2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版期中必刷?？碱}之平面向量的應(yīng)用

第25頁(yè)（共25頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之平面向量的應(yīng)用一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?商洛期末）位于P處的雷達(dá)接收到在其正東方向相距203海里的B處的一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨的營(yíng)救信號(hào)后，即刻通知位于P處雷達(dá)北偏東π3且與P處雷達(dá)相距30海里的A．153 B．105 C．103 2．（2024秋?河南期末）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝1，c＝2，B＝2C，則b＝（）A．2 B．3 C．2 D．63．（2024秋?安徽校級(jí)期末）在△ABC中，已知sin2A+sin2C+cos2B＝sinCsinA+1，且滿(mǎn)足|AB→|A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形4．（2024秋?唐縣校級(jí)期末）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿(mǎn)足sin2B＝3sin2A﹣2sin2C，當(dāng)sinA的值最大時(shí)，sinA．2 B．1 C．12 D．5．（2025?徐州模擬）若滿(mǎn)足條件C=60°，AB=3A．（1，2） B．（2，3） C．(3，2) D二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?唐縣校級(jí)期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（）A．若A＞B，則cosA＜cosB B．若A＝30°，b＝5，a＝2，則△ABC有兩解 C．若cosAcosBcosC＞0，則△ABC為銳角三角形 D．若a﹣c?cosB＝a?cosC，則△ABC為等腰三角形或直角三角形（多選）7．（2024秋?銅仁市期末）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若sinA-3cosA=0，3sinB＝2sinA．A=B．△ABC外接圓半徑R=C．b＝3，c＝2 D．若D是邊BC中點(diǎn)，則AD（多選）8．（2024秋?河南期末）如圖，正四棱錐P﹣ABCD的棱長(zhǎng)均為1，且BF→=λBC→，PE→=λPD→（0＜λ＜1）．記平面A．BF?DG＝1 B．PE?CG＝2DE C．當(dāng)CH=12時(shí)，λ=3-5三．填空題（共4小題）9．（2024秋?巴中期末）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ccosB=1813，bcosC=810．（2025?山東模擬）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝60°，b＝3c，a＝27，則△ABC的面積為．11．（2024秋?張掖校級(jí)期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（c﹣b）sinC＝（a+b）（sinA﹣sinB），則A＝．12．（2024秋?日照期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且B=π3，若點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AM=12AC四．解答題（共3小題）13．（2024秋?錦州期末）如圖，在銳角△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，AD＝CD，BA＝7，BC＝8．（1）若sin2B＝sinB，求B；（2）設(shè)∠CAB﹣∠ACB＝θ，若sinθ=3314．（2024秋?諸暨市期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足cosC=（1）求角B；（2）若D為AC的中點(diǎn)，且BD＝5，b＝6，求△ABC的面積．15．（2024秋?銀川校級(jí)期末）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，（1）求A；（2）若a=3，b=1

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷常考題之平面向量的應(yīng)用參考答案與試題解析題號(hào)12345答案CDCCC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?商洛期末）位于P處的雷達(dá)接收到在其正東方向相距203海里的B處的一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨的營(yíng)救信號(hào)后，即刻通知位于P處雷達(dá)北偏東π3且與P處雷達(dá)相距30海里的A．153 B．105 C．103 【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出∠BPM=π6，然后在△BPM中運(yùn)用余弦定理算出【解答】解：由題意得∠BPM=π在△BPM中，根據(jù)余弦定理得BM2＝PM2+PB2﹣2PM?PBcos∠BPM＝900+1200﹣2×30×203×3所以BM=300=10故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理、解三角形及其應(yīng)用，考查了計(jì)算能力、概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?河南期末）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a＝1，c＝2，B＝2C，則b＝（）A．2 B．3 C．2 D．6【考點(diǎn)】解三角形；求二倍角的三角函數(shù)值；余弦定理．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】應(yīng)用正弦定理得出2sin3C＝sinC，再應(yīng)用兩角和的正弦公式結(jié)合二倍角公式得出cos2【解答】解：因?yàn)锽+A+C＝π，B＝2C，所以A＝π﹣3C，由正弦定理得：asinA即2sinC=1sin(π-所以2sin（C+2C）＝2（sinCcos2C+cosCsin2C）＝2（sinCcos2C+2sinCcos2C）＝sinC，因?yàn)?＜A＜π，所以sinC≠0，所以2（cos2C+2cos2C）＝1，所以2（cos2C+cos2C+1）＝1，解得cos2因?yàn)閍＝1，c＝2，所以由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝5﹣4cosB＝5﹣4cos2C＝6，所以b=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正、余弦定理和三角恒等變換知識(shí)解三角形，屬于中檔題．3．（2024秋?