2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版期中必刷?？碱}之函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)與圖象

第29頁（共29頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷?？碱}之函數(shù)y＝Asin(ωx+φ)的性質(zhì)與圖象一．選擇題（共5小題）1．（2025?薊州區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f(x)=A．f(B．將f（x）的圖象向右平移π3個單位，得到y(tǒng)＝2sin2x的圖象C．?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4 D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+π122．（2025?蕪湖一模）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π]）的部分圖象如圖所示，且f（x）在（0，π）上恰有1個極大值點和1個極小值點，則ω的取值范圍是（）A．116＜ω≤17C．1124≤ω＜3．（2025?邛崍市校級二模）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）(ω＞0，|φ|＜π2)，將f（x）的圖象A．f（x）的一條對稱軸為x=B．f（x）＝1在（0，π）有2個根 C．f（x）與直線y＝x有3個交點 D．f（x）關(guān)于(74．（2025?錦江區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分圖象如圖所示，將f（x）的圖象向左平移π12個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象A．12 B．32 C．1 D5．（2024秋?甘肅期末）把函數(shù)y＝f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x-πA．sin(x2-7C．sin(2x-二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?如皋市期末）對于函數(shù)f(x)=2sin(A．當ω＝2時，函數(shù)f（x）在(π6B．若函數(shù)f（x）在[π6，2πC．若函數(shù)f（x）在x＝x1時取最小值，在x＝x2時取最大值，且|x1-D．將函數(shù)f（x）圖象向左平移π6個單位得到g（x）的圖象，若g（x）為偶函數(shù)，則ω的最小值為（多選）7．（2025春?雨花區(qū)校級月考）函數(shù)f(x)=sin(2xA．φ=B．f（x）在[-πC．將函數(shù)f（x）的圖象向左平行移動5π12個單位，得到的函數(shù)圖象D．若x∈[π12，5π12]，則函數(shù)g（x（多選）8．（2025?湖南開學(xué)）已知函數(shù)f(x)=sin(A．若f（x）的最小正周期為π2，則ω＝4B．若f（x）的圖象關(guān)于點(π3，0)中心對稱，則ω＝1+3k（kC．若f（x）在[0，2π3]D．若方程f(x)=12在[0，π三．填空題（共4小題）9．（2024秋?龍巖期末）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜φ＜π），在一個周期內(nèi)的圖像如圖所示，則f（π2）＝10．（2024秋?唐縣校級期末）已知函數(shù)f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）的圖象向右平移π4個單位長度后，所得函數(shù)在[5π4，9π411．（2025?沭陽縣校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，其中A＞0，ω＞0，-π2＜φ＜0，若x2x12．（2024秋?黑龍江期末）已知函數(shù)f(x)=cos(ωx-π3)(ω＞0)，將f（x）的圖象向右平移π6個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）是偶函數(shù)，f（四．解答題（共3小題）13．（2024秋?如皋市期末）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移π6，再向上平移m（m＞0），得到函數(shù)g（x）的圖象．若對任意的x1，x2∈[-π6，π2]，都有14．（2025?武威校級開學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝2sinx．（1）根據(jù)五點作圖法完善以下表格，并在如圖所示的直角坐標系中作出函數(shù)f（x）在[0，2π]的圖象；x0π2πy020（2）將y＝f（x）圖象上所有點向右平行移動π6個單位長度，再將得到的圖象上的各點橫坐標縮短為原來的12（縱坐標不變），得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，求g（x）的解析式，并寫出曲線y＝g（15．（2025?岳麓區(qū)校級開學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為(π4，0)，將函數(shù)f（x）圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移π2個單位長度后得到函數(shù)g（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；（2）當x∈（0，2π）時，求方程f（x）g（x）＝2f（x）+g（x）解的個數(shù)；（3）求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）＝f（x）+ag（x）在區(qū)間（0，nπ）內(nèi)恰有2025個零點．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版（2019）期中必刷常考題之函數(shù)y＝Asin(ωx+φ)的性質(zhì)與圖象參考答案與試題解析題號12345答案BAABD一．選擇題（共5小題）1．（2025?薊州區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f(x)=A．f(B．將f（x）的圖象向右平移π3個單位，得到y(tǒng)＝2sin2x的圖象C．?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4 D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+π12【考點】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的平移變換即可求解．