2024-2025學年上學期高二數(shù)學蘇教版期中必刷?？碱}之空間向量及其運算

第29頁（共29頁）2024-2025學年上學期高二數(shù)學蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之空間向量及其運算一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?合肥期末）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，線段A1C1與B1D1交于點O1，點P為空間中任意一點，則POA．-a22 B．﹣b2 C．﹣c2 2．（2024秋?宣城期末）已知向量a→=(1，2，2)，A．(-29，-4C．(-23，13．（2024秋?邢臺期末）如圖，在正四面體P﹣ABC中，過點P作平面ABC的垂線，垂足為點H，則PH→A．13PA→+2C．13PA→+4．（2024秋?楚雄州期末）已知空間向量a→=（1，﹣2，1），b→=（﹣1，0，﹣1），則向量A．(13，0，C．(13，-5．（2025?山西一模）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，點P為側(cè)面ABB1A1上的任意一點，則PC→A．[0，2] B．[1，3] C．[2，4] D．[3，5]二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?天河區(qū)期末）如圖，棱長均為1的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，點P為平面ABCD上的動點，則下列說法正確的是（）A．A1C⊥平面BDD1B1 B．AA1→在AC．以D1為球心，半徑為1的球，與側(cè)面BCC1B1的交線長為3πD．若直線D1P與直線AB所成的角為π3，則點P（多選）7．（2024秋?滄州期末）關于空間向量，以下說法正確的是（）A．若空間向量a→=(1，0，1)，b→B．若對空間中任意一點O，有OP→=23OA→-16OBC．若空間向量a→，b→滿足a→?b→D．若直線l的方向向量為m→=(2，4，-2)，平面（多選）8．（2024秋?邢臺期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，AB⊥AD，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，P為A1D與AD1的交點，設AB→A．AC1→=aC．|PC→|=3三．填空題（共4小題）9．（2024秋?聊城期末）已知a→=（2，﹣3，1），b→=（2，0，3），c→=（0，0，2），若a→+λb→+μc→=（610．（2024秋?楚雄州期末）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M為B1D1的中點，則CM→?AD→=11．（2024秋?莎車縣期末）a→=（2，﹣3，5），b→=（﹣3，1，﹣4），則|a→-12．（2024秋?四川期末）已知e1→，e2→，e3→不共面，若AB→=e→1+2e→2+e→3，四．解答題（共3小題）13．（2024秋?金山區(qū)期末）如圖，在空間四邊形OABC中，點D為BC的中點，AE→=1（1）試用向量a→，b（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，求OE→14．（2024秋?菏澤期末）已知空間四點A（0，2，3），B（2，﹣2，﹣1），C（1，4，3），D（﹣1，3，λ）．（1）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形面積；（2）若A、B、C、D四點共面，求λ的值．15．（2024秋?撫順校級期末）已知A（1，0，1），B（2，2，﹣1），a→=AB→，（1）求cos?（2）若(2a→-b→

2024-2025學年上學期高二數(shù)學蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之空間向量及其運算參考答案與試題解析題號12345答案CCCDC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?合肥期末）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，線段A1C1與B1D1交于點O1，點P為空間中任意一點，則POA．-a22 B．﹣b2 C．﹣c2 【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關系與距離；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】C【分析】連接AC與BD交于點O，連接OO1記OO1的中點為G，AD，BC的中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，利用空間向量的運算可得PA→+PB→+【解答】解：在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，線段A1C1與B1D1交于點O1，點P為空間中任意一點，如圖，連接AC與BD交于點O，連接OO1記OO1的中點為G，AD，BC的中點分別為E，F(xiàn)，連接EF，則O為EF的中點，PA→因為AA1＝c，所以OO所以PO所以當P與G重合時，PG2→取得最小值為0，此時PO故選：C．【點評】本題考查的知識點：向量的數(shù)量積運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．2．（2024秋?宣城期末）已知向量a→=(1，2，2)，A．(-29，-4C．(-23，1【考點】空間向量的投影向量與投影．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的計算公式計算即可．【解答】解：已知向量a→=(1，2，2)，b→故選：C．