安徽校級(jí)期末）在△ABC中，已知sin2A+sin2C+cos2B＝sinCsinA+1，且滿(mǎn)足|AB→|A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理得B=π3，再根據(jù)向量數(shù)量積得cos【解答】解：由題意得sin2A+sin2C＝sinCsinA+1﹣cos2B，即sin2A+sin2C＝sinCsinA+sin2B，由正弦定理得a2+c2＝ac+b2，即a2+c2﹣b2＝ac，則cosB=a2+c2-b22又|AB所以|AB故cos?AB→，AC綜上可知三角形為等邊三角形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，向量數(shù)量積的性質(zhì)在三角形形狀判斷中的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2024秋?唐縣校級(jí)期末）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿(mǎn)足sin2B＝3sin2A﹣2sin2C，當(dāng)sinA的值最大時(shí)，sinA．2 B．1 C．12 D．【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用正弦定理化角為邊，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出cosA的最小值，再根據(jù)平方關(guān)系即可求出sinA的值最大，結(jié)合取等號(hào)的條件即可得解．【解答】解：因?yàn)閟in2B＝3sin2A﹣2sin2C，由正弦定理得b2＝3a2﹣2c2，所以a2則cosA=所以sinA=當(dāng)且僅當(dāng)b3c=c6b，即2所以當(dāng)sinA的值最大時(shí)，sin故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025?徐州模擬）若滿(mǎn)足條件C=60°，AB=3A．（1，2） B．（2，3） C．(3，2) D【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【答案】C【分析】由已知條件C的度數(shù)，AB及BC的值，根據(jù)正弦定理用a表示出sinA，由C的度數(shù)及正弦函數(shù)的圖象可知滿(mǎn)足題意△ABC有兩個(gè)A的范圍，然后根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出sinA的范圍，進(jìn)而求出a的取值范圍．【解答】解：由正弦定理得：ABsinC=BC變形得：sinA=a由題意得：當(dāng)A∈（60°，120°）時(shí)，滿(mǎn)足條件的△ABC有兩個(gè)，所以32＜a2＜1，解得：則a的取值范圍是（3，2）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值．要求學(xué)生掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記特殊角的三角函數(shù)值以及靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理這個(gè)隱含條件．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?唐縣校級(jí)期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（）A．若A＞B，則cosA＜cosB B．若A＝30°，b＝5，a＝2，則△ABC有兩解 C．若cosAcosBcosC＞0，則△ABC為銳角三角形 D．若a﹣c?cosB＝a?cosC，則△ABC為等腰三角形或直角三角形【考點(diǎn)】解三角形；三角形的形狀判斷；正弦定理．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】利用正、余弦定理對(duì)每項(xiàng)逐一判斷即可得解．【解答】解：對(duì)于A(yíng)，∵A＞B，∴sinA＞sinB，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可知cosA＜cosB，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理可得：asinA∴sinB=bsinAa此時(shí)△ABC無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵cosAcosBcosC＞0，∴cosA＞0cosB＞0cosC＞0，可知A，對(duì)于D：∵a﹣c?cosB＝a?cosC，a＝ccosB+acosC，∴ccosB+bcosC﹣c?cosB＝a?cosC，∴bcosC＝acosC，∴（b﹣a）cosC＝0，b＝a或cosC＝0?C＝90°，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024秋?銅仁市期末）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若sinA-3cosA=0，3sinB＝2sinA．A=B．△ABC外接圓半徑R=C．b＝3，c＝2 D．若D是邊BC中點(diǎn)，則AD【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)sinA-3cosA=0算出tanA=3，進(jìn)而求出出角A的大小，可判斷A項(xiàng)的正誤；根據(jù)正弦定理列式算出外接圓的半徑，即可判斷出B項(xiàng)的正誤；運(yùn)用余弦定理求邊b、c的長(zhǎng)，即可判斷出C【解答】解：對(duì)于A(yíng)，由sinA-3cosA=0得sinA=3cosA結(jié)合A∈（0，π），可知A=π3對(duì)于B，根據(jù)正弦定理，可知△ABC的外接圓半徑R滿(mǎn)足：2R=a可得R=213，故對(duì)于C，由3sinB＝2sinC，結(jié)合正弦定理得3b＝2c，即b：c＝2：3，設(shè)b＝2t，則c＝3t，t＞0．由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝7，即13t2﹣6t2＝7，解得t＝1，所以b＝2t＝2，c＝3t＝3，故C項(xiàng)不正確；對(duì)于D，AD為△ABC的邊BC上的中線(xiàn)，可得2AD兩邊平方，得4|解得AD=192故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、正弦定理與余弦定理、平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．（多選）8．（2024秋?河南期末）如圖，正四棱錐P﹣ABCD的棱長(zhǎng)均為1，且BF→=λBC→，PE→=λPD→（0＜λ＜1）．記平面A．BF?DG＝1 B．PE?CG＝2DE C．當(dāng)CH=12時(shí)，λ=3-5【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；空間向量的數(shù)乘及線(xiàn)性運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】綜合平面幾何知識(shí)及空間立體幾何知識(shí)分析各選項(xiàng)即可得．