初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級專題04初識非負數(shù)（解析版）

專題4初識非負數(shù)

閱讀與思考

絕對值是初中代數(shù)中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學(xué)習(xí)的

算術(shù)根可以有進一步的理解；絕對值又是初中代數(shù)中的一個基本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡、

解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應(yīng)注意以下幾個方面：

1.去絕對值符號法則

aa0

a0a0

aa0

2.絕對值的幾何意義

從數(shù)軸上看，a即表示數(shù)a的點到原點的距離，即a代表的是一個長度，故a表示一個非負數(shù)，

ab表示數(shù)軸上數(shù)a、數(shù)b的兩點間的距離.

3.絕對值常用的性質(zhì)

2aa

①a0②a2aa2③abab④b0

bb

⑤abab⑥abab

例題與求解

【例1】已知a5,b3，且abba，那么ab.

（祖沖之杯邀請賽試題）

解題思路：由已知求出a、b的值，但要注意條件abba的制約，這是解本題的關(guān)鍵.

1010

【例2】已知a、b、c均為整數(shù)，且滿足abac1，則abbcca（）

A.1B.2C.3D.4

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

1010

解題思路：ab≥0，ac≥0，又根據(jù)題中條件可推出ab，ac中一個為0，一個為

1.

【例】已知＋＋＋…＋＋＝，求代數(shù)式

3x11x22x33x20022002x200320030

2x12x22x3…－2x20022x2003的值.

解題思路：運用絕對值、非負數(shù)的概念與性質(zhì)，先求出…，的值，注意n1n

x1,x2,x3,x2002,x200322

的化簡規(guī)律.

abcabacbcabc

【例4】設(shè)a、b、c是非零有理數(shù)，求的值.

abcabacbcabc

解題思路：根據(jù)a、b、c的符號的所有可能情況討論，化去絕對值符號，這是解本例的關(guān)鍵.

（希望杯邀請賽試題）

【例】設(shè)是六個不同的正整數(shù)，取值于，，，，，.

5x1,x2,x3,x4,x5,x6123456

記，求的最小值.

S|x1x2||x2x3||x3x4||x4x5||x5x6||x6x1|S

（四川省競賽試題）

解題思路：利用絕對值的幾何意義建立數(shù)軸模型.

【例6】已知(ab)2b5b5，且2ab10，求ab的值.

（北京市迎春杯競賽試題）

解題思路：由2ab10知2ab10，即b2a1，代入原式中，得

(3a1)22a42a4，再對3a1的取值，分情況進行討論.

A級

1.若m,n為有理數(shù)，那么，下列判斷中：

（1）若mn，則一定有mn；

（2）若mn，則一定有mn；

（3）若mn，則一定有mn；

（4）若mn，則一定有m2(n)2；正確的是.（填序號）

mnp2mnp

2.若有理數(shù)m,n,p滿足1，則.

mnp2mnp

3.若有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)的位置如下圖所示，則c1acab化簡后的結(jié)果

是.

4.已知正整數(shù)a,b滿足b2b20，abab0，且ab，則ab的值是.

（四川省競賽試題）

2

5.已知a1,b2,c3,且abc，那么abc.

6.如圖，有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示：

則在ab,b2a,ba,ab,a2,b4中，負數(shù)共有（）

A．3個B．1個C．4個D．2個

（湖北省荊州市競賽試題）

7.若a8,b5，且ab0，那么ab的值是（）

A．3或13B．13或－13C．3或－3D．－3或－13

8.若m是有理數(shù)，則mm一定是（）

A．零B．非負數(shù)C．正數(shù)D．負數(shù)

9.如果x2x20，那么x的取值范圍是（）

A．x2B．x2C．x2D．x2

10.a,b是有理數(shù)，如果abab，那么對于結(jié)論（1）a一定不是負數(shù)；（2）b可能是負數(shù)，其中

（）

A．只有（1）正確B．只有（2）正確

C．（1）（2）都正確D．（1）（2）都不正確

（江蘇省競賽試題）

abbcca

11.已知a,b,c是非零有理數(shù)，且abc0，求的值.

abbcca

12.已知a,b,c,d是有理數(shù)，ab9,cd16，且abcd25，求badc的值.

（希望杯邀請賽試題）

B級

x5x2x

1.若2x5，則代數(shù)式的值為.

x52xx

21111

2.已知a1ab20，那么的值

ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a2002)(b2002)

為.

3.數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，且a12，則3a7.

（重慶市競賽試題）

abab

4.若ab0，則的值等于

abab

（五城市聯(lián)賽試題）

1

5.已知(x5)2y2y60，則y2xyx2x3.

