浙江專用2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題1.2命題及其關(guān)系邏輯聯(lián)結(jié)詞充分條件與必要條件講含解析

PAGEPAGE1第02講命題及其關(guān)系、邏輯聯(lián)結(jié)詞、充分條件與必要條件講1．理解原命題和原命題的逆命題、否命題、逆否命題的含義，及其相互之間的關(guān)系.2．了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”、“非”的含義.3．理解命題的必要條件、充分條件、充要條件的意義，能推斷并證明命題成立的充分條件、必要條件、充要條件.4.高考預(yù)料：命題重點(diǎn)主要集中在以函數(shù)、方程、不等式、立體幾何線面關(guān)系、數(shù)列等為背景的充分條件和必要條件的判定．從近5年命題看，其在試卷中的位置基本穩(wěn)定在選擇題第5、6小題..5.備考重點(diǎn)：（1）命題的真假的推斷；（2）充分條件、必要條件的推斷學(xué)問點(diǎn)1．命題及其關(guān)系（1）命題的概念在數(shù)學(xué)中把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以推斷真假的陳述句叫做命題．其中推斷為真的語句叫真命題，推斷為假的語句叫假命題．（2）四種命題及相互關(guān)系（3）四種命題的真假關(guān)系=1\*GB3①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；=2\*GB3②兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．【典例1】【浙江省浙南名校聯(lián)盟2025屆高三上期末】設(shè)是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，記.下列兩個(gè)命題：①數(shù)列的隨意一項(xiàng)都是正整數(shù)；②數(shù)列第5項(xiàng)為10.()A．①正確，②錯(cuò)誤B．①錯(cuò)誤，②正確C．①②都正確D．①②都錯(cuò)誤【答案】A【解析】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)不等實(shí)根，所以1，，因?yàn)?，所以，即?dāng)時(shí)，數(shù)列中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和，又1，，所以，，，以此類推，即可知：數(shù)列的隨意一項(xiàng)都是正整數(shù)，故①正確；②錯(cuò)誤；因此選A.【規(guī)律方法】1.正確的命題要有充分的依據(jù)，不肯定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時(shí)舉出反例可能比進(jìn)行推理論證更困難，二者同樣重要．2.推斷四種形式的命題真假的基本方法是先推斷原命題的真假，再推斷逆命題的真假，然后依據(jù)等價(jià)關(guān)系確定否命題和逆否命題的真假．假如原命題的真假不好推斷，那就首先推斷其逆否命題的真假．【變式1】【山東省棗莊市2025屆高三上期末】有如下命題：①函數(shù)，，，中有三個(gè)在上是減函數(shù)；②函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；③若，則其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題①函數(shù)，，，中，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性易知，，，三個(gè)函數(shù)在上是減函數(shù)，在R上遞增的，故①正確；②令函數(shù)=0化簡：=x+2，作出圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，故由兩個(gè)零點(diǎn)；②正確；③若，因?yàn)闉閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以故③正確.故選D學(xué)問點(diǎn)2．邏輯聯(lián)結(jié)詞（1）用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，記作____，讀作______”．（2）用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，記作_____，讀作“____”．（3）對一個(gè)命題p全盤否定，就得到一個(gè)新命題，記作_____，讀作“_____”．（4）命題p且q、p或q、非p的真假推斷【典例2】【2024山東】已知命題p：;命題q：若,則a<b.下列命題為真命題的是（）A．B.C.D.【答案】B【解析】由時(shí)成立知p是真命題,由可知q是假命題,所以是真命題,故選B.【重點(diǎn)總結(jié)】1．邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系：“或、且、非”三個(gè)邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合運(yùn)算中的“并、交、補(bǔ)”，因此，經(jīng)常借助集合的“并、交、補(bǔ)”的意義來解答由“或、且、非”三個(gè)聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題．2．“pq”“pq”“p”形式命題真假的推斷步驟：（1）確定命題的構(gòu)成形式；（2）推斷其中命題p、q的真假；（3）確定“pq”“pq”“p”形式命題的真假．3．含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價(jià)關(guān)系（1）pq真?p,q至少一個(gè)真?(p)(q)假.（2）pq假?p,q均假?(p)(q)真.（3）pq真?p,q均真?(p)(q)假.（4）pq假?p,q至少一個(gè)假?(p)(q)真.（5）p真?p假;p假?p真.4．命題p且q、p或q、非p的真假推斷規(guī)律：pq中p、q有一假為假，pq有一真為真，p與非p必定是一真一假．【變式2】【新疆烏魯木齊市2025屆高三其次次質(zhì)量監(jiān)測】命題若，則，是的逆命題，則（）A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假【答案】C【解析】由題意，，所以，得，所以命題為假命題，又因?yàn)槭堑哪婷}，所以命題：若，則為真命題，故選C.學(xué)問點(diǎn)3．充分條件與必要條件(1)假如p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)假如p?q，q?p，則p是q的充要條件．【典例3】【2024年高考浙江】若a>0，b>0，則“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿意，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選A.【規(guī)律方法】充要關(guān)系的幾種推斷方法(1)定義法：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分而不必要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要而不充分條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要條件；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要條件.(2)等價(jià)法：即利用與；與；與的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．(3)集合關(guān)系法：從集合的觀點(diǎn)理解，即若滿意命題p的集合為M，滿意命題q的集合為N，則M是N的真子集等價(jià)于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價(jià)于p是q的必要不充分條件，M＝N等價(jià)于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關(guān)系等價(jià)于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件【變式3】【2024年高考天津理】設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由可得，由可得，易知由推不出，由能推出，故是的必要而不充分條件，即“”是“”的必要而不充分條件.故選B.考點(diǎn)1四種命題的關(guān)系及真假推斷【典例4】【黑龍江省海林市朝鮮族中學(xué)2025屆復(fù)習(xí)】以下命題為假命題的是()A．“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”的逆命題B．“面積相等的三角形全等”的否命題C．“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題D．“若A∪B＝B，則A?B”的逆否命題【答案】A【解析】A．“若m＞0，則方程x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根”的逆命題是“若方程x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根，則m＞0”，

