高考物理沖刺：知識(shí)講解-帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（提高）

物理總復(fù)習(xí)：帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

編稿：李傳安審稿：

【考綱要求】

L知道洛倫茲力的特點(diǎn),會(huì)計(jì)算其大小并用左手定則確定其方向；

2、掌握帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑周期公式，知道常見的分析

方法；

3、知道帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解情況、臨界值與極值問題的處

理方法，會(huì)熟練求解相關(guān)問題。

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

兩類典型的綜合問題

要點(diǎn)詮釋：

1、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問題，注意下列結(jié)論，再借助數(shù)學(xué)方法分

析

(1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在滋場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。

(2)當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(zhǎng)(或弦長(zhǎng))越長(zhǎng)，圓周角越大，則帶電粒子在

有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。

(3)當(dāng)速率v變化時(shí)，圓周角越大的,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。

2、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的多解問題

帶電粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于多種因素的影響，使問題

形成多解，多解形成原因一般包含下述幾個(gè)方面.

(1)帶電粒子電性不確定形成多解

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初

速度的條件下，正負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，導(dǎo)致形成雙解。

(2)磁場(chǎng)方向不確定形成多解

有些題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，比時(shí)

必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成的多解c

(3)臨界狀態(tài)不唯一形成多解

帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場(chǎng)時(shí),由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，

因此_____3可能轉(zhuǎn)過180。從入射界面這邊反向飛出，如圖所示,

XXXX

(4)運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成多解

帶電粒子在部分是電場(chǎng),部分是磁場(chǎng)空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往運(yùn)動(dòng)具有往復(fù)性，因

而形成多解。

【典型例題】

類型一、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)知識(shí)

的WZDCR7上由A七占汽直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),有5

度

西

粒子電荷量(q>

質(zhì)小

大

編號(hào)量0)、磁場(chǎng)，在紙面內(nèi)做勻速圓周

1m2qV

22m2q2V荷量以及速度大小如卜表所

33m-3q3V

42m2q3y

52m-qV

由以上信息可知，從圖中a、b、c處進(jìn)大的粒子對(duì)應(yīng)表中的編號(hào)分別為()

A.3、5、4B.4、2、5

C.5、3、2D.2、4、5

【思路點(diǎn)撥】洛倫茲力的方向、帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡、半徑

的大小。

【答案】D

【解析】根據(jù)半徑公式廠=誓結(jié)合表格中數(shù)據(jù)可求得1—5各組粒子的半徑之比

Bq

依次為

0.5：2：3：3：2，說明第一組正粒子的半徑最小，該粒子從MQ邊界進(jìn)入滋場(chǎng)

逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。由圖a、b粒子進(jìn)入磁場(chǎng)也是逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，則都為正電荷，而且a、

b粒子的半徑比為2:3,則a一定是第2組粒子，b是第4組粒子。c順時(shí)針

運(yùn)動(dòng)，為負(fù)電荷，半徑與a相等是第5組粒子。正確答案D。

【總結(jié)升華】本題考察的是基礎(chǔ)知識(shí)，判斷洛倫茲力的方向、帶電粒子在磁場(chǎng)中

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡、半徑的大小都是基本要求，綜合在一起，體現(xiàn)了對(duì)能力

的最基本要求。

舉一反三

【高清課堂：磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用例4】

【變式1】電子（?e,m）從A點(diǎn)沿AB方向進(jìn)入磁場(chǎng)，它恰能從C點(diǎn)出射.

（Ae一~>............心？子在場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向

?xxxx!

垂:;

IXXXX[

AE；XXXX!

D'............................c

【答案】（1…嘿⑵甘皿哼

【變式2】如圖所示，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中附加另一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，附加磁場(chǎng)位于圖中陰影

區(qū)一一與SS'垂直。a、b、c三個(gè)質(zhì)子先后從S點(diǎn)沿

附加磁場(chǎng)區(qū)域.0

垂的速度大小相等，b的速度方向與SS'垂直,

a、司的夾角分別為a、P，且三個(gè)質(zhì)子經(jīng)

過',則下列說法中正確的有（）

A.三個(gè)質(zhì)子從S運(yùn)動(dòng)到S'的時(shí)間相等

B.三個(gè)質(zhì)子在附加磁場(chǎng)以外區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心均在00'軸上

