專題32 一元一次方程的解法【十大題型】（舉一反三）（人教版）（解析版）

專題3.2元一次方程的解法【十大題型】

【人教版】

【題型1一元一次方程的整數(shù)解問題】...........................................................1

【題型2換元法解一元一次方程】...............................................................4

【題型3根據(jù)兩個一元一次方程的解之間的關(guān)系求參數(shù)1.............................................................6

【題型4錯解一元一次方程問題】...............................................................8

【題型5解一元一次方程】.....................................................................10

【題型6探究一元一次方程解的情況】...........................................................14

【題型7同解問題】...........................................................................16

【題型8一元一次方程的解與參數(shù)無關(guān)】........................................................18

【題型9一元一次方程的解法在新定義中的運(yùn)用】...............................................20

【題型10含絕對值的一元一次方程】............................................................23

”片聲*三

【知識點(diǎn)1一元一次方程的解法】

解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的

一般步驟，針對方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化.

【知識點(diǎn)2一元一次方程的解】

定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等.

【題型1一元一次方程的整數(shù)解問題】

【例1】(2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)七年級期中)若關(guān)于*的方程也一2019次一2017=6-

2019(x+l)的解是整數(shù)，則整數(shù)k的取值個數(shù)是()

A.5B.3C.6D.2

【答案】C

【分析】先求出此方程的解，再利用方程的解是整數(shù)，4也是整數(shù)，即可判斷k的取值.

【詳解】解：(k-2019)%-2017=6-2019(%+1),

(k-2019)x-2017=6-2019%-2019,

(k-2019)%+2019%=6-2019+2017,

kx=4,

解得：x=[，

團(tuán)方程的解是整數(shù)，左也是整數(shù)，

瞅可以為-4或-2或-1或1或2或4,共有6個數(shù)，故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是方程的解，根據(jù)方程的解為整數(shù)和人為整數(shù)，求出當(dāng)〃為整數(shù)，￡也是整數(shù)時，k

k

的值，是解決此題的關(guān)鍵.

【變式1-1](2022?全國?課時練習(xí))當(dāng)整數(shù)&為何值時，方程%-3=依+15有正整數(shù)解.求出這些解.

【答案】k=8時，方程的正整數(shù)解為％=18；k=7時，方程的正整數(shù)解為％=9；k=6時，方程的正整數(shù)

解為％=6；k=3時，方程的正整數(shù)解為％=3；k=0時方程的正整數(shù)解為％=2：攵=-9時，方程的正整

數(shù)解為％=1.

【分析】先求出方程9%-3=心:+15的解，再根據(jù)正整數(shù)的特性進(jìn)行分析即可得.

【詳解】9x-3=kx+15,

(9-k)x=18,

因?yàn)榉匠?x-3=kx+15有正整數(shù)解，

所以9一4二0,即kN9,

所以*二三，

9-/C

要使方程9%-3=kx+15有正整數(shù)解，則井為正整數(shù)即可，

9-k

因此，k的所有可能取值為8,7,630,-9,

當(dāng)A=8時，方程的正整數(shù)解為4=言=18：

當(dāng)A=7時，方程的正整數(shù)解為x=^-=9；

9-7

當(dāng)A=6時，方程的正整數(shù)解為％=會=6；

9—6

當(dāng)A=3時，方程的正整數(shù)解為％=券=3；

當(dāng)A=0時方程的正整數(shù)解為3=言=2：

當(dāng)A=-9時，方程的正整數(shù)解為/=潟=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一元一次方程的特殊解，正確求出方程的解為無二言是解題關(guān)鍵.

9-k

【變式1?2】（2022?內(nèi)蒙古通遼?■二年級期末）若關(guān)于工的方程次戊=3-%的解為整數(shù)，則正整數(shù)〃?的值為

【答案】2

【分析】先方程得再由方程的解為整數(shù)，則有??+1=±3或〃?+1=±1,求得〃?=2或w=-4或w=0或m=-2,

根據(jù)題意，/〃是正整數(shù)，即可求加的值為2.

【詳解】解：〃tr=3-x,

移項(xiàng),合并同類項(xiàng),得（m+1）x=3,

團(tuán)方程的解為整數(shù)，

團(tuán)，〃十1=±3或///+1=±1,

0w=2或"I=-4或7/1=0或m--2,

團(tuán)〃?是正整數(shù)，

團(tuán)〃?=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解法，根據(jù)，〃值的限定條件對機(jī)的值進(jìn)行

取舍是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2022?北京石景山?七年級期末）設(shè)加為整數(shù)，且關(guān)于4的一元一次方程5?+，〃-3=0.

