初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級專題25配方法

專題25配方法

閱讀與思考

把一個(gè)式子或一個(gè)式子的部分寫成完全平方式或者幾個(gè)完全平方式的和的形式，這種方

法叫配方法，配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧.

配方法的作用在于改變式子的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實(shí)質(zhì)在于揭

示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.

配方法解題的關(guān)鍵在于“配方”，恰當(dāng)?shù)摹安稹迸c“添”是配方常用的技巧，常見的等

式有：

1、a22abb2(ab)2

2、a2abb(ab)2

3、a2b2c22ab2bc2ca(abc)2

1

4、a2b2c2abbcac[(ab)2(bc)2(ac)2]

2

配方法在代數(shù)式的求值，解方程、求最值等方面有較廣泛的應(yīng)用，運(yùn)用配方解題的關(guān)鍵

在于：

(1)具有較強(qiáng)的配方意識，即由題設(shè)條件的平方特征或隱含的平方關(guān)系，如a(a)2能

聯(lián)想起配方法.

(2)具有整體把握題設(shè)條件的能力，即善于將某項(xiàng)拆開又重新分配組合，得到完全平方式.

例題與求解

【例1】已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足xy5,z2xyy9，那么x2y3z_____

(“祖沖之杯”邀請賽試題)

解題思路：對題設(shè)條件實(shí)施變形，設(shè)法確定x，y的值.

【例2】若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2b2c29，則代數(shù)式(ab)2(bc)2(ca)2的

最大值是()

A、27B、18C、15D、12

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：運(yùn)用乘法公式，將原式變形為含常數(shù)項(xiàng)及完全平方式的形式.

配方法的實(shí)質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，而非負(fù)數(shù)有以下重要性質(zhì)；

(1)非負(fù)數(shù)的最小值為零；

(2)有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為零.

1

【例3】已知ab2a14b23c3c5，求a+b+c的值.

2

解題思路：題設(shè)條件是一個(gè)含三個(gè)未知量的等式，三個(gè)未知量，一個(gè)等式，怎樣才能確

定未知量的值呢？不妨用配方法試一試.

復(fù)合根式的化簡，含多元的根式等式問題，常常用到配方法.

【例4】證明數(shù)列49，4489，444889，44448889，…的每一項(xiàng)都是一個(gè)完全平方數(shù).

解題思路：4972,4489672,4448896672,4444888966672，由此可猜想

2，只需完成從左邊到右邊的推導(dǎo)過程即可

44448889(66661).

n1n

幾個(gè)有趣的結(jié)論：

2

(1)444488889(66661)

n1nn

2

(2)111155556(33331)

n1nn

這表明：只出現(xiàn)1個(gè)奇數(shù)或只出現(xiàn)1個(gè)偶數(shù)的完全平方數(shù)分別有無限多個(gè).

【例5】一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2

層至第33層中某一層停一次，對于每個(gè)人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走

一層樓梯感到3分不滿意，現(xiàn)在有32個(gè)人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一

層，問：電梯停在哪一層時(shí)，可以使得這32個(gè)人不滿意的總分達(dá)到最??？最小值是多少？（有

些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：通過引元，把不滿意的總分用相關(guān)字母的代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是對這個(gè)

代數(shù)式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐浞剑M(jìn)而求出代數(shù)式的最小值.

把代數(shù)式通過湊配等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)達(dá)到

增加問題條件的目的，這種解題方法叫配方法.

配方法的作用在于改變代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實(shí)質(zhì)在于

揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.

【例6】已知自然數(shù)n使得n219n91為完全平方數(shù)，求n的值.

(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：原式中n的系數(shù)為奇數(shù)，不能直接配方，可想辦法化奇為偶，解決問題.

能力訓(xùn)練

1、計(jì)算10+83+22=_________.

(“希望杯”邀請賽試題)

2、已知a2b2c22(abc)30，則a3b3c33abc_________.

y2

3、x，y為實(shí)數(shù)，且x24xy2y，則x+y的值為__________.

2

4、當(dāng)x＞2時(shí)，化簡代數(shù)式x2x1x2x1，得___________.

5、已知m4x212xy10y24y9，當(dāng)x=________，y=______時(shí)，m的值最小.