【點評】本題考查的知識點：向量的數(shù)量積運算，向量的投影向量，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．3．（2024秋?邢臺期末）如圖，在正四面體P﹣ABC中，過點P作平面ABC的垂線，垂足為點H，則PH→A．13PA→+2C．13PA→+【考點】空間向量及其線性運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應用；運算求解．【答案】C【分析】利用空間向量的基本定理，結(jié)合空間向量的線性運算即可求解；【解答】解：由題意，在正四面體P﹣ABC中，△ABC為等邊三角形，故H為底面三角形的重心，所以AH=1=1所以PH→故選：C．【點評】本題考查空間向量的線性運算，屬基礎題．4．（2024秋?楚雄州期末）已知空間向量a→=（1，﹣2，1），b→=（﹣1，0，﹣1），則向量A．(13，0，C．(13，-【考點】空間向量的投影向量與投影．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應用；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解．【解答】解：空間向量a→=（1，﹣2，1），b→=（﹣1，則b→?a故向量b→在向量a→上的投影向量是：故選：D．【點評】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題．5．（2025?山西一模）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，點P為側(cè)面ABB1A1上的任意一點，則PC→A．[0，2] B．[1，3] C．[2，4] D．[3，5]【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】C【分析】取AB中點為原點O，建立空間直角坐標系，設P（x，0，z），由數(shù)量積的坐標表示得到PC→【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，點P為側(cè)面ABB1A1上的任意一點，如圖取AB中點為原點O，建立空間直角坐標系，設P（x，0，z），其中﹣1≤x≤1，0≤z≤2，C(0，3PC→=(-x，3當x＝±1，且z＝0或z＝2時，PC→?P當x＝0，且z＝1時，PC→?PC1→取最小值2，所以故選：C．【點評】本題考查的知識點：向量的線性運算，向量的坐標運算，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?天河區(qū)期末）如圖，棱長均為1的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，點P為平面ABCD上的動點，則下列說法正確的是（）A．A1C⊥平面BDD1B1 B．AA1→在AC．以D1為球心，半徑為1的球，與側(cè)面BCC1B1的交線長為3πD．若直線D1P與直線AB所成的角為π3，則點P【考點】空間向量的投影向量與投影；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應用；運算求解；空間想象．【答案】ABD【分析】根據(jù)基底法可證得A1C⊥BB1，A1C⊥BD，由此可得A正確；利用基底法和投影向量公式可求得B正確；建立空間直角坐標系，利用點到面的距離向量求法可求得D1到平面BCC1B1的距離，由此可得截面圓半徑，進而得到交線長，知C錯誤；根據(jù)線線角可確定點P在以D1為頂點，D1C1或D1C1的反向延長線為軸，D1P為母線的圓錐面上，根據(jù)截面與圓錐的位置特征可知D正確．【解答】解：對于A，∵A1C→=AC∴A1C→?BB1→=（AB→+AD→-AA1→）?AA1C→?BD→=（AB→+AD→-AA1→）?（AD→-AB→）＝1×1×cos60°﹣1+1﹣1×∴A1C⊥BB1，A1C⊥BD，因為BB1∩BD＝B，BB1、BD?平面BDD1B1，∴A1C⊥平面BDD1B1，A正確；對于B，因為AC1→=AC→+CC1所以|AC1→|=6，因為AA1→?AC1→=AA1→?（AB→+所以AA1→在AC1→上的投影向量為對于C，作A1O⊥AC，垂足為O，設AC∩BD＝H，由A知：A1C平面BDD1B1，又BD?平面BDD1B1，所以BD⊥A1C，因為AB＝AD＝1，四邊形ABCD為平行四邊形，所有四邊形ABCD為菱形，則BD⊥AC，因為AC∩A1C＝C，AC、A1C?平面ACC1A1，所有BD⊥平面ACC1A1，又A1O?平面ACC1A1，則BD⊥A1O，因為BD，AC?平面ABCD，AC∩BD＝H，∴A1O⊥平面ABCD，以O為坐標原點，OA→，OA1→正方向為x，z軸正方向，作由B知：AO=13AC，所以A1O=則A1(0，0，63)，A（33AA1→BC→=AD設平面BCC1B1的法向量n→=（x，y，z），則令x=2，解得：y=-6，∴n→=(∴點D1到平面BCC1B1的距離d=|D1B→?n→||n→|=63∴以D1為球心，半徑為1的球，與側(cè)面BCC1B1的交線是三角形B1C1C的外接圓在四邊形BCC1B1中（含邊界）的部分，其半徑為12∴交線長為120360π×對于D，∵AB∥C1D1∴直線D1P與直線AB所成角即為∠C1D1P或其補角，∵直線D1P與直線AB所成角為π3，∴∠C1∴點P在以D1為頂點，D1C1或D1C1的反向延長線為軸，D1P為母線的圓錐面上，又P∈平面ABCD，∴P的軌跡是平面ABCD截圓錐面所得的圖形，∵C1D1∥平面ABCD，平行于軸的平面截圓錐所得曲線為雙曲線，∴P點軌跡為雙曲線，D正確．故選：ABD．【點評】本題主要考查空間向量的應用和圓錐曲線的定義，屬于較難題．（多選）7．（2024秋?滄州期末）關于空間向量，以下說法正確的是（）A．若空間向量a→=(1，0，1)，b→B．若對空間中任意一點O，有OP→=23OA→-16OBC．若空間向量a→，b→滿足a→?b→D．