【解答】解：由題意，根據(jù)函數(shù)f(x)=可得A=2，T所以ω＝2，由題意2sin根據(jù)(π則2×π3又因為-π所以k=0所以f（x）的解析式為：f(對A，f(π2對B，由題意可得y=2sin[2(x-對C，由三角函數(shù)的性質(zhì)知，﹣2≤f（x）≤2，所以?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，故C正確；對D，由2kπ+π所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+π故選：B．【點評】本題考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．2．（2025?蕪湖一模）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[0，2π]）的部分圖象如圖所示，且f（x）在（0，π）上恰有1個極大值點和1個極小值點，則ω的取值范圍是（）A．116＜ω≤17C．1124≤ω＜【考點】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思維．【答案】A【分析】結(jié)合正弦函數(shù)圖象變換的知識，正弦函數(shù)的最值點與區(qū)間的（0，π）的關(guān)系，構(gòu)造ω的不等式求解．【解答】解：由圖知f（0）＝sinφ=32，因為φ∈[0，2π]，且在圖象下降時與y軸相交于（0，32），所以所以f（x）＝sin（ωx+2由圖像變換的知識可知，x=3π2，5π2經(jīng)變換后的對應(yīng)的極值點落在（0，π則由ωx+2π3=5π2則11π6ω故選：A．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖像變換以及正弦函數(shù)的極值點的性質(zhì)，屬于中檔題．3．（2025?邛崍市校級二模）已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）(ω＞0，|φ|＜π2)，將f（x）的圖象A．f（x）的一條對稱軸為x=B．f（x）＝1在（0，π）有2個根 C．f（x）與直線y＝x有3個交點 D．f（x）關(guān)于(7【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換；正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思維；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)條件得到f(x)=2sin(2x-π6)，利用y＝sinx的圖象與性質(zhì)，直接求出f（x）的對稱軸和對稱中心，即可判斷選項A和D的正誤；對于選項B，直接求出f（x）＝1在（0，π）內(nèi)的根，即可求解；對于C【解答】解：因為f（x）＝2sin（ωx+φ），將f（x）的圖象向右平移π6個單位后，得到g因為g（x）關(guān)于y軸對稱，且與y軸最接近的一個極大值坐標為(π所以φ-π6ω=-π2+2kπ所以f(對于選項A，由2x-π6=π2+kπ對于選項B，由f（x）＝1，得到2x-π得到x=π6+kπ，k∈Z，或x=π對于選項C，在同一坐標系中作出y＝x與f(x)=2又f（0）＝﹣1，f(π3)=2，f(注意到當x＝0時，y＝0＞﹣1，當x=π3時，y=π當x=-π6時，y=結(jié)合圖象可知f（x）與直線y＝x有3個交點，所以選項C正確；對于選項D，因為2x-π令k＝1，得到x=7π12，所以(7π12故選：A．【點評】本題考查的知識點：正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．4．（2025?錦江區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分圖象如圖所示，將f（x）的圖象向左平移π12個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象A．12 B．32 C．1 D【考點】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】B【分析】由周期求出ω，結(jié)合最值點求出φ，即可求f（x），然后結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換求出g（x），即可求解．【解答】解：由題意可得，3T所以T＝π，ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ），又f（π6）＝sin（π3+φ）＝1，且|所以φ=π6，f（x）＝sin（2所以g（x）＝sin（2x+π3），g（π6）＝故選：B．【點評】本題主要考查了求y＝Asin（ωx+φ）的解析式，還考查了三角函數(shù)圖象的平移變換，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?甘肅期末）把函數(shù)y＝f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x-πA．sin(x2-7C．sin(2x-【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思維；運算求解．【答案】D【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：為得到函數(shù)y=sin(x-π4)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移π3個單位，得到再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標壓縮為原來的12，即得到f（x）＝sin（2x+π12故選：D．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?如皋市期末）對于函數(shù)f(x)=2sin(A．當ω＝2時，函數(shù)f（x）在(π6B．若函數(shù)f（x）在[π6，2πC．若函數(shù)f（x）在x＝x1時取最小值，在x＝x2時取最大值，且|x1-D．將函數(shù)f（x）圖象向左平移π6個單位得到g（x）的圖象，若g（x）為偶函數(shù)，則ω的最小值為【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換；正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】ABD【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得A、B正確；由正弦函數(shù)的周期和誘導(dǎo)公式可得C錯誤；由圖象平移結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得D正確．