2025年高考數(shù)學必刷題分類：第43講、數(shù)列的通項公式（教師版）

第43講數(shù)列的通項公式

知識梳理

類型Ⅰ觀察法：

已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根

據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．

類型Ⅱ公式法：

若已知數(shù)列的前n項和Sn與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式

ananan

S,(n1)

1構(gòu)造兩式作差求解．

an

SnSn1,(n2)

用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為

一，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否

”a1ann1n2

統(tǒng)一）．

類型Ⅲ累加法：

形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：

an1anf(n)f(n)n

anan1f(n1)

aaf(n2)

n1n2

...

a2a1f(1)

將上述個式子兩邊分別相加，可得：

m2anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；

②若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；

③若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；

④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．

類型Ⅳ累乘法：

a

形如n1型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：

an1anf(n)f(n)f(n)n

an

an

f(n1)

an1

a

n1f(n2)

an2

...

a2

f(1)

a1

將上述m2個式子兩邊分別相乘，可得：anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)a1,(n2)

有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．

類型Ⅴ構(gòu)造數(shù)列法：

（一）形如an1panq（其中p,q均為常數(shù)且p0）型的遞推式：

（1）若p1時，數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

（2）若q0時，數(shù)列{an}為等比數(shù)列；

（3）若p1且q0時，數(shù)列{an}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等

比數(shù)列來求．方法有如下兩種：

法一：設(shè)an1p(an)，展開移項整理得an1pan(p1)，與題設(shè)

an1panq比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得

qqqqq，即q

,(p0)an1p(an)anp(an1)an

p1p1p1p1p1p1

q

構(gòu)成以a為首項，以p為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出

1p1

q的通項整理可得

anan.

p1

aa

法二：由得兩式相減并整理得n1n即

an1panqanpan1q(n2)p,

anan1

構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為類

an1ana2a1pan1an

型Ⅲ（累加法）便可求出an.

（二）形如an1panf(n)(p1)型的遞推式：

（1）當f(n)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：

法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成

anAnBpan1A(n1)BA、B

n！

以aAB為首項，以Am為公比的等比數(shù)列aAnB，再利用等比數(shù)列的

1nnm!n

通項公式求出的通項整理可得

anAnBan.

法二：當f(n)的公差為d時，由遞推式得：an1panf(n)，anpan1f(n1)兩式

相減得：an1anp(anan1)d，令bnan1an得：bnpbn1d轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出

bn，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出an.

（2）當f(n)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：

法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以

anf(n)pan1f(n1)

n！

af(1)為首項，以Am為公比的等比數(shù)列af(n)，再利用等比數(shù)列的通項

1nnm!n

公式求出的通項整理可得

anf(n)an.

法二：當f(n)的公比為q時，由遞推式得：an1panf(n)——①，anpan1f(n1)，

兩邊同時乘以q得anqpqan1qf(n1)——②，由①②兩式相減得

aqa

，即n1n，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出

an1anqp(anqan1)pan.

anqan1

nn

法三：遞推公式為an1panq（其中p，q均為常數(shù)）或an1panrq（其中p，q，

apa1

r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以qn1，得：n1n，引入輔助數(shù)

qn1qqnq

ap1

列b（其中bn），得：bb再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．

nnqnn1qnq

（3）當f(n)為任意數(shù)列時，可用通法：

n1an1anf(n)an

在apaf(n)兩邊同時除以p可得到，令b，則

n1npn1pnpn1pnn

f(n)

bb，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出b之后得apnb．

n1npn1nnn

類型Ⅵ對數(shù)變換法：

q

形如an1pa(p0,an0)型的遞推式：

在原遞推式q兩邊取對數(shù)得，令得：

an1palgan1qlganlgpbnlgan

，化歸為型，求出之后得bn（注意：底數(shù)不一定要取

bn1qbnlgpan1panqbnan10.

10，可根據(jù)題意選擇）．

類型Ⅶ倒數(shù)變換法：

形如an1anpan1an（p為常數(shù)且p0）的遞推式：兩邊同除于an1an，轉(zhuǎn)化為

11形式，化歸為型求出1的表達式，再求；

pan1panqan

anan1an

man1m1m

還有形如an1的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，

panqan1qanp

化歸為型求出1的表達式，再求．

an1panqan

an

類型Ⅷ形如an2pan1qan型的遞推式：

用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列{anan1}的形式求解．方法為：設(shè)

an2kan1h(an1kan)，比較系數(shù)得hkp,hkq，可解得h、k，于是{an1kan}是

公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為an1panq型．

總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法

求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式an.