(全國通訊賽試題)

6、若M10a2b27a6,Na2b25a1，則M－N的值()

A、負(fù)數(shù)B、正數(shù)C、非負(fù)數(shù)D、可正可負(fù)

7、計(jì)算14651465的值為()

A、1B、5C、25D、35

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

8、設(shè)a，b,c為實(shí)數(shù)，xa22b,yb22c,zc22a，則x，y，z中

362

至少有一個(gè)值()

A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零

(全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)

9、下列代數(shù)式表示的數(shù)一定不是某個(gè)自然數(shù)的平方(其中n為自然數(shù))的是()

A、3n23n3B、4n24n4C、5n25n5

D、7n27n7E、11n211n11

10、已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a22b7,b22c1,c26a17，則a+b+c的值等

于()

A、2B、3C、4D、5

(河北省競賽試題)

解“存在”、“不存在”“至少存在一個(gè)”等形式的問題時(shí)，常從整體考慮并經(jīng)常用到一下

重要命題：

設(shè)x1，x2，x3,…xn為實(shí)數(shù).

若則，，…中至少有或存在一個(gè)為零；

(1)x1x2xn0x1x2x3,xn()

若，則，，，…中至少有或存在一個(gè)大于零；

(2)x1x2xn0x1x2x3xn()

若，則，，，…中至少有或存在一個(gè)小于零

(3)x1x2xn0x1x2x3xn().

2z2

x2

1z

2x2

、解方程組(蘇州市競賽試題)

11y2

1x

2y2

z2

1y

12、能使2n256是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為多少？

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

a

13、已知ab，且(ab)(aabb)243，a，b為自然數(shù)，求a，b的值.

b

(天津市競賽試題)

13、設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且9(2ab)2509(4a511b)，求a，b的值.

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

14、某賓館經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每周該賓館入住的房間數(shù)y與房間單價(jià)x之間存在如圖所示的一

次函數(shù)關(guān)系.

(1)根據(jù)圖象求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(0＜x＜160)；

(2)從經(jīng)濟(jì)效益來看，你認(rèn)為該賓館如何制定房間單價(jià)，能使其每周的住宿收入最高？每周

最高住宿收入是多少元？

y間數(shù)（個(gè)）

990

540

050100x

單價(jià)（元）

專題25配方法

例110提示：代入，然后配方.

x=5-y

例2A提示：原式=

例3a+b+c=20提示：將等式整理，得

即=0

例4原式=+1=++1=4+8+1=4

2

2

11119111118111113611111211111611111

n1n1n1n1n1

n1

例5已知，這32個(gè)人恰好是第2至第33層各住1人，對于每個(gè)乘電梯上、的人，他所住的

層數(shù)一定不小于直接上樓的人所住的層數(shù)，事實(shí)上，設(shè)住S層的人乘電梯，而住t層的人直接

上樓，S＜t，交換兩人的上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分減少.

設(shè)電梯停在第x層，在第一層有y人沒有乘電梯而直接上樓，那么不滿意總分為：

S31233x312y12xy2

333x34x3yy1xy2xy1

=

222

=2x2y102x2y23y1684

2

y10212

=2x15y180y3068

48

2

y10212

=2xy6316316

48

又當(dāng)x=27，y=6時(shí)，S最小值=316.

故當(dāng)電梯停在第27層時(shí)，總分最小，最小值為316分.

例6若n219n91為完全平方數(shù)，則4n219n91也是完全平方數(shù).

2

設(shè)4n219n91=m2（m為自然數(shù)）配方得2n193=m2，

∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3

m2n19=3m2n19=1m=2m=2

于是或解得：或

m2n19=1m2n19=3n=10n=10

故當(dāng)n=9或10時(shí)n219n91是完全平方數(shù).

能力訓(xùn)練

1.422.03.64.2x15.-3，-2,56.B7.C

222

8.A提示：xyz=a1b1c13大于0.

9.B提示：取n=2和3可否定A、C、D、E，而4n24n4=4n2n1，

2

n2n2n1n1，故n2n1不是完全平方數(shù).10.B

11.（x，y，z）=（0,0,0）或（1,1,1）提示：取倒數(shù).

2

a=1b2=01+a2b2

12.提示：當(dāng)n<8時(shí)，，若它是完全平方數(shù)，則n必為偶數(shù).

a2b2=m

若n=2，則2n2562265；若n=4，則2n2562417；若n=6，則2n256265；若

n=8，則2n256282.所以當(dāng)n8時(shí)，2n256都不是完全平方數(shù).

當(dāng)n>8時(shí)，2n25628(2n81)，若它是完全平方數(shù)，則2n81為一奇數(shù)的平方，設(shè)

2

2n812k1（k為自然數(shù)），則2n101kk1，由于k和k+1一奇一偶，∴k=1，于

是2n102，故n=11.

2a54a24

13.提示：設(shè)a=kb（k為正整數(shù)），則kb12432732392，解得或