【解答】解：對于A，當ω＝2時，f(令f（x）＝0，則sin(2若x∈(π6，2π3)，2由于（π2，3π2所以sin(2x+對于B，由于x∈又由題意f（x）單調(diào)遞增，可得πω6+π6≥2kπ-又ω＞0，所以ω∈(0，對于C，若函數(shù)f（x）在x＝x1時取最小值，在x＝x2時取最大值，且|x可得T2=π2，可得T＝π，可得可得f(令g(則g(故g(所以f(5π對于D，將函數(shù)f（x）圖象向左平移π6個單位得到g（x）的圖象，可得g若g（x）為偶函數(shù)，則πω6+π6=kπ+π2，k所以當k＝0時，ω的最小值為2，故D正確；故選：ABD．【點評】本題考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．（多選）7．（2025春?雨花區(qū)校級月考）函數(shù)f(x)=sin(2xA．φ=B．f（x）在[-πC．將函數(shù)f（x）的圖象向左平行移動5π12個單位，得到的函數(shù)圖象D．若x∈[π12，5π12]，則函數(shù)g（x【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換；正弦函數(shù)的定義域和值域；正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思維；運算求解．【答案】AC【分析】由題意先求φ的值，即可判斷A，求f（x）的單調(diào)減區(qū)間即可判斷B，根據(jù)圖像的平移變換即可判斷C，由三角恒等變換得g(x)=3sin【解答】解：對于A：因為對?x都有f(x)≤|f(-π3)|，所以x=-π3對于B：所以f(x)=sin(2x+π6)，π2+2kπ≤2x+π對于C：將函數(shù)f（x）的圖象向左平行移動5π12個單位，得到的函數(shù)g(x)=sin[2(對于D：函數(shù)g(x)=f(x)+cos2故選：AC．【點評】本題考查的知識點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．（多選）8．（2025?湖南開學(xué)）已知函數(shù)f(x)=sin(A．若f（x）的最小正周期為π2，則ω＝4B．若f（x）的圖象關(guān)于點(π3，0)中心對稱，則ω＝1+3k（kC．若f（x）在[0，2π3]D．若方程f(x)=12在[0，π【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換；三角函數(shù)應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為函數(shù)f(x)=sin(所以sinφ=32，而|φ|選項A，f（x）的最小正周期是T=2πω=π2選項B，f（x）的圖象關(guān)于點(π則ω?π3+π3=選項C，x∈[0，則[π3，2ωπ3+選項D，x∈[0，π]時，ωx+方程f(x)=12在[0，π]上恰有兩個不同的實數(shù)解，即方程sin則13π6≤ωπ+故選：AC．【點評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?龍巖期末）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜φ＜π），在一個周期內(nèi)的圖像如圖所示，則f（π2）＝-3【考點】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】綜合題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】-3【分析】由函數(shù)的圖像的頂點坐標求出A，由函數(shù)的周期求出ω，由五點法作圖求出φ，可得函數(shù)的解析式，從而求出f(【解答】解：由圖可知：A＝2，T＝2（5π12-(-π12)再根據(jù)最高點的坐標，可得2×結(jié)合φ的范圍，可得k=0，φ所以f(π2故答案為：-3【點評】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)以及據(jù)圖求式問題的解題思路，屬于中檔題．10．（2024秋?唐縣校級期末）已知函數(shù)f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）的圖象向右平移π4個單位長度后，所得函數(shù)在[5π4，9π4]上至少存在兩個最值點，則實數(shù)ω的取值范圍是[54【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思維．【答案】[54，32]∪[74【分析】先求得圖象平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)所得函數(shù)在區(qū)間[5π4，9【解答】解：將f（x）＝Asinωx的圖象向右平移π4個所得函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式為g(則當T=即ω≥2時，g（x）在[5當0＜ω≤2時，ωx-π4ω∈[πω，解得14+k2≤ω≤-12+k當k＝2時，解得54≤ω≤32；當綜上，實數(shù)ω的取值范圍是[5故答案為：[5【點評】本題主要考查函數(shù)的圖像變換，屬于中檔題．11．（2025?沭陽縣校級模擬）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，其中A＞0，ω＞0，-π2＜φ＜0，若x2x【考點】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用圖象并結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷x1，x2的位置，再結(jié)合x2【解答】解：由函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象并結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，可得x1是離原點最近且使圖象上升的零點，x2是圖中離x1最近且使圖象下降的零點，則ωx1+φ＝0，ωx2+φ＝π，得到ωx1＝﹣φ，ωx2＝π﹣φ，因為ω＞0，則兩式相除得ωx因為x2所以π-φ-故答案為：-π【點評】本題考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想，屬于中檔題．12．（2024秋?黑龍江期末）已知函數(shù)f(x)=cos(ωx-π3)(ω＞0)，將f（x）的圖象向右平移π6個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）是偶函數(shù)，f（【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】4．