【解答】解：對(duì)于A(yíng)，由題可知BF＝PE＝λ，△ABF∽△GDA，所以ABDG因此BF?DG＝AB?AD＝1，故A正確；對(duì)于B，由A可知DG=1BF又PE＝λ，DE＝1﹣λ，所以PE?CG＝1﹣λ＝DE，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，在△GDE中，在線(xiàn)段CD上截取CM＝CH，連接HM，則△HCM是等邊三角形，所以△GHM∽△GED，則HMDE所以121-λ=1λ-11λ解得λ=3-52或?qū)τ贒，設(shè)CH＝x，在△CFH中，由余弦定理，可得FH2＝（1﹣λ）2+x2﹣（1﹣λ）x，在△CGH中，由余弦定理，可得GH兩式作差，得FH容易發(fā)現(xiàn)1﹣λ＞0，1+1λ＞所以FH2﹣CH2＜0，所以FH＜GH，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面幾何知識(shí)及空間立體幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?巴中期末）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ccosB=1813，bcosC=8【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】-5【分析】根據(jù)題意并利用正弦定理可得sinCcosB=【解答】解：因?yàn)閏cosB=所以ccosBbcosC由正弦定理得：sinCcosBsinBcosC=9所以sin(故答案為：-5【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正弦定理和三角恒等變換解三角形，屬于中檔題．10．（2025?山東模擬）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A＝60°，b＝3c，a＝27，則△ABC的面積為33【考點(diǎn)】余弦定理．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】33【分析】根據(jù)余弦定理可得邊長(zhǎng)，從而確定面積．【解答】解：∵b＝3c，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，A=π3∴28＝9c2+c2﹣3c2，∴c＝2，b＝6，∴△ABC的面積S=故答案為：33【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．11．（2024秋?張掖校級(jí)期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（c﹣b）sinC＝（a+b）（sinA﹣sinB），則A＝π3【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】π3【分析】根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，整理得b2+c2﹣a2＝bc，由此利用余弦定理算出cosA，進(jìn)而可得角A的大?。窘獯稹拷猓河桑╟﹣b）sinC＝（a+b）（sinA﹣sinB），根據(jù)正弦定理是c（c﹣b）＝（a+b）（a﹣b），整理得b2+c2﹣a2＝bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=故答案為：π3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理與余弦定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024秋?日照期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且B=π3，若點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AM=12AC【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】根據(jù)題意，分別在△ABM與△ABC中，運(yùn)用余弦定理求出AM2、AC2關(guān)于a、c的表達(dá)式，進(jìn)而求出ac【解答】解：在△ABM中，BM=12a，B由余弦定理得AM2＝AB2+BM2﹣2AB?BMcosB＝c2+14a2-在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcosB＝c2+a2﹣ac，結(jié)合AM=12AC，可得AC2＝所以c2+a2﹣ac＝4（c2+14a2-12ac）＝4c2+a2﹣2ac，整理得3c2＝故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦定理及其應(yīng)用，考查了計(jì)算能力、概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?錦州期末）如圖，在銳角△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，AD＝CD，BA＝7，BC＝8．（1）若sin2B＝sinB，求B；（2）設(shè)∠CAB﹣∠ACB＝θ，若sinθ=33【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1）π3（2）103【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式，可得cosB的值，進(jìn)而算出角B的大小；（2）在△ABD中利用余弦定理和正弦定理，求出sinB，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式算出答案．【解答】解：（1）由sin2B＝sinB，可得2sinBcosB＝sinB，因?yàn)锽是銳角，sinB＞0，所以cosB=12（2）銳角△ABC中，由AD＝CD，可得∠DCA＝∠DAC，θ＝∠CAB﹣∠ACB＝∠BAD＜π根據(jù)sin∠BAD=在△ABD中，設(shè)BD＝x，則DA＝DC＝8﹣x，BA＝7，由余弦定理得x2＝72+（8﹣x）2﹣2×7×（8﹣x）×13解得x＝3，即BD＝3，DA＝5．根據(jù)正弦定理得sinB=ADsin所以△ABC的面積S=12BA?BCsinB【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式、正弦定理與余弦定理、三角形的面積公式等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．14．（2024秋?諸暨市期末）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足cosC=（1）求角B；（2）若D為AC的中點(diǎn)，且BD＝5，b＝6，求△ABC的面積．【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1）B=（2）83【分析】（1）由余弦邊角關(guān)系得ac＝a2+c2﹣b2，再應(yīng)用余弦定理求角的大小；（2）由BD→=12(BA→+BC→)及向量數(shù)量積的運(yùn)算律得14(a2【解答】解：（1）因?yàn)閏osC=2a所以ac＝a2+c2﹣b2，所以cosB=因?yàn)锽∈（0，π），所以B=（2）因?yàn)閎＝6，由（1）知，ac＝a2+c2﹣b2＝a2+c2﹣36，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，且BD＝5，所以BD→則BD→所以14(36+2ac)=25，可得所以S△【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用余弦定理、向量知識(shí)解三角形，屬于中檔題．15．（2024秋?