必考題型全歸納

題型一：觀察法

例1．（2024·湖南長沙·長沙市實驗中學?？级＃┠纤螖?shù)學家楊輝所著的《詳解九章算

法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第

二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（）個球．

A．12B．20C．55D．110

【答案】C

【解析】由題意知：

a11，

a2a1212，

a3a23123，

anan1n123n，

所以a101231055.

故選：C

例2．（2024·全國·高三專題練習）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳

教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森

指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩

余定理”．“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將正整數(shù)

中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，則a6=（）

A．17B．37C．107D．128

【答案】C

【解析】∵an能被3除余2且被7除余2，∴an2既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，

即是21的倍數(shù)，且an0，∴an221n1，

即an21n19，∴a6=216-19=107．

故選：C．

例3．（2024·全國·高三專題練習）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變

換下具有不變性，通過不斷迭代生成無限精細的結(jié)構(gòu).一個正六邊形的線性分形圖如下圖所

示，若圖1中正六邊形的邊長為1，圖n中正六邊形的個數(shù)記為an，所有正六邊形的周長之

和?面積之和分別記為Cn,Sn，其中圖n中每個正六邊形的邊長是圖n1中每個正六邊形邊長

1

的，則下列說法正確的是（）

3

100

A．a(chǎn)294B．C

433

n1

．存在正數(shù)，使得恒成立．337

CmCnmDSn

29

【答案】D

【解析】A選項，圖1中正六邊形的個數(shù)為1，圖2中正六邊形的個數(shù)為7，

n13

由題意得an為公比為7的等比數(shù)列，所以an7，故a47343，A錯誤；

72

選項，由題意知，，798，錯誤；

BC16C2614C36B

333

7n1

選項，為等比數(shù)列，公比為，首項為，故7，

CCn6Cn6

33

7n1

因為，所以7單調(diào)遞增，不存在正數(shù)，使得恒成立，錯誤；

1Cn6mCnmC

33

n1

D選項，分析可得，圖n中的小正六邊形的個數(shù)為an7個，每個小正六邊形的邊長為

n12n2

131

，故每個小正六邊形的面積為6，

343

2n2n1

則n131337，正確

Sn76D.

4329

故選：D

變式1．（2024·海南·?？谑协偵饺A僑中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》

中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的

每一項都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題，其各

項規(guī)律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數(shù)列為an，則

a2a1a4a3a50a49（）

A．650B．1050C．2550D．5050

【答案】A

【解析】由條件觀察可得：a2a12,a4a34,a6a56，即a2na2n12n，所以

a2na2n1是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列.

2524

故aaaaaa2522650，

214350492

故選：A

變式2．（2024·吉林·統(tǒng)考三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”

的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生

過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列

題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項與第24

項的差為（）

A．22B．24C．25D．26

【答案】B

【解析】設(shè)該數(shù)列為an，

121321521721

當n為奇數(shù)時，a0,a4,a12,a24,

12325272

n21

所以a,n為奇數(shù)；

n2

22246282

當n為偶數(shù)時，a2,a8,a18,a32,

22426282

n2

所以a,n為偶數(shù)數(shù)；

n2

2521242

所以aa24，

252422

故選:B.

1111

變式3．（2024·全國·高三專題練習）若數(shù)列a的前4項分別是，，，，則該數(shù)

n2345

列的一個通項公式為（）

(1)n1(1)n(1)n(1)n1

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)

nnnn1nnnn1

【答案】D

1111

【解析】因為數(shù)列a的前4項分別是，，，，正負項交替出現(xiàn)，分子均為1，分母

n2345

依次增加1，

(1)n1

所以對照四個選項，a正確.

nn1

故選：D

變式4．（2024·全國·高三專題練習）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，如圖是由“楊

111

輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個數(shù)1，，，，L構(gòu)成

3610

數(shù)列an，其前n項和為Sn，則S20（）

394041419

A．B．C．D．

202121210

【答案】B

【解析】由題意可知，

2

a1

112

12

a

2323

12

a

3634

12

a

41045

211

則an2，

nn1nn1

所以其前n項和為：

1111111

Sna1a2a3an21222

22334nn1

111111112n

2121，

22334nn1n1n1

40

則S.

2021

故選：B.