若直線l的方向向量為m→=(2，4，-2)，平面【考點】空間向量的數(shù)量積運算；平面的法向量；空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】ABD【分析】A，投影向量定義求a→在b→上的投影向量；B，由空間向量共面的推論判斷；C，由a→，b→同向共線即可判斷；【解答】解：A：a→在b→上的投影向量為B：在OP→=23OA→-16OB→C：當a→，b→同向共線時a→?bD：由m→=-2n→，即m→∥n故選：ABD．【點評】本題主要考查空間向量的相關知識，考查計算能力，屬于基礎題．（多選）8．（2024秋?邢臺期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，AB⊥AD，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，P為A1D與AD1的交點，設AB→A．AC1→=aC．|PC→|=3【考點】空間向量及其線性運算；點、線、面間的距離計算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；高考數(shù)學專題；邏輯思維；運算求解．【答案】BD【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合圖形計算即可求解．【解答】解：對于A：AC1→對于B：BD1→對于C：a→又PC→所以|PC→|=對于D：AC1→如圖所示：故選：BD．【點評】本題考查的知識點：向量的線性運算，向量的數(shù)量積運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?聊城期末）已知a→=（2，﹣3，1），b→=（2，0，3），c→=（0，0，2），若a→+λb→+μc→=（6【考點】空間向量及其線性運算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應用；運算求解．【答案】﹣6．【分析】由空間向量的坐標運算即可求解．【解答】解：由題意，a→+λb→+μc→=（2，﹣3，1）+λ（2，0，3）+μ（＝（2+2λ，﹣3，1+3λ+2μ）＝（6，﹣3，1），則有2+2λ=61+3所以λμ＝﹣6．故答案為：﹣6．【點評】本題考查空間向量的坐標運算，屬基礎題．10．（2024秋?楚雄州期末）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M為B1D1的中點，則CM→?AD→=【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】-1【分析】由向量的加減運算及數(shù)量積的運算可得CM→【解答】解：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，M為B1D1的中點，則CM→?AD→=（CC1→+C1M→）?AD→=[CC1→+12因為AA1→?AD→=|AA1→|?|AD→|cos60°＝1×1×12=12，AB→所以CM→?AD→故答案為：-1【點評】本題考查向量的運算性質(zhì)的應用，屬于基礎題．11．（2024秋?莎車縣期末）a→=（2，﹣3，5），b→=（﹣3，1，﹣4），則|a→-【考點】空間向量的數(shù)量積運算．【專題】空間向量及應用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】首先求出a→-2b→=（【解答】解：∵a→=（2，﹣3，5），b→=（﹣3，1，﹣4），a→-2∴|a→-2故答案為：258【點評】本題考查了空間向量的坐標運算以及向量模的求法．12．（2024秋?四川期末）已知e1→，e2→，e3→不共面，若AB→=e→1+2e→2+e→3，【考點】空間向量的共線與共面．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】6．【分析】直接利用向量的共線的充要條件求出結(jié)果．【解答】解：由于已知e1→，e2→，e3→不共面，若AB→=e→1則：1x=2y=12，解得x故x+y＝6．故答案為：6．【點評】本題考查的知識點：向量共線的充要條件，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?金山區(qū)期末）如圖，在空間四邊形OABC中，點D為BC的中點，AE→=1（1）試用向量a→，b（2）若OA＝OB＝OC＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，求OE→【考點】空間向量的數(shù)量積運算；空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；運算求解．【答案】（1）OD→（2）23【分析】（1）利用平行四邊形法則與三角形法則即可求得結(jié)果；（2）利用三角形法則得OE→=23a【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，空間四邊形OABC中，點D為BC的中點，AE→設OA→根據(jù)平行四邊形法則，可知OD→根據(jù)平行四邊形法則，可知AD→（2）根據(jù)題意可知，OA＝OC＝2，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝90°，∴a→利用三角形法則，得OE→∴OE=1【點評】本題考查了三角形法則，屬于基礎題．14．（2024秋?菏澤期末）已知空間四點A（0，2，3），B（2，﹣2，﹣1），C（1，4，3），D（﹣1，3，λ）．（1）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形面積；（2）若A、B、C、D四點共面，求λ的值．【考點】空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應用；運算求解．【答案】（1）12；（2）92【分析】（1）根據(jù)向量的夾角公式求出∠BAC的余弦，再得出∠BAC的正弦，利用面積公式得解；（2）根據(jù)共面向量基本定理的坐標運算求解．【解答】解：（1）A（0，2，3），B（2，﹣2，﹣1），C（1，4，3），則AB→=(2，AB→又|AC→|=∴cos?