初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專(zhuān)題28 整體與完形

專(zhuān)題28整體與完形

閱讀與思考

許多幾何問(wèn)題，常因圖形復(fù)雜、不規(guī)則而給解題帶來(lái)困難，這些復(fù)雜、不規(guī)則的圖形，從整體考慮，

可看作某種圖形的一部分，如果將它們補(bǔ)充完整，就可得到常見(jiàn)的特殊圖形，那么就能利用特殊圖形的

特殊性質(zhì)轉(zhuǎn)化問(wèn)題，這就是解幾何問(wèn)題的補(bǔ)形法，常見(jiàn)的補(bǔ)形方法有：

1.將原圖形補(bǔ)形為最能體現(xiàn)相關(guān)定理、推論、公理的基本圖形；

2.將原圖形補(bǔ)形為等腰三角形、等邊三角形、直角三角形等特殊三角形；

3.將原圖形補(bǔ)形為平行四邊形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下圖形：

例題與求解

【例1】如圖，已知CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠E＝800，∠C＝1240，則∠AFE＝

_________度.(北京市競(jìng)賽試題)

解題思路：有平行的條件，不妨將六邊形補(bǔ)形為較為規(guī)整的平行四邊形.

aab

【例2】設(shè)a,b,c分別是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足，則它的內(nèi)角∠A、∠B的關(guān)系

babc

是（）.

A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不確定

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

解題思路：從化簡(jiǎn)已知等式入手，并補(bǔ)出相應(yīng)的圖形.

【例3】如圖1，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別

1

為F，G，連結(jié)FG，延長(zhǎng)AF，AG，與直線BC相交，易證FGABBCAC.

2

若（1）BD，CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線（如圖2）；（2）BD為∠ABC的內(nèi)角平分線；（3）CE

為△ABC的外角平分線（如圖3），則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明.

（黑龍江省中考試題）

解題思路：既有平分線又有垂線，聯(lián)想到等腰三角形性質(zhì)，考慮將圖形補(bǔ)成等腰三角形.

00

【例4】如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝135，∠BCD＝120，AB＝6，BC＝53，

CD＝6，求AD的長(zhǎng).（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

解題思路：由于四邊形ABCD是一般四邊形，所以直接求AD比較困難，應(yīng)設(shè)法將AD轉(zhuǎn)化為特殊

三角形的邊.

例題例題

4圖5圖

【例】如圖，凸八邊形中，∠＝∠∠＝∠∠＝∠∠＝

5A1A2A3...A8A1A5，A2A6，A3A7，A4

∠試證明：該凸八邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到條邊的距離之和是一個(gè)定值

A8，8.

（山東省競(jìng)賽試題）

解題思路：本例是一個(gè)幾何定值證明問(wèn)題，關(guān)鍵是將八邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形問(wèn)題來(lái)解決，

若連結(jié)對(duì)角線，則會(huì)破壞一些已知條件，應(yīng)當(dāng)考慮向外補(bǔ)形.

1

【例6】如圖，在△ABC中，∠ABC＝450，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADC＝600，且BDCD.將△

2

ACD以直線AD為軸作軸對(duì)稱(chēng)變換，得到△ACD，連結(jié)BC.

(1)證明：BC⊥BC;

(2)求∠C的大小.

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽天津賽區(qū)初賽試題）

解題思路：本題分別考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及軸對(duì)稱(chēng)的性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)與判定構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)即

可解決問(wèn)題.

能力訓(xùn)練

0

1.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90，AB＝AD，若這個(gè)四邊形的面積為12，則BC＋CD＝

_____________.（山東省競(jìng)賽試題）

2.如圖，凸五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝1200，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，則這個(gè)五邊形

的面積為_(kāi)______________.

（美國(guó)AHSME試題）

3.如圖，一個(gè)凸六邊形六個(gè)內(nèi)角都是1200，其中連續(xù)四條邊的長(zhǎng)依次為1,9,9,5，則該六邊形的周長(zhǎng)

為_(kāi)_____________.

4.如圖，ABCDEF是正六邊形，M，N分別是邊CD，DE的中點(diǎn)，線段AM與BN相交于P，則

BP

＝_________.（浙江省競(jìng)賽試題）

PN

5.如圖，長(zhǎng)為2的三條線段AA,BB,CC交于O點(diǎn)，并且∠BOA＝∠COB＝∠AOC＝600，

則三個(gè)三角形的面積和（填“＜”，“＝”，或“＞”）

S1S2S3__________3.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

00

6.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，BC＝2，CD＝3，則AB＝().

83

A.4B.5C.23D.

3

（廣西壯族自治區(qū)中考試題）

7.如圖，在△ABC中，M為BC中點(diǎn)，AN平分∠A，AN⊥BN于N，且AB＝10，AC＝16，則MN

等于（）.

A.2B.2.5C.3D.3.5

如圖，在四邊形中，＝，∠＝∠＝0⊥于，，則

8.ABCDABBCABCCDA90，BEADES四邊形ABCD8

BE的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.3D.22

00

9.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝42，BC＝1，CD＝3，∠B＝135，∠C＝90，則∠D等

于（）

A.600B.67.50C.750D.條件不夠，無(wú)法求出

（重慶市競(jìng)賽試題）

00

10.如圖，在△ABC中，E是AC中點(diǎn)，D是BC邊上一點(diǎn)，若BC＝1，∠ABC＝60，∠BAC＝100，

∠＝0，求的值

CED80SABC2SCDE.

11.如圖，設(shè)c是RtABC的斜邊長(zhǎng)，a,b是直角邊，求證：ab2c.

（加拿大中學(xué)生競(jìng)賽試題）

12.如圖，已知八邊形ABCDEFGH所有的內(nèi)角都相等，而且邊長(zhǎng)都是整數(shù).求證：這個(gè)八邊形的對(duì)邊

相等.

ANAM

13.如圖，設(shè)P為△ABC