由判別式△=1+4m≥0得，故A是假命題，

B．“面積相等的三角形全等”的逆命題是“全等的三角形面積相等”為真命題，依據(jù)逆命題和否命題為逆否命題，則命題“面積相等的三角形全等”的否命題是真命題，

C．“若xy=1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x，y互為倒數(shù)，則xy=1”為真命題．

D．“若A∪B=B，則A?B”為真命題，則“若A∪B=B，則A?B”的逆否命題為真命題．，

故選：A．【思路點(diǎn)撥】1.四種命題反映出命題之間的內(nèi)在聯(lián)系，要留意結(jié)合實(shí)際問題，理解其關(guān)系（尤其是兩種等價(jià)關(guān)系）的產(chǎn)生過程，關(guān)于逆命題、否命題與逆否命題，也可以敘述為：（1）交換命題的條件和結(jié)論，所得的新命題就是原來命題的逆命題；（2）同時(shí)否定命題的條件和結(jié)論，所得的新命題就是原來的否命題；（3）交換命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的新命題就是原命題的逆否命題.2.本題解答思路：A．求出命題的逆命題，進(jìn)行推斷即可，

B．依據(jù)逆否命題的等價(jià)性推斷命題的逆命題

C．依據(jù)逆命題的定義進(jìn)行推斷

D．依據(jù)逆否命題的等價(jià)性推斷原命題的真假即可．【變式4】【甘肅省酒泉市敦煌中學(xué)2025屆高三一診】在下列四個(gè)命題中,其中真命題是(

)①“若,則”的逆命題;②“若,則”的否命題;③“若,則方程有實(shí)根”的逆否命題;④“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為”的逆命題.A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④【答案】B【解析】逐一考查所給命題的真假：①“若,則”的逆命題為“若，則”該命題為真命題;②“若,則”的否命題為“若,則不垂直”，由可得：，據(jù)此可知：不垂直”，該命題為真命題;③若,則方程的判別式，方程有實(shí)根為真命題，則其逆否命題為真命題;④“等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角均為”的逆命題為“三個(gè)內(nèi)角均為的三角形為等邊三角形”，該命題為真命題;綜上可得：真命題是①②③④.本題選擇B選項(xiàng).考點(diǎn)2含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題【典例5】【山東省2024年一般高校招生（春季）】設(shè)命題，命題，則下列命題中為真命題的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因?yàn)槊}為真，命題為真，所以為真，、為假，選A.【總結(jié)提高】若要推斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先推斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡潔命題的真假，再依據(jù)“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出推斷即可.【變式5】【河北省唐山市2025屆三模】已知命題在中，若，則；命題，.則下列命題為真命題的是（）A.B.C.D.【答案】B命題，當(dāng)時(shí)，不成立，故為假命題，故選B.考點(diǎn)3充分必要條件的判定【典例6】【2024年浙江卷】已知平面α，直線m，n滿意mα，nα，則“m∥n”是“m∥α”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)?，所以依?jù)線面平行的判定定理得.由不能得出與內(nèi)任始終線平行，所以是的充分不必要條件，故選A.【思路點(diǎn)撥】一般地，充分、必要條件推斷方法有三種.本題難度較小，依據(jù)線面平行的判定定理可得充分性成立，而由無法得到m平行于平面內(nèi)任始終線，即必要性不成立．【變式6】【2024年理數(shù)天津卷】設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不重復(fù)條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】肯定值不等式，由.據(jù)此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項(xiàng).考點(diǎn)4充分條件與必要條件的應(yīng)用【典例7】【江西省新八校2025屆高三其次次聯(lián)考】若“”是“”的必要不充分條件，則的取值范圍是________．【答案】【解析】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，所以，故答案為.【規(guī)律方法】1.充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時(shí)需留意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要留意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．2.把握探求某結(jié)論成立的充分、必要條件的3個(gè)方面(1)精確化簡條件，也就是求出每個(gè)條件對應(yīng)的充要條件；(2)留意問題的形式，看清“p是q的……”還是“p的……是q”，假如是其次種形式，要先轉(zhuǎn)化為第一種形式，再推斷；(3)敏捷利用各種方法推斷兩個(gè)條件之間的