C.若撤去附加磁場(chǎng)，a到達(dá)SS'連線上的位置距S點(diǎn)最近

D.附加磁場(chǎng)方向與原磁場(chǎng)方向相同

【答案】CD

【解析】A.三個(gè)質(zhì)子從S運(yùn)動(dòng)到S，的時(shí)間不相等，A錯(cuò)誤；

B.三個(gè)質(zhì)子在附加磁場(chǎng)以外區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有b運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在00'軸上,

因?yàn)榘霃较嗟?，而圓心在初速度方向的垂線上，所以B錯(cuò)誤；

(2)粒子P在時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng),在匕孑到時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向運(yùn)

IT

動(dòng);個(gè)圓周,到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在t=:到t=T時(shí)間內(nèi),沿

逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向再次反轉(zhuǎn)；在t=T到七,

時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)!個(gè)圓周，到達(dá)A點(diǎn)，如圖(b)所示，由幾何關(guān)

4

系可知，A點(diǎn)在v軸上，即0A與x軸的夾角

號(hào)⑤

(3)若在任意時(shí)刻”『。(()</。<；)粒子P開始運(yùn)動(dòng),在到t=，時(shí)間內(nèi)，

沿順時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)c點(diǎn)，圓心0'位于x軸上，圓弧。。對(duì)應(yīng)的圓心

角為

"(/C哼(5)⑥

.T

此時(shí)磁場(chǎng)方向反轉(zhuǎn)；繼而，在t=；到t=T時(shí)間內(nèi)，沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周,

到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)方向再次反轉(zhuǎn)；在t=T到t=7+/。時(shí)間內(nèi)，沿順時(shí)針方向做

圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)A點(diǎn)，設(shè)圓0”，圓弧B4對(duì)應(yīng)的圓心角為N80〃A=72⑦

如圖?所示,由幾何關(guān)系可知，C、B均在。O”連線上,且OA〃O@〃⑧

若要0A與X軸成￡角，則有ZOOrC=當(dāng)⑨，

4T4

聯(lián)立⑥⑨式可得力=￡⑩

O

【總結(jié)升華】根據(jù)交變磁場(chǎng)的變化規(guī)律，正確畫出軌跡圖是解題的關(guān)鍵。

舉一反三

【變式】如圖所示是某裝置的垂直截面圖，虛線A1A2是垂直截面與磁場(chǎng)區(qū)邊界

面的交線，勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在A1A2的右側(cè)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T,方向垂直

紙面向外，A1A2與垂直截面上的水平線夾角為45。。在A1A2左側(cè)，固定的薄板

和等大的擋板均水平放置，它們與垂直截面交線分別為Si、S2,相距L=0.2m.o

在薄板上P處開一個(gè)小孔，P與A1A2線上點(diǎn)D的水平距離為L(zhǎng)。在小孔處裝一

個(gè)電子快門。起初快門開啟，一旦有帶正電微粒剛通過小孔，快門立即關(guān)閉。此

3

后每隔T=3.0X10-5開啟一次并瞬間關(guān)閉。從SiS2之間的某一位置水平發(fā)射一

速度為之的帶電微粒，它經(jīng)過磁場(chǎng)區(qū)域后入射到P處小孔。通過小孔的微粒與

擋板發(fā)生碰撞而反彈，反彈速度大小是碰前的0.5倍。

’.孔射出的微粒，其初速度+應(yīng)為多少？

:忖入磁場(chǎng)到第二次離開磁場(chǎng)的時(shí)間。(忽略微粒所受

?移。已知微粒的荷質(zhì)比幺E.OxUc/依。只考慮

?m

”2.8x10-2$

日微粒在S1S2之間任意點(diǎn)Q以水平速度vo進(jìn)入

,在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r,有：f=qv0B

/=這②由①②得：廠=*

rqB

欲使微粒能進(jìn)入小孔，半徑r的取值范圍為：L<rv2L③

代入數(shù)據(jù)得：8Om/s<vo<16Om/s

欲使進(jìn)入小孔的微粒與擋板一次相碰返回后能通過小孔，還必須滿足條件：

工+春=”其中n=123，……④

%0.5v0

由①②③④可知，只有n=2滿足條件,即有：vo=100m/s⑤

(2)設(shè)微粒在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為To,從水平進(jìn)入磁場(chǎng)到第二次離開

磁場(chǎng)的總時(shí)間為t,設(shè)tl、t4分別為帶電微粒第一次、第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)

間，第一次離開磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到擋板的時(shí)間為t2,碰撞后再返回磁場(chǎng)的時(shí)間為t3,運(yùn)

動(dòng)軌跡如圖所示,則有：

7；=—?r,=^?r2=—?