【分析】將f（x）的圖象向右平移π6個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，可得ω滿足的表達式；又f（x）在（0，π）上恰有4個零點，求出ω的取值范圍．最終可得ω【解答】解：f(x)=cos(ωx-π3)(ω＞0)．將f（則g(x)=cos(則-ωπ6-π3=kπ，解得ω＝﹣6k﹣2（k∈Z），因為ω＞0，則﹣6k因為ω＞0，則ωπ-π3∈(-π3，ωπ-π3則7π2＜ωπ--4136≤k＜-3536，結(jié)合k＜-13，因為k故答案為：4．【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?如皋市期末）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移π6，再向上平移m（m＞0），得到函數(shù)g（x）的圖象．若對任意的x1，x2∈[-π6，π2]，都有【考點】由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】（1）f(x)=2（2）（4，+∞）．【分析】（1）由圖象結(jié)合正弦函數(shù)的周期，最值，單調(diào)遞減區(qū)間可得；（2）由圖象平移得到g（x），再將問題轉(zhuǎn)化為當x∈[-π6，π2]時，f（x）【解答】解：（1）由函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分圖象可得A可得ω=可得f（x）＝2sin（2x+φ），又f(可得π3又|φ可得φ=可得f(令2kπ+π可得單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ（2）g(由題意可得當x∈[-π6，π2]時，f（x）由x∈[-π6，π2]可，得2由x∈[-π6，π2]，可得2x可得2＜﹣2+m，解得m＞4，即實數(shù)m的取值范圍是（4，+∞）．【點評】本題考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．14．（2025?武威校級開學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝2sinx．（1）根據(jù)五點作圖法完善以下表格，并在如圖所示的直角坐標系中作出函數(shù)f（x）在[0，2π]的圖象；x0π2πy020（2）將y＝f（x）圖象上所有點向右平行移動π6個單位長度，再將得到的圖象上的各點橫坐標縮短為原來的12（縱坐標不變），得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，求g（x）的解析式，并寫出曲線y＝g（【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換；函數(shù)解析式的求解及常用方法；五點法作函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】（1）答案見解析；（2）g(x)=2sin(2【分析】（1）利用特殊點的三角函數(shù)值和五點法畫出函數(shù)圖象即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的平移寫出解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)及整體法求對稱中心即可．【解答】解：已知函數(shù)f（x）＝2sinx，（1）列表得：x0π2π3π2πy020﹣20再描點，得圖象如下，（2）將y＝f（x）圖象上所有點向右平行移動π6個單位長度，得到y(tǒng)=2sin再將其各點橫坐標縮短為原來的12（縱坐標不變），得到y(tǒng)=2sin故g（x）的解析式為g(由2x-π6=kπ(k∈Z)，解得x【點評】本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)及整體法求對稱中心，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025?岳麓區(qū)校級開學(xué)）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為(π4，0)，將函數(shù)f（x）圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移π2個單位長度后得到函數(shù)g（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；（2）當x∈（0，2π）時，求方程f（x）g（x）＝2f（x）+g（x）解的個數(shù)；（3）求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F（x）＝f（x）+ag（x）在區(qū)間（0，nπ）內(nèi)恰有2025個零點．【考點】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換；函數(shù)與方程的綜合運用．【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解．【答案】（1）f（x）＝cos2x；g（x）＝sinx；（2）3；（3）a＝±1，n＝1350．【分析】（1）先根據(jù)周期及對稱中心得出f（x）＝cos2x，再根據(jù)平移伸縮得出g（x）；（2）化簡計算求參得出sinx=t=1（3）應(yīng)用函數(shù)的周期性及函數(shù)的零點列方程計算求解．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，∴ω=又曲線y＝f（x）的一個對稱中心為(π4，0)，∴f（x）＝cos2x．將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y＝cosx的圖象，再將y＝cosx的圖象向右平移π2個單位長度后得到函數(shù)g(x∴g（x）＝sinx．（2）當x∈（0，2π）時，所求為方程sinxcos2x＝sinx+2cos2x在區(qū)間（0，2π）內(nèi)解的個數(shù)．代入cos2x＝1﹣2sin2x，并記t＝sinx，問題化為t（1﹣2t2）＝t+2（1﹣2t2），即2t3﹣4t2+2＝2（t﹣1）（t2﹣t﹣1）＝0，解得sinx=t=1在x∈（0，2π）內(nèi)分別有1個，0個，2個解，即所求解的個數(shù)為3個．