23456

變式5．（2024·新疆喀什·高三統(tǒng)考期末）若數(shù)列a的前6項為1,,,,,，則

n357911

數(shù)列an的通項公式可以為an（）

nn

A．B．

n12n1

nn

C．(1)nD．(1)n1

2n12n1

【答案】D

【解析】通過觀察數(shù)列an的前6項，可以發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：

且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，故用(1)n1表示各項的正負；

各項的絕對值為分數(shù)，分子等于各自的序號數(shù)，

而分母是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

n

故第n項的絕對值是，

2n1

n1n

所以數(shù)列a的通項可為a1·，

nn2n1

故選：D

【解題方法總結(jié)】

觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項的變化規(guī)律，求其通

項．使用觀察法時要注意：①觀察數(shù)列各項符號的變化，考慮通項公式中是否有(1)n或者

(1)n1部分．②考慮各項的變化規(guī)律與序號的關(guān)系．③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、

正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方n2、2n與(1)n有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們

組成的數(shù)列．

題型二：疊加法

例4．（2024·全國·高三對口高考）數(shù)列1，3，7，15，……的一個通項公式是（）

nnnn1

A．a(chǎn)n2B．a(chǎn)n21C．a(chǎn)n21D．a(chǎn)n2

【答案】C

2-=3

【解析】依題意得a2a12，a3a22，a4a32，

n1

所以依此類推得anan12n2，

12n

所以aaaaaaaa...aa122223...2n12n1．

n1213243nn112

1n

又a1211也符合上式，所以符合題意的一個通項公式是an21．

故選：C．

例5．（2024·新疆喀什·校考模擬預(yù)測）若anan1n1，a11則a10（）

A．55B．56C．45D．46

【答案】D

【解析】由anan1n1，

得a2a11，a3a22，

L

a4a33，，anan1n1n2，

累加得，ana1123n1

11

n2n1，

22

當n1時，上式成立，

11

則an2n1，

n22

11

所以a10010146.

1022

故選：D

例6．（2024·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預(yù)測）在數(shù)列an中，a11，an1ann1，

111

則（）

a1a2a2022

2021404420212022

A．B．C．D．

1011202320222023

【答案】B

【解析】因為an1ann1，故可得a2a12，a3a23，…，anan1n，及a11累

加可得anan1an1an2a2a1a1123n，

nn11211

則，所以，

an123n2

2annn1nn1

1111111114044

則2121．

a1a2a20222232022202320232023

故選：B．

11

變式6．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{a}滿足a，aa，則{a}

n12n1nn2nn

的通項為()

131

A．,n1,nNB．,n1,nN

n2n

3131

C．,n1,nND．,n1,nN

2n2n

【答案】D

1111

【解析】因為aa，所以aa，則當n2,nN*時，

n1nn2nn1nn2nnn1

1

a2a11

2

11

aa

3223，

11

aa

nn1n1n

111111

將n1個式子相加可得aa11，

n1223n1nn

11131311

因為a，則a1，當n1時，a符合題意，

12nn22n1212

31

所以a,n1,nN*.

n2n

故選：D.

變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知Sn是數(shù)列an的前n項和，且對任意的正整數(shù)

111

2n2

n，都滿足：，若a1，則S2023（）

an1an2

2023202220211010

A．B．C．D．

2024202320242023

【答案】A

【解析】當n2時，由累加法可得：

111111

2n2n1212，

anan1an1an2a2a1

112

所以nn2（n2），

ana1

1

又因為a，

12

1

所以an（n2），

nn1

11

當n1時，a1，符合，

1112

1

所以an（），

nn1nN

111

所以a，

nnn1nn1

1111112023

所以S202311．

2232023202420242024

故選：A.

3

變式8．（2024·四川南充·四川省南充高級中學?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列a滿足：a1，

n8

nn

an2an3，an6an913，則a2023（）

320233320233

A．B．

2282

3202332023

C．D．

82

【答案】C

3

【解析】a，aa3n，

18n2n

n2n4

∴an4an23，an6an43，

n4n2nn42n

∴an6anan6an4an4an2an2an3333331913，

nn

又an6an913，故an6an913，

n，n2，n4

所以an2an3an4an23an6an43，

3

所以aa3,aa33，,aa3n，a

3153n2n18

352n1

故a2n1a1a2n1a2n1a2n1a2n3a5a3a3a13333，

352n1

則a2n1a13333，

10112023

335202133193

所以a20233333.

88198

故選：C．

【解題方法總結(jié)】

數(shù)列有形如an1anf(n)的遞推公式，且f(1)f(2)f(n)的和可求，則變形為

an1anf(n)，利用疊加法求和

題型三：疊乘法

aa

n1n

例7．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足2n，a11，則a2023（）

an1an

A．2024B．2024C．4045D．4047

【答案】C

aa

【解析】n1n2n，

an1an

an1an2nan1an，

即(12n)an1(2n1)an，

a2n1

可得n1，

an2n1

a2023a2022a2021a3a2

a2023a1

a2022a2021a2020a2a1

40454043404153

14045.