（1）當(dāng)m=2時，求方程的解；

（2）若該方程有顰教解，求〃，的值.

【答案】（1）%=一］；（2）相=6或〃7=4,〃?=7或〃2=3.

【分析】⑴將m=2代入方程（m-5）x+m-3=0,求出x即可;

2

⑵首先將方程變形為x=-l--------由方程有整數(shù)解，可知m-5H0,m-5=±l或m-5=±2,從而求出m的值.

m-5

【詳解】解：⑴當(dāng)m=2時，原方程為-3x-l=0.

解得，x=-1.

思想是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2022?河南?南陽市宛城區(qū)官莊鎮(zhèn)第一初級中學(xué)七年級階段練習(xí))如果關(guān)于x的方程表r+2021

=2x+〃?的解是％=2023,則關(guān)于y的方程表(>'+1)+2021=2(y+1)+機(jī)的解是丁=—.

【答案】2022

【分析】根據(jù)題意得到尹1=2023,即可求出y的值.

【詳解】解：團(tuán)關(guān)于x的方程念行2021=2戶/〃的解是4=2023,

田關(guān)于3的方程/<>,+1)+2021=2(>-+1)+6中的戶4=2023,

解得：y=2022,

故答案為：2022.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程解的含義以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程解

的含義.

【變式2-2](2022?江西景德鎮(zhèn)?七年級期末)若x=-4是關(guān)于x的方程ax-b=l(a0)的解，則關(guān)于》的

方程磯2工-3)-b-1=0(a0)的解為.

【答案】后

【分析】將工=一4代入方程ax—b=1(QH0)可得一4a—b=1,進(jìn)而代入Q(2X-3)-匕-1=0即可得到

a(2x-3)-b=-4a-b,根據(jù)等式的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】解：將％=-4代入方程G%-b=-4a-b=l,

a(2x—3)—b—1=0,整理得a(2x—3)—b=1,

則a(2x—3)—Z?=—4a-b,

2x-3=-4,解得“=

故答案為-也

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解及等式的性質(zhì)，熟練掌握等式兩邊相同未知數(shù)前面系數(shù)相等是解題

的關(guān)鍵.

【變式2-3](2022?山西臨汾?七年級階段練習(xí))如果關(guān)于x的一元一次方程a%+b=0的解是大二-2,則關(guān)

于y的一元一次方程a(y-1)+b=0的解是.

【答案】-1

【分析】根據(jù)題中兩個方程的關(guān)系，可知曠1=-2,即可求出)，的值.

【詳解】解：團(tuán)關(guān)于1的一元一次方程如+氏0的解是m2,

團(tuán)Z+〃=0,

勖=2。，

把加2a代入關(guān)于），的一元一次方程“Cy-1）+/片0得，

a（>'-1）+2。=0,

0a*O>

0（j-1）+2=0,

解得，y=-l.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義，熟記使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元

一次方程的解是解題的關(guān)鍵.

【題型3根據(jù)兩個一元一次方程的解之間的關(guān)系求參數(shù)】

【例3】（2022?全國?七年級單元測試）關(guān)于x的方程4%-2m=3%-1的解是％=2%-3m的解的2倍，則

m的值為（）

A.-B.-C.--D.--

2442

【答案】C

【分析】分別表示出兩個方程的解，根據(jù)解的關(guān)系列出方程，求出方程的解即可得到機(jī)的值.

【詳解】解：方程4jr-2m=3x-1,

解得：A-2/Zbl,

方程x=2x-3m,

解得：工=3/〃，

根據(jù)題意得：2m-l=6m,

解得：〃片二.

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

【變式3-1］（2022?山東荷澤?七年級期末）若方程*x+l）=l的解與關(guān)于x的方程?=%+1的解互為倒

數(shù)，則女的值是.

【答案】-3

【分析】求出第一個方程的解，利用倒數(shù)定義求出第二個方程的解，代入第二個方程計算即可求出％的值.

【詳解】解：其x+l)=l,

解得：x=l,

1的倒數(shù)為1,

把x=l代入號=x+1?

