f(x)有兩個不同的極值點x1，x2x1x2.

（i）求實數(shù)a的取值范圍；

e

（ii）證明：lnx2lnx3ln2（e2.71828……為自然對數(shù)的底數(shù)）.

122

例8．（2024·內(nèi)蒙古·高三霍林郭勒市第一中學統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)

f(x)exexax(aR)．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

fx1fx2

(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2，證明：2a0．

x1x2

例9．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fxxlnxax2a．

(1)當a1時，求曲線yfx在x1處的切線方程；

x1x2

(2)若fx存在兩個極值點x1、x2，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：f0．

2

x1

變式7．（2024·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？计谥校┮阎瘮?shù)fxmelnx，mR.

(1)當m1時，討論方程fx10解的個數(shù)；

tx2ee2

(2)當me時，gxfxlnx有兩個極值點x1，x2，且x1x2，若et，

22

證明：

（i）2x1x23；

（ii）gx12gx20.

a

變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)lnxx2(a1)x,aR

2

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

a

（2）設x，x0xx是函數(shù)g(x)f(x)x的兩個極值點，證明：gxgxlna

1212122

恒成立．

變式9．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)lnxmx,mR.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

12

（2）若g(x)f(x)x有兩個極值點x1,x2，求證：gxgx30.

212

題型四：雙變量不等式:中點型

例10．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中學?？计谀┮阎瘮?shù)

fxlnxax22ax，aR．

（1）已知x1為fx的極值點，求曲線yfx在點1,f1處的切線方程；

（2）討論函數(shù)gxfxax的單調(diào)性；

1

（3）當a時，若對于任意x,x1,xx，都存在xx,x，使得

21212012

fx2fx1x2x1

fx0，證明：x0．

x2x12

1

例11．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fxx21axalnx.

2

（Ⅰ）討論fx的單調(diào)性；

（Ⅱ）設a0，證明：當0xa時，faxfax；

xx

12

（Ⅲ）設x1,x2是fx的兩個零點，證明f0.

2

例12．（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知函數(shù)

f(x)x2(12a)xalnx(aR且a0).

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

（2）當a2時，若函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交于A，B兩點，設線段AB中點的橫坐標

為x0，證明:f(x0)0.

變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)lnxax2(2a)x.

(1)討論fx的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)yfx的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：

fx00.

變式11．（2024·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知函數(shù)

1

f(x)lnxax2(a1)x.

2

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

xx

（2）設函數(shù)f(x)圖象上不重合的兩點Ax,y,B(x,y)(xx).證明：kf'(12)（.k

112212AB2AB

是直線AB的斜率）

變式12．（2024·福建泉州·高二福建省永春第一中學校考階段練習）已知函數(shù)

fxx22ax2lnx（a0）．

（1）討論函數(shù)fx的單調(diào)性；

2

（2）設gxlnxbxcx，若函數(shù)fx的兩個極值點x1，x2（x1x2）恰為函數(shù)gx的

x1x2

兩個零點，且yx1x2g的取值范圍是ln31,，求實數(shù)a的取值范圍．

2

題型五：雙變量不等式:剪刀模型

例13．（2024·天津和平·耀華中學?？寄M預測）已知函數(shù)fxxbexa(b0)在點

(1，f1)處的切線方程為e1xeye10．

(1)求a、b；

(2)設曲線y＝f(x)與x軸負半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y＝h(x)，求證：對

于任意的實數(shù)x，都有f(x)≥h(x)；

(3)若關于x的方程fxm(m0)有兩個實數(shù)根x1、x2，且x1x2，證明：

m12e

xx1．

211e

2x11

例14．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fxxbeab0在點,f

22

e1

處的切線方程為e1xey0．

2

（1）求a，b；

（2）函數(shù)fx圖像與x軸負半軸的交點為P，且在點P處的切線方程為yhx，函數(shù)

Fxfxhx，xR，求Fx的最小值；

12mme

（3）關于x的方程fxm有兩個實數(shù)根x，x，且xx，證明：xx．

12122121e

例15．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)axex1，ln3是f(x)的極值點．

(1)求a的值；

(2)設曲線yf(x)與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線為直線l．求證：曲線

yf(x)上的點都不在直線l的上方；

7m

(3)若關于x的方程f(x)m(m0)有兩個不等實根x，x2(x1x2)，求證：x2x12．

110

x

變式13．（2024·安徽·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx3xe1，其中e2.71828是自然對

數(shù)的底數(shù).

(1)設曲線yfx與x軸正半軸相交于點Px0,0，曲線在點P處的切線為l，求證：曲線

yfx上的點都不在直線l的上方；

(2)若關于x的方程fxm（m為正實數(shù)）有兩個不等實根x1,x2x1x2，求證：

3

xx2m.

214

變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)g(x)x4，xR，在點1,g(1)處的切線方

程記為ym(x)，令f(x)m(x)g(x)3．

(1)設函數(shù)f(x)的圖象與x軸正半軸相交于P，f(x)在點P處的切線為l，證明：曲線yf(x)

上的點都不在直線l的上方；

a

(2)關于x的方程f(x)a(a為正實數(shù)）有兩個實根x，x，求證：|x2x1|2．

123

題型六：雙變量不等式:主元法

例16．（2024·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)fxxlnx．

(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間和最小值；

1

e

b1e

(2)當b0時，求證：b（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；

e

(3)若a0，b0求證：faabln2fabfb．

例17．（2024·河南信陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)fxxlnx．

(1)求曲線yfx在點e,fe處的切線方程；

1