比41%

&=臺(tái)⑨、=;⑩(弦切角=45°,圓心角二90。)

().5%4

f=4+/+‘3+/=2.8x10-2(s)(n)

類型三、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題

0口可1吧題干藝間某平面內(nèi)有一條折線是磁場(chǎng)的分界線，在折線的兩側(cè)

分：：8；：：：：：：3垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B。折線的頂角

A

XXXXXzxXXXXX

z/xxxx/.\xxxx上的兩點(diǎn)，AP=AQ=L0現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q

的、予7丁丁丁工了，）Q方向射出，不計(jì)微粒的重力。求：

**8.......................................

（1）若在P、Q間加一與磁場(chǎng)方向垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng),能使速度為vo射出的微

粒沿PQ直線運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn),則場(chǎng)強(qiáng)為多大？

（2）撤去電場(chǎng),為使微粒從P點(diǎn)射出后,途經(jīng)折線的頂點(diǎn)A而到達(dá)Q點(diǎn),

求初速度v應(yīng)滿足什么條件？

（3）求第（2）問中微粒從P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)所用的時(shí)間。

【思路點(diǎn)撥】（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，分析出微粒能從P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)，應(yīng)滿

足條件。畫出草圖，確定參數(shù)，圓心角、半徑等，最后求出速度。

【答案】見解析。

【解析】（1）由電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡通=4%星得E=\\}B

（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性“辭粒能從P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)，應(yīng)滿足￡=心

、”而跣/的弦長(zhǎng)，偏轉(zhuǎn)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為￡或巨。

XXx\x/xXXx\

xxx\阱7XX）可得氏二匕

XXX/?/?VxcX〃A-

潺V=?！?123、-

?/,...........\敦時(shí)，微粒從P到Q過程中圓心角的總和為

*&*

八71371c

a1=〃?C一+〃—C=2〃)

2n兀2九7九Irrmn

,其中〃=1、3、5、…

X.Dx.D

當(dāng)n取偶數(shù)時(shí)，微粒從P到Q過程中圓心角的總和為

儀八=n--萬--F〃一乃二〃4

H7T21〃？7tmn

"=-------=----,其中〃=2、4、6、…

21qBqB

【總結(jié)升華】解題的關(guān)鍵仍然是要畫出軌跡圖,要多練多想，熟能生巧，同時(shí)還

要考慮奇數(shù)次到達(dá)、偶數(shù)次到達(dá)，情況不一樣，就是多解問題了。

舉一反三

【變式1]如圖所示，平行金屬板M、N間距離為d.其上有一內(nèi)壁光滑的半徑

為R的絕緣圓筒與N板相切，切點(diǎn)處有一小孔S.圓筒內(nèi)有垂直圓筒截面方向

的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.電子與孔S及圓心0在同一直線上.M板內(nèi)側(cè)

中點(diǎn)處有一質(zhì)量為m,電荷量為e的靜止電子，經(jīng)過M、N間電壓為U的電場(chǎng)

§,在圓筒壁上碰撞n次后，恰好沿原路返回到出發(fā)點(diǎn).(不考慮

寸程中無動(dòng)能損失)

求：⑴電子到達(dá)小孔S時(shí)的速度大?。?/p>

⑵電子第一次到達(dá)S所需要的時(shí)間；

⑶電子第一次返回出發(fā)點(diǎn)所需的時(shí)間.

【答案】(1)、一⑵八?、恰?4匕+^~g—(n=l,2,3,...)

