初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專(zhuān)題26 奇偶分析

專(zhuān)題26奇偶分析

閱讀與思考

整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)，一個(gè)整數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，因此奇偶性是一個(gè)整數(shù)的固有屬

性，即奇數(shù)≠偶數(shù)．

由于奇偶性是整數(shù)的固有屬性，因此可以說(shuō)奇偶性是整數(shù)的一種不變性，通過(guò)分析整數(shù)的奇偶性

來(lái)解決問(wèn)題的方法叫奇偶分析．

運(yùn)用奇偶分析解題，常常要用到奇數(shù)和偶數(shù)的基本性質(zhì)：

1.奇數(shù)≠偶數(shù).

2.奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)

的和為偶數(shù)，若干個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù).

3.若干個(gè)奇數(shù)之積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù).

4.若a是整數(shù)，則a與a，a，an（n為自然數(shù)）有相同的奇偶性.

5.設(shè)a，b是整數(shù)，則ab，ab，ab，ab都有相同的奇偶數(shù).

6.偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1.

例題與求解

【例1】數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列規(guī)律是：前兩個(gè)數(shù)是1，從第三個(gè)數(shù)

開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)的和，這個(gè)數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列的前2004個(gè)數(shù)中

共有____個(gè)偶數(shù)．

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

解題思路：本例關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的各項(xiàng)奇偶性的規(guī)律.

【例2】如果a，b，c都是正整數(shù)，且a，b是奇數(shù)，則3a(b1)2c是().

A．只當(dāng)c為奇數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)

B．只當(dāng)c為偶數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)

C．只當(dāng)c為3的倍數(shù)時(shí)，其值為奇數(shù)

D．無(wú)論c為任意正整數(shù)時(shí)，其值均為奇數(shù)

（五城市聯(lián)賽試題）

解題思路：直接運(yùn)用奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)作出選擇．

【例3】能否找到自然數(shù)a和b，使a22002b2.

（“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：假設(shè)存在自然數(shù)a和b，使等式成立，則(ab)(ab)2002，從ab，ab的奇偶

性展開(kāi)推理．

【例4】在6張紙片的正面分別寫(xiě)上整數(shù)1，2，3，4，5，6，打亂次序后，將紙片翻過(guò)來(lái)，在它

們的反面也隨意寫(xiě)上1~6這6個(gè)整數(shù)，然后計(jì)算每張紙片正面與反面所寫(xiě)數(shù)字之差的絕對(duì)值，得出6個(gè)

數(shù)，請(qǐng)你證明：所得的6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的.

（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：從反面入手，即設(shè)這6個(gè)數(shù)兩兩都不相等，利用aibi與aibici=1，2，3，4，5，6

的奇偶性相同，引入字母進(jìn)行推理證明.

【例5】表甲是一個(gè)英文字母電子顯示盤(pán)，每一次操作可以使某一行4個(gè)字母同時(shí)改變，或者使某一列

4個(gè)字母同時(shí)改變，改變的規(guī)則是：按照英文字母表的順序，每個(gè)英文字母變成它下一個(gè)字母（即A變

成B，B變成C…最后字母Z變成A）.問(wèn)：能否經(jīng)過(guò)若干次操作，使表甲變成表乙？如果能，請(qǐng)寫(xiě)出變

化過(guò)程，如不能，說(shuō)明理由.

SOBRKBDS

TZEPHEXG

HOCNRTBS

ADVXCFYA

表甲表乙

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：表甲與表乙看上去沒(méi)有規(guī)律，似乎不太容易將表甲變?yōu)楸硪遥梢栽囈辉嚕词欠衲?/p>

成功？如果是不能，就應(yīng)找出不能的理由，解題的關(guān)鍵是如何將問(wèn)題“數(shù)字化”，挖掘操作變化過(guò)程中

的不變量或不變性.

【例6】設(shè)x1，x2，…xn為＋1或－1，并且x1x2x3x4x2x3x4x5x3x4x5x6xn3xn2xn1xn

xn2xn1xnx1xn1xnx1x2xnx1x2x30.證明n能被4整除.

解題思路：應(yīng)用整數(shù)的奇偶性解題，常需變化角度去考察問(wèn)題，從而化難為易．

能力訓(xùn)練

1．若按奇偶分類(lèi)，則11223320112011是______數(shù).

2．已知a是質(zhì)數(shù)，b是奇數(shù)，且a2b2001，則ab_______.

（江蘇省競(jìng)賽試題）

3．若質(zhì)數(shù)m，n滿(mǎn)足5m7n129，則mn的值為_(kāi)___________.

（河北省競(jìng)賽試題）

4．在12，22，32，…，952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____________個(gè).

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

5．將1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和

都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么，滿(mǎn)足要求的排法有()種.

A.2B.3C.4D.5

6．設(shè)a，b為整數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論

（1）若a5b是偶數(shù)，則a3b是偶數(shù)

（2）若a5b是偶數(shù)，則a3b是奇數(shù)

（3）若a5b是奇數(shù)，則a3b是偶數(shù)

（4）若a5b是奇數(shù)，則a3b是奇數(shù)

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()．

A.0B.2C.4D.1或3

（“五羊杯”競(jìng)賽試題）

abbcca

7．如果a，b，c是三個(gè)任意整數(shù)，那么，，()．

222

A.都不是整數(shù)B.至少有兩個(gè)是整數(shù)

C.至少有一個(gè)是整數(shù)D.都是正數(shù)

（“T1杯”全國(guó)競(jìng)賽試題）

8．將1000到1997這998個(gè)自然數(shù)任意排成一行，然后依次地求出三個(gè)相鄰數(shù)的和，在這些和中，

奇數(shù)的個(gè)數(shù)至多有()．

A.499個(gè)B.496個(gè)C.996個(gè)D.995個(gè)

9．設(shè)a1，a2，…a1999是1，2，3，…，1999的一個(gè)排列，求證：(a11)(a22)(a19991999)

為偶數(shù).

10．在黑板上記上數(shù)1，2，3，…，1974，允許擦去任意兩個(gè)數(shù)，且寫(xiě)上它們的和或差.重復(fù)這樣

的操作手續(xù)，直至在黑板上留下一個(gè)數(shù)為止.求證：這個(gè)數(shù)不可能為零．

（數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）

11．你能找到三個(gè)整數(shù)a，b，c，使得關(guān)系式(abc)(abc)(abc)(bca)3388成

立嗎？如果能找到，請(qǐng)舉一例；如果找不到，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