40434041403931

故選：C.

an

n1

例8．（2024·全國·高三專題練習）數(shù)列an中，a11，（n為正整數(shù)），則a2022

ann1

的值為（）

1120212022

A．B．C．D．

2022202120222021

【答案】A

an

【解析】因為n1，

ann1

anan1a4a3a2n1n23211

所以an，

an1an2a3a2a1nn1432n

1

所以a，

20222022

故選：A

n1

例9．（2024·天津濱海新·高三?？计谥校┮阎猘2,aa，則a2022（）

1n1nn

A．506B．1011C．2022D．4044

【答案】D

n1an1n1

【解析】an1an,，

nann

a2a3a4an

2，3，4，，n，n2，

a11a22a33an1n1

an

nn，n2，

a11

a12，an2n，n2，

顯然，當n1時，a12滿足an2n，

*

∴an2n,nN，

a2020220224044.

故選：D.

變式9．（2024·全國·高三專題練習）已知a11，annan1annN，則數(shù)列an的

通項公式是an（）

n1

n12

A．2n1B．C．nD．n

n

【答案】D

【解析】由annan1an，得n1annan1，

an1

即n1，

ann

anan1an2a2

則n，n1，n2，…，2，n2，

an1n1an2n2an3n3a11

an

由累乘法可得n，所以ann，n2，

a1

又a11，符合上式，所以ann.

故選：D．

變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an中，a11，

nan12a1a2annN*，則數(shù)列an的通項公式為（）

A．a(chǎn)nnB．a(chǎn)n2n1

n11,n1

C．a(chǎn)nD．a(chǎn)n

2nn1,n2

【答案】A

【解析】由nan12a1a2an①

得

n1an2a1a2an1②，

-

①②得：nan1n1an2an，

an1

n1

即：nan1n1an，

ann

a2a3an23n

所以ana11nn2，

a1a2an112n1

*

所以annnN

故選：A．

1

變式11．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列a滿足(n2)a(n1)a，且a，

nn1n23

則an()

n11n-11

A．B．C．D．

n12n-12n-1n1

【答案】D

1

【解析】數(shù)列{a}滿足(n2)a(n1)a，且a，

nn1n23

1an1n1

∴，，

a1

2ann2

anan1a2

∴n，n1，，2，

an

an1n1n2a13

aaann1n22

累乘可得：nn12，

an1an2a1n1nn13

211

可得：a．

nn12n1

故選：D﹒

12n3*

變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列an滿足a1，anan1(n2，nN)，

32n1

則數(shù)列an的通項an（）

11

A．B．

4n212n21

11

C．D．

2n12n3n1n3

【答案】A

12n3

【解析】數(shù)列{a}滿足a，anan1(n2,nN*)，

n132n1

a2n3a2n5a1

整理得n，n1，......，2，

a2n1

an12n1n2a15

a13

所有的項相乘得：n，

a1(2n1)(2n1)

1

整理得：a，

n4n21

故選：A．

1

變式13．（2024·全國·高三專題練習）在數(shù)列a中，a且n2ana，則它的

n12n1n

前30項和S30（）

30292819

A．B．C．D．

31302929

【答案】A

an

n1

【解析】n2an1nan，，

ann2

a2a3an112n1111

ana1，

a1a2an1234n1nn1nn1

1111130

因此，S1.

30223303131

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

數(shù)列有形如anf(n)an1的遞推公式，且f(1)f(2)f(n)的積可求，則將遞推公式

a

變形為n，利用疊乘法求出通項公式

f(n)an

an1

題型四：待定系數(shù)法

1

例10．（2024·全國·高三專題練習）已知：a11，n2時，aa2n1，求an的

n2n1

通項公式．

11111

【解析】設(shè)所以

anAnBan1An1B，anan1AnAB，

22222

1

A2,

2A4

∴，解得：，

11B6

AB1,

22

1

又a463，∴a4n6是以3為首項，為公比的等比數(shù)列，

1n2

n13

∴1∴

an4n63，ann14n6．

22

1

例11．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{a}，a2，且對于n1時恒有aa1，

n1n2n1

求數(shù)列{an}的通項公式．

11

【解析】因為aa1，所以a2(a2)，又因為a20，

n2n1n2n11

所以數(shù)列{an2}是常數(shù)列0，所以an20，所以an2．

1

例12．（2024·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{a}滿足：aa2,nN*,a4,求a.

nn13n1n

1

【解析】因為aa2,nN*,a4,

n13n1

331311

所以兩邊同時加上得：aa2a，

2n123n23n2

31113311

所以an1anan，當a14時，a1.

2323222

3

a

3n11

故a0，故2，

n3

2a3

n2

33111

所以數(shù)列a是以a為首項，為公比的等比數(shù)列.

n21223

3111

于是a()n1

n223

n1

3111*

an,nN

223