VtnVeUVeUeB----

【解析】⑴設(shè)加速后獲得的速度為V,根據(jù),V呼

⑵設(shè)電子從M到N所需時(shí)間為ti,電子在MN間的加速度〃=「

I---ma

貝!=或彳，得「川冽

212md''\eU

⑶電子在磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為7；)=當(dāng)

eB

目W')經(jīng)過n次碰撞回到s,每段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角

，如圖。

n次碰撞對(duì)應(yīng)的總圓心角夕=(〃+1)a=(n+1)乃-2,T=(〃-1)]

在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為=9芹X筆=產(chǎn)

1—2乃24eBeB

楞+(n=l,2,3,…)

【變式2】一足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abed內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向

里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，矩形區(qū)域的左邊界ad寬為L(zhǎng),現(xiàn)從ad中點(diǎn)0垂直于磁場(chǎng)射入

一帶電粒子,速度大小為V0,方向與ad夾角為30°,如圖所示。已知粒子的電

荷量為q，質(zhì)量為m（重力不計(jì)）

M）若瞼彳第仔由日憐能從d點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求vo的大??；

心艮據(jù)="23,則%==3^

(2)當(dāng)V0最大時(shí)：/?-/?(cos60=4得Ri=L,

貝ijv="R\=q"

當(dāng)Vo最小值：%+R2sm30=g得Rz=g

陛二理0

八」min…個(gè)…

所以V0的取值范圍為警＜%w繆

帶電粒子從ab邊射出磁場(chǎng)，當(dāng)速度為Vmax時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短,

_150_57nn

'min—八―4^.0

速度為%桁時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)：%

「?粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的范圍鳴父〈黑

6qB3qB

類型四、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極值問題

例4、圖為可測(cè)定比荷的某裝置的簡(jiǎn)化示意圖，在第一象限區(qū)域內(nèi)有垂直

于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2.OxlO-3T,在y軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)

L=0.50m的P處為離子的入射口，在y上安放接收器，現(xiàn)將一帶正電荷的粒子

以v=3.5x104m/s的速率從P處射入磁場(chǎng)若粒子在y軸上距坐標(biāo)原點(diǎn)L=0.50m

的M處被觀測(cè)到，且運(yùn)動(dòng)軌跡半徑恰好最小，設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m,電量為q,

不計(jì)其重力。

（1）求上述粒子的比荷V；

m

(2)如果在上述粒子運(yùn)動(dòng)過程中的某個(gè)時(shí)刻，在第一象限內(nèi)再加一個(gè)勻強(qiáng)電

場(chǎng)接收巧向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向，

xxxxx

并XXXXX才計(jì)時(shí)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間加這個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)；

XXXXX

L乂乂XXXI按題設(shè)條件運(yùn)動(dòng)的上述粒子，在第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)可

1A/XAX/X

以XXX尸」求此矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積，并在圖中畫出該矩形。

o|?L—Y

入射

【思路點(diǎn)撥】理解"運(yùn)動(dòng)軌跡半徑恰好最小〃的意思是以兩點(diǎn)連線作為直徑,運(yùn)

動(dòng)軌跡半徑最小，畫出軌跡圖。理解"使其沿y軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)”的意

思。理解〃矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積〃的意思。

：/kg(5.0x1()7C/kg);(2)/=7.9xi()-6.v;(3)

中的運(yùn)動(dòng)半徑為ro如圖，依題意M、P連線即為該

勁的直徑，由幾何關(guān)系得〃=華①

2

由洛倫茲力提供粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可得

y

qvB-m—②

r

聯(lián)立①②并代入數(shù)據(jù)得幺=4.9xiO7C/kg(或5.0x107C/kg)③

m

(2)設(shè)所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E。如圖，當(dāng)粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)，速度沿y軸正方

向，依題意，在此時(shí)加入沿X軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)力與此時(shí)洛倫茲力平衡,

則有

qE=qvB④代入數(shù)據(jù)得E=70N/C@

所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向沿X軸正方向。由幾何關(guān)系可知，圓弧PQ所對(duì)應(yīng)的圓心角

為45。，設(shè)帶點(diǎn)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,所求時(shí)間為t,則有

'=獲T⑥7=華⑦

聯(lián)立①⑥⑦并代入數(shù)據(jù)得=7.9x10-65⑧

(3)如圖，所求的最小矩形是MM/P,該區(qū)域面積S=2產(chǎn)⑨

聯(lián)立①⑨并代入數(shù)據(jù)得S=0.25w2矩形如圖丙中(虛線\

【總結(jié)升華】抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)〃運(yùn)動(dòng)軌跡半徑恰好最小〃的意思是以兩點(diǎn)連線作為

直徑，運(yùn)動(dòng)軌跡半徑最小，畫出軌跡圖,這是解題的關(guān)鍵所在?！笆蛊溲貀