得：-y-=1+1，

解得：k=-3,

故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

【變式3-2](2022?全國?七年級課時練習(xí))若關(guān)于%的方程3X4-6=0與關(guān)于y的方程5y+2TH=18的解互

為相反數(shù)，則巾=.

【答案】4

【分析】先解出x的值，再根據(jù)相反數(shù)的定義得到y(tǒng)的值，最后代入方程求出機(jī)的值.

【洋解】解：解方程3%+6=0,解得％=—2,

團(tuán)這兩個方程的解互為相反數(shù)，

團(tuán)y=2是方程5y+2m=18的解，

將y=2代入原方程，得到10+2?幾=18,解得m=4.

故答案是：4.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解和相反數(shù)的定義，掌握方程的解和解一元一次方程是解答本題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2022?江蘇?南通市八一中學(xué)七年級階段練習(xí))已知方程2-3(%+1)=0的解與關(guān)于x的方程

警-2=2%的解互為倒數(shù)，求k的值.

【答案】k=-5

【分析】先求出第一個方程的解是工=一右把后-3代入第二個方程得出?—2=2x(—3),求出A的值即

可.

(詳解]解方程2-3。+1)=0得：x=一5

回方程2—3a+1)=0的解與關(guān)于％的方程卓-2=2%的解互為倒數(shù)，

團(tuán)關(guān)于X的方程變一2=2%的解是％=-3,

把x=一3代入方程?-2=2%得：1一2=2X（-3）,

解得k=-5.

【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)的定義，解一元一次方程和一元一次方程的解等知識點(diǎn)，能得出關(guān)于k的一元一次

方程是解此題的關(guān)鍵.

【題型4錯解一元一次方程問題】

【例4】（2022?全國?七年級專題練習(xí)）在解關(guān)于x的方程等=燮-2時，小穎在去分母的過程中，右邊

的“-2〃漏乘了公分母15,因而求得方程的解為％=4,則方程正確的解是（）

20

A.%=-10B.x=16C.x=TD.%=4

【答案】A

【分析】先根據(jù)小穎解方程的過程求出a的值，然后正確求出原方程的解即可.

【詳解】解：由題意得5（%+2）=3（%+。）一2的解為》=4,

回5x（4+2）=3（4+Q）-2,

解得Q=g，

喈=*2,

去分母得：5（x4-2）=3（x+y）-30,

去括號得：5x+10=3x4-20-30,

移項(xiàng)得：5x-3x=20-30-10,

合并得：2%=一20,

解得：x=-10,

故選A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2022?河南?上蔡縣第一初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）將方程誓-牛=1去分母，得到3x+3-Zv-3=6,

26

錯在（）

A.最簡公分母找錯B.去分母時，漏掉乘不含分母的項(xiàng)

C.去分母時，分子部分沒有加括號D.去分母時，各項(xiàng)所乘的數(shù)不同

【答案】C

【分析】去分母時，方程兩端同乘各分母的最小公倍數(shù)時，分子如果是多項(xiàng)式，需要將這個多項(xiàng)式作為整

體加括號.

【詳解】解：方程中一牛=1去分母得：3（x+l）-（2x-3）=6,

26

去括號得：3%+3-2%+3=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查解帶分母的方程，先找出分母的最小公倍數(shù)，然后去分母求解.需要特別注意：分子如果

是多項(xiàng)式，需要將這個多項(xiàng)式作為整體加括號.

【變式4-2］（2022?江蘇?興化市周莊初級中學(xué)七年級期中）小王在解關(guān)于x的方程2-笥W=3a-2x時,

誤將-2x看作+2x,得方程的解x=l.

（1）求a的值；

（2）求此方程正確的解.

【答案】（1）Q（2）x=-2

【分析】（1）1）把x=l代入錯誤方程中計算即可求出。的值；

（2）把。的值代入原方程，求出解即可.

【詳解】（1）把工=1代入2-3一=3a+2x

2

得：2+-=3〃+2,

2

解得：a=—；

72x—4?

（2）把“=/弋入原方程得：2-失2=彳--

JJJ

去分母得：6-（2x-4）=2-6.r,

去括號得：6-2x+4=2-6x,

移項(xiàng)得：-2,v+6x=-10+2,

合并同類項(xiàng)得：4,v=-8,

解得：x=-2.

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項(xiàng)合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1,求出

解.