5

（希望杯邀請賽試題）

6.如果0p15，那么代數(shù)式xpx15xp15在p≤x≤15的最小值（）

A.30B.0C.15D.一個與p有關(guān)的代數(shù)式

aa

7.設(shè)k是自然數(shù)，且kab0，則12等于（）

bb

32

A.3B.2C.3D.2

kk

（創(chuàng)新杯邀請賽試題）

8.已知0a4，那么a23a的最大值等于（）

A．1B．5C．8D．9

（希望杯邀請賽試題）

abcabc

9.已知a,b,c都不等于零，且x，根據(jù)a,b,c的不同取值，x有（）

abcabc

A．唯一確定的值B．3種不同的值C．4種不同的值D．8種不同的值

10.滿足abab成立的條件是（）

A．a(chǎn)b0B．a(chǎn)b1C．a(chǎn)b0D．a(chǎn)b1

（湖北省黃岡市競賽試題）

abc

11.有理數(shù)a,b,c均不為0，且abc0，設(shè)x，試求代數(shù)式

bccbab

x1999x2000的值.

（希望杯邀請賽訓(xùn)練題）

專題04初識非負數(shù)

例1－2或－8

例2B提示：｜a－b｜，｜a－c｜中必有一個為0，一個為1，不妨設(shè)｜a－b｜＝0，｜a－c｜＝1，

則a＝b，｜b－c｜＝1，原式＝0＋1＋1＝2．

232002200320032002

例36提示：由題意得x1＝1，x2＝1，…，x2003＝2003，原式＝2－2－2－…－2－2＝2－2

－…－23－22＋2＝22002（2－1）－22001－…－22＋2＝22002－22001－…－22＋2＝…＝24－23－22＋2＝

23（2－1）－22＋2＝23－22＋2＝6．

例4－1或7提示：分下列四種情形討論：

（1）若a，b，c均為正數(shù)，則ab>0，ac>0，bc>0，原式＝＝7；

（2）若a，b，c中恰有兩個正數(shù)，不失一般性，可設(shè)a>0，b>0，c<0，則ab>0，ac<0，bc<0，abc<0，

則原式＝－1；

（3）若a，b，c中只有一個正數(shù)，不失一般性，可設(shè)a>0，b<0，c<0，則ab<0，ac<0，bc>0，abc>0，

則原式＝－1；

（4）若a，b，c均為負數(shù)，則ab>0，bc>0，ac>0，abc<0，原式＝－1．

例5根據(jù)絕對值的幾何意義，題意可理解為“從數(shù)軸上點1出發(fā)，每次走一個整點，分別到達點2，點

3，點4，點5，點6，最后回到點1，最少路程為多少?”為避免重復(fù)，從左到右走到6，再從右到左

走到1為最短路線，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5，x6＝6，則S＝1＋1＋1＋1＋1＋5＝10，

（也可以取x1＝1，x2＝4，x3＝6，x4＝5，x5＝3，x3＝2）．

例6根據(jù)｜2a－b－1｜＝0知2a－b－1＝0，即b＝2a－1．代人原式中，得（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝

2a＋4．對3a－1的取值分情況討論為：

1

（1）當3a－1＞0，即a＞時，∵（3a－1）2＞0，｜2a＋4｜＞0，2a＋4＞0．∴（3a－1）2＋｜2a＋4｜

3

＞2a＋4，矛盾．

1

（2）當3a－1＜0，即a＜時，①若2a＋4≤0，而（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞0，矛盾．②若2a＋4＞0，

3

則（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．

11

（3）當3a－1＝0，即a時，（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4成立，得b＝－．

33

111

綜上可知a＝，b＝－，ab＝－．

339

A級

2

1．（4）2．－

3

3．1－2c＋b提示：－1<c<0<a<b∴c－1<0，a－c>0，a－b<0．∴原式＝1－c＋a－c＋b－a＝1－2c

＋b．

4．2提示：原式變形為｜b－2｜＝2－b，｜a－b｜＝b－a．

∴b－2≤0，a－b≤0．又∵a≠b，∴a<b≤2．又∵a，b為正整數(shù)，故a＝1，b＝2．

5．46．A7．A8．B9．D10．A

11．－1提示：a，b，c中不能全為正值，也不能全為負數(shù)，只能是一正二負或二正一負，原式值都為

－1．

12．∵｜a－b｜<9，｜c－d｜≤16，故｜a－b｜＋｜c－d｜<25．

又∵25＝｜a－b－c＋d｜＝｜(a－b)＋(d－c)｜≤｜a－b｜＋｜c－d｜<25，∴｜a－b｜＝9，｜c－d｜

＝16，故原式＝9－16＝－7．

B級

2003

1．12．3．24．1或－35．－94

2004

6．C提示：利用絕對值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸進行分析，當