銀川校級(jí)期末）已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，（1）求A；（2）若a=3，b=1【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1）A=（2）7π【分析】（1）直接利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合兩角和的正弦公式求出cosA，然后求解角的大?。唬?）由正弦定理可得sinB，可求B，C，利用正弦定理可求△ABD外接圓的半徑，進(jìn)而求得面積．【解答】解：（1）因?yàn)閍cosCcosA=2b-c，所以acosC＝（2b﹣由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosA．即sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，在△ABC中，sinB＞0，可得cosA=1因?yàn)锳∈（0，π），所以A=（2）因?yàn)閍=3，b=1所以sinB=因?yàn)閍＞b，可得B為銳角，所以B=因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以CD=在Rt△ACD中，AD=設(shè)△ABD外接圓的半徑為R，則ADsinB故△ABD的外接圓的面積為π×【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形外接圓的面積的求法，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．求二倍角的三角函數(shù)值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點(diǎn)撥】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣將具體角度值代入公式，求解二倍角的三角函數(shù)值．﹣驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性．【命題方向】常見(jiàn)題型包括利用二倍角公式求解三角函數(shù)值，結(jié)合具體角度進(jìn)行計(jì)算．已知tanα2=22，則解：因?yàn)閠anα所以tanα=故答案為：222．正弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問(wèn)題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無(wú)解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無(wú)解．2、三角形常用面積公式1．S=12a?ha（ha表示邊2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問(wèn)題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問(wèn)題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問(wèn)題．（2）測(cè)量高度問(wèn)題：解題思路：①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問(wèn)題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角．當(dāng)視線(xiàn)在水平線(xiàn)之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線(xiàn)在水平線(xiàn)之下時(shí)，稱(chēng)為俯角．3．余弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問(wèn)題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問(wèn)題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問(wèn)題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問(wèn)題．（2）測(cè)量高度問(wèn)題：解題思路：①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問(wèn)題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角．當(dāng)視線(xiàn)在水平線(xiàn)之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線(xiàn)在水平線(xiàn)之下時(shí)，稱(chēng)為俯角．4．三角形中的幾何計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、幾何中的長(zhǎng)度計(jì)算：（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判斷三角形的形狀；③實(shí)現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化．包括：a、已知三邊，求三個(gè)角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．2、與面積有關(guān)的問(wèn)題：（1）三角形常用面積公式①S=12a?ha（ha表示邊②S=12absinC=12acsinB=③S=12r（a+b+c）（（2）面積問(wèn)題的解法：①公式法：三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形，可用相應(yīng)面積公式解決．②割補(bǔ)法：若是求一般多邊形的面積，可采用作輔助線(xiàn)的辦法，通過(guò)分割或補(bǔ)形把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的幾個(gè)三角形，再由三角形的面積公式求解．【解題方法點(diǎn)撥】幾何計(jì)算最值問(wèn)題：（1）常見(jiàn)的求函數(shù)值域的求法：①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來(lái)求值；②逆求法（反求法）：通過(guò)反解，用y來(lái)表示x，再由x的取值范圍，通過(guò)解不等式，得出y的取值范圍；④換元法：通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域；⑥單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域．⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來(lái)求值域．（2）正弦，余弦，正切函數(shù)值在三角形內(nèi)角范圍內(nèi)的變化情況：①當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值隨著角度的增大而減小，且0≤cosα≤1；正切值隨著角度的增大而增大，tanα＞0．②當(dāng)角度在90°～180°間變化時(shí)，正弦值隨著角度的增大而減小，且0≤sinα≤1；余弦值隨著角度的增大而減小，且﹣1≤cosα≤0；正切值隨著角度的增大而增大，tanα＜0．5．解三角形【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余