（3）依題意，F(xiàn)（x）＝asinx+cos2x，令F（x）＝asinx+cos2x＝0，當sinx＝0，即x＝kπ（k∈Z）時，cos2x＝1，從而x＝kπ（k∈Z）不是方程F（x）＝0的解，∴方程F（x）＝0等價于方程a=令h(y＝sinx的圖象在區(qū)間（0，π）內(nèi)關(guān)于直線x=π2對稱，則h（x）的圖象在區(qū)間（0，πh(π2)=1，則a≠1時，直線y＝a與曲線y＝h（x）在區(qū)間（0，y＝sinx的圖象在區(qū)間（π，2π）內(nèi)關(guān)于直線x=3π2對稱，則h（x）的圖象在區(qū)間（π，2h(3π2)=-1，則a≠﹣1時，直線y＝a與曲線y＝h（x）在區(qū)間（π，由函數(shù)h（x）的周期性，可知當a≠±1時，直線y＝a與曲線y＝h（x）在區(qū)間（0，nπ）內(nèi)總有偶數(shù)個交點，從而不存在正整數(shù)n，使得直線y＝a與曲線y＝h（x）在區(qū)間（0，nπ）內(nèi)恰有2025個零點；由單調(diào)區(qū)間h（x），當a＝1或a＝﹣1時，直線y＝a與曲線y＝h（x）在（0，π）∪（π，2π）內(nèi)有3個交點（在兩個區(qū)間內(nèi)為1+2或2+1個），由周期性，2025＝3×675，∴n＝675×2＝1350．綜上，當a＝±1，n＝1350時，函數(shù)F（x）＝f（x）+ag（x）在區(qū)間（0，nπ）內(nèi)恰有2025個零點．【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，以及變換，解題的關(guān)鍵點是對三角函數(shù)周期性及對稱性的應(yīng)用，屬于難題．

考點卡片1．函數(shù)解析式的求解及常用方法【知識點的認識】通過求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的過程就是函數(shù)的解析式的求解．求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等等．【解題方法點撥】常常利用函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的圖象特征，例如二次函數(shù)的對稱軸，函數(shù)與坐標軸的交點等；利用函數(shù)的解析式的求解方法求解函數(shù)的解析式，有時利用待定系數(shù)法．【命題方向】求解函數(shù)解析式是高考重點考查內(nèi)容之一，在三角函數(shù)的解析式中?？迹腔A(chǔ)題．2．正弦函數(shù)的圖象【知識點的認識】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）時，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+π2，k對稱中心：（kπ+π2，0）（k∈對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（kπ2，0）（k∈Z無對稱軸周期2π2ππ3．正弦函數(shù)的定義域和值域【知識點的認識】三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法1．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．2．求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見類型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解．4．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識點的認識】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．5．正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性【知識點的認識】正弦函數(shù)的對稱性正弦函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點對稱，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數(shù)具有周期性，其對稱軸為x＝kπ+π2，k∈【解題方法點撥】例：函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為x＝x=kπ解：由于函數(shù)y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x=2而函數(shù)y＝sint的對稱軸為t則2x-π4=kπ+則函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為x故答案為x=這個題很有代表性，一般三角函數(shù)都是先化簡，化成一個單獨的正弦或者余弦函數(shù)，然后把2x-π【命題方向】這個考點非常重要，也很簡單，大家熟記這個公式，并能夠理解運用就可以了．6．五點法作函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象【知識點的認識】1．五點法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的簡圖找五個關(guān)鍵點，分別為使y取得最小值、最大值的點和曲線與x軸的交點．其步驟為：（1）先確定周期T=2πω（2）令X＝ωx+φ，令X分別取0，π2，π，3π2，2πx-φ-π-3π2πωx+φ0ππ3π2πy＝Asin（ωx+φ）0A0﹣A0由此可得五個關(guān)鍵點；（3）描點畫圖，再利用函數(shù)的周期性把所得簡圖向左右分別擴展，從而得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的簡圖．2．振幅、周期、相位、初相當函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一個振動量時，則A叫做振幅，T=2πω叫做周期，f=1T叫做頻率，ωx函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為2π|ω|，y＝Atan（ωx+φ）的【解題方法點撥】1．一個技巧列表技巧：表中“五點”中相鄰兩點的橫向距離均為T42．兩個區(qū)別（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M（2）由y＝sinx變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是|φ|ω（ω＞0）個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于3．三點提醒（1）要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象；（2）要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；（3）由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）