∴sin?∴四邊形ABCD的面積為S=|∴以AB，AC為鄰邊的平行四邊形ABCD的面積為12．（2）由題意，得AD→∵A、B、C、D四點共面；∴存在唯一一對實數(shù)x，y使得AD→∴-1=2x+∴λ的值為92【點評】本題主要空間向量的共線與共面，屬于中檔題．15．（2024秋?撫順校級期末）已知A（1，0，1），B（2，2，﹣1），a→=AB→，（1）求cos?（2）若(2a→-b→【考點】空間向量的數(shù)量積運算；空間向量的共線與共面．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應用；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）cos?a→，b【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標運算，利用數(shù)量積的計算公式，可得答案；（2）根據(jù)平行向量的坐標表示，建立方程組，可得答案．【解答】解：已知A（1，0，1），B（2，2，﹣1），a→=AB→，（1）a→=(1|a→|=cos?（2）2a因為(2a→-即（﹣2，6，﹣8）＝λ（3，m，n），故3λ=-2λm【點評】本題考查的知識點：向量的坐標運算，向量的夾角運算，共線向量的應用，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．2．直線與平面平行【知識點的認識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．3．空間向量及其線性運算【知識點的認識】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負向量：兩個模相等且方向相反的向量是互為負向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量：A1（求空間若干向量之和時，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運算實數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當λ＞0時，λa→與②當λ＜0時，λa→與③當λ＝0時，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長度是a→的長度的|2．運算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ注意：實數(shù)和空間向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，如λ±4．空間向量的共線與共面【知識點的認識】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x【解題方法點撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù)λ，使a→=λb→成立，或充分利用空間向量的運算法則，（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點共面、線共面問題，關鍵是熟練地進行向量表示，恰當應用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使MP→=xMA→+yMB→證明三個向量共面的常用方法：（1）設法證明其中一個向量可表示成另兩個向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-32分析：利用共線向量的條件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）與b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故選C．點評：本題考查共線向量的知識，考查學生計算能力，是基礎題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點不共線，O是平面ABC外的任一點，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯誤的，則D正確．故選D．點評：本題考查共線向量與共面向量，考查學生應用基礎知識的能力．是基礎題．5．空間向量的數(shù)量積運算【知識點的認識】1．空間向量的夾角已知兩個非零向量a→、b→，在空間中任取一點O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長度|b→|與3．空間向量的數(shù)量積運算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λa（2）分配律：a→4．數(shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時，只能用符號a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個實數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）當a→≠0→時，由a→?b→=【解題方法點撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關系：（1）向量垂直只對非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個方向向量表示為幾個已知向量a→，b→，【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點間的距離、證明垂直關系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運算法則的應用，任何有關數(shù)量積計算問題都離不開運算律的運用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1分析：