2024年天津高考數(shù)學(xué)真題【含答案】

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2024年天津高考數(shù)學(xué)真題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（

）A． B．C． D．4．下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（

）A． B． C． D．5．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．6．已知是兩條直線，是一個(gè)平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．已知函數(shù)的最小正周期為．則在區(qū)間上的最小值是（

）A． B． C．0 D．8．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在雙曲線右支上，直線的斜率為2．若是直角三角形，且面積為8，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．9．在如圖五面體中，棱互相平行，且兩兩之間距離均為1．若．則該五面體的體積為（

）A． B． C． D．二、填空題10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．11．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為．12．已知圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，且兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為，則原點(diǎn)到直線的距離為．13．某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為；已知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為．14．已知正方形的邊長(zhǎng)為1，若，其中為實(shí)數(shù)，則；設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為．15．設(shè)，函數(shù).若恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．三、解答題16．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．17．如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．18．已知橢圓的離心率為．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)（O為原點(diǎn)），的面積為．(1)求橢圓的方程．(2)過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立．若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知為公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)數(shù)列滿足，其中．（?。┣笞C：當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．20．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的值；(3)若，求證：．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《2024年天津高考數(shù)學(xué)真題》參考答案題號(hào)123456789答案BCABDCDAC1．B【分析】根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所以，故選：B2．C【分析】說(shuō)明二者與同一個(gè)命題等價(jià)，再得到二者等價(jià)，即是充分必要條件.【詳解】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和都當(dāng)且僅當(dāng)，所以二者互為充要條件.故選：C.3．A【分析】由點(diǎn)的分布特征可直接判斷【詳解】觀察4幅圖可知，A圖散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，值相比于其他3圖更接近1.故選：A4．B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，但，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對(duì)C，設(shè)，，，則不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)?，且不恒?，則不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.5．D【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，所以，故選：D6．C【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于A，若，，則平行或相交，不一定垂直，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，若，則或，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，過(guò)作平面，使得，因?yàn)?，故，而，故，故，故C正確.對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.7．D【分析】結(jié)合周期公式求出，得，再整體求出當(dāng)時(shí)，的范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，故選：D8．A【分析】可利用三邊斜率問(wèn)題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【詳解】如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，由，求得，因?yàn)椋?，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：A9．C【分析】采用補(bǔ)形法，補(bǔ)成一個(gè)棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【詳解】用一個(gè)完全相同的五面體（頂點(diǎn)與五面體一一對(duì)應(yīng)）與該五面體相嵌，使得；;重合，因?yàn)?，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個(gè)三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，.故選：C.10．【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】.故答案為：.11．20【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)分析求解即可.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：20.12．/【分析】先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點(diǎn)到直線的距離.【詳解】圓的圓心為，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即，故原點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：13．【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.【詳解】解法一：列舉法給這5個(gè)項(xiàng)目分別編號(hào)為,從五個(gè)活動(dòng)中選三個(gè)的情況有：,共10種情況，其中甲選到有6種可能性：，則甲參加“整地做畦”的概率為：；乙選活動(dòng)有6種可能性：，其中再選擇有3種可能性：，故乙參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為.解法二：設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，則甲選到的概率為；乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為故答案為：；14．【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求的最小值.【詳解】解法一：因?yàn)椋矗瑒t，可得，所以；由題意可知：，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，可得，又因?yàn)椋芍寒?dāng)時(shí)，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因?yàn)?，則，所以；因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，且為中點(diǎn)，則，可得，則，且，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為；故答案為：；.15．【分析】結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與兩函數(shù)的交點(diǎn)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)與，則兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，分、與進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，計(jì)算函數(shù)定義域可得或，計(jì)算可得時(shí)，兩函數(shù)在軸左側(cè)有一交點(diǎn)，則只需找到當(dāng)時(shí)，在軸右側(cè)無(wú)交點(diǎn)的情況即可得；當(dāng)時(shí)，按同一方式討論即可得.【詳解】令，即，由題可得，當(dāng)時(shí)，，有，則，不符合要求，舍去；當(dāng)時(shí)，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，由，可得或，當(dāng)時(shí)，則，則，即，整理得，當(dāng)時(shí)，即，即，當(dāng)，或（正值舍去），當(dāng)時(shí)，或，有兩解，舍去，即當(dāng)時(shí)，在時(shí)有唯一解，則當(dāng)時(shí)，在時(shí)需無(wú)解，當(dāng)，且時(shí)，由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，即，故時(shí)，圖象為雙曲線右支的軸上方部分向右平移所得，由的漸近線方程為，即部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時(shí)的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得，故符合要求；當(dāng)時(shí)，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，由，可得或，當(dāng)時(shí)，則，則，即，整理得，當(dāng)時(shí)，即，即，當(dāng)，（負(fù)值舍去）或，當(dāng)時(shí)，或，有兩解，舍去，即當(dāng)時(shí)，在時(shí)有唯一解，則當(dāng)時(shí)，在時(shí)需無(wú)解，當(dāng)，且時(shí)，由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，同理可得：時(shí)，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時(shí)的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故有，解得，故符合要求；綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，從而可將其分成兩個(gè)函數(shù)研究.16．(1)(2)(3)【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；（3）法一：根據(jù)大邊對(duì)大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.【詳解】（1）設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，即，解得（負(fù)舍）；則.（2）法一：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，再根據(jù)正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因?yàn)?，則（3）法一：因?yàn)?，且，所以，由?）法一知，因?yàn)?，則，所以，則，.法二：，則，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以17．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，故，且，由是的中點(diǎn)，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、、、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；（3）由，平面的法向量為，則有，即點(diǎn)到平面的距離為.18．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪?，故，解?若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問(wèn)題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過(guò)程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).19．(1)(2)①證明見(jiàn)詳解；②【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，即，可得，整理得，解得或（舍去），所?（2）（i）由（1）可知，且，當(dāng)時(shí)，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列；2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.20．(1)(2)2(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）先由題設(shè)條件得到，再證明時(shí)條件滿足；（3）先確定的單調(diào)性，再對(duì)分類討論.【詳解】（1）由于，故.所以，，所以所求的切線經(jīng)過(guò)，且斜率為，故其方程為.（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增，這就說(shuō)明，即，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，所以命題等價(jià)于對(duì)任意，都有.一方面，若對(duì)任意，都有，則對(duì)有，取，得，故.再取，得，所以.另一方面，若，則對(duì)任意都有，滿足條件.綜合以上兩個(gè)方面，知的值是2.（3）先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)，有.證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，且，所以，即.由，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增.不妨設(shè)，下面分三種