【變式4-3］（2022?四川?威遠(yuǎn)縣鳳翔中學(xué)七年級期中）小李在解方程3a-％=13Cv為未知數(shù)）時，誤將x

看作+》,解得方程的解工=-2,則〃=,原方程的解為.

【答案】5x=2

【分析】根據(jù)-%看作+”,解得方程的解％=-2,得3a+(-2)=13,解出a的值，再計算方程.

【詳解】團(tuán)一％看作+工,解得方程的解4=-2

03c+(-2)=13

解得a=5

(3原方程為：3x5-%=13

解得x=2.

故答案為：5；x=2.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解方程的解的定義，以及解一元一次方程.

【題型5解一元一次方程】

【例5】(2022?全國?七年級課時練習(xí))方程一9一入-1-幻-口-白=-乙的解是工二()

3261224

111111

A.—B.--C.—D.--

12121212

【答案】D

【詳解】方程兩邊同乘以24可得-8[-：(-1-力-m-2=-1,去括號，可得-8(4+H)-2=-1,即-4-4X+。

262263

411

-2=-l,4x=-5+—,解得x=--.

312

故選D.

【變式5-1](2022?山東威海?期末)解方程：

(1)4-2(x4-4)=2(x-1)：

(2)沁+7)=冷(%-5)；

C.3x-0.40.5X-0.2

(3)v-----------F2=----------?

'90.20.3

【答案】⑴%二一0.5

吁裝

(3)x=4

【分析】(1)按照去括號，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化為1的步驟解方程即可;

(2)按照去分母，去括號，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化為1的步躲解方程即可;

（3）按照去分母，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化為1的步驟解方程即可.

（1）

解：4-2(x+4)=2(%-1)

去括號得：4—2x—8=2x—2,

移頂?shù)茫?2x—2x——2—4+8,

合并得：一4%=2,

解得％=-0.5；

(2)

解:沁+7)=|一如-5)

去分母得：去分+7)=(2-15(工-5),

去括號得：10%+70=12-15%+75,

移頂?shù)茫?0%+15%=12+75-70,

合并得：25%=17,

解得％=呆

(3)

解:-0-.3--X---0-.-4--F,2r=-0-.5--X---0-.-2

0.20.3

整理得"2+2二注三

23

去分母得：3（3%-4）+12=2（5工-2）,

去括號得：9x-12+12=10%-4,

移項(xiàng)得：9x-10%=-4+12-12,

合并得：一%=-4,

解得x=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022?全國?七年級單元測試）解方程：

(1)3(2-%)=4-%.

⑵w

(3)9—3y=5y+5.

⑷號-1=亨.

【答案】⑴X=1

(2屋

⑶

⑷4」

【分析】(1)按照去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可;

(2)按照去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可;

(3)按照移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可；

(4)按照去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可.

(1)

解：3(2-x)=4-x

6-3x=4-x

-3.V4-X=4-6

-2r=-2

x=l：

(2)

解：半一1=等

3(x+1)-6=2(3x-2)

3.x+3-6=6.v-4

3A-6X=-4+6-3

-3.r=-l

i

4；

(3)

解：9-3y=5y+5

-3y-5y=5-9

-8產(chǎn)-4

⑷

3(3.v-l)-12=2(5.V-7)

9.v-3-12=10.r-14

9.r-10.r=-14+3+12

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步驟為去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同

類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

x___________

【變式5-3】（2。22?全國十年級課時練習(xí)）方程］+號+$+?..+=2019的解是

1+2+---+2018+2019

x=,

【答案】1010

【分析】方程左邊整理后，利用折項(xiàng)法變形，計算即可求出解.

xx

【詳解】（3X+----4---------+…+------------------------=2019

1+21+2+31+2+…+2018+2019

2222

團(tuán)方程整理為「（忘+急+而++2019x2020)=2019

1

即2x(----+-----H------++)=2019

1x22x33x42019x2020

11

)=2019

20192020

I2019

化簡得，2x（1-)=2019,HP2x------=2019

20202020

整理得，2x=2020

解得，x=1010

故答案為：1010.

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步驟：去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng),

系數(shù)化為1,這僅是解?元??次方程的?般步驟，針對方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸

向x=a的形式轉(zhuǎn)化.

【題型6探究一元一次方程解的情況】

【例6】（2022?全國?七年級課時練習(xí)）若〃八〃是有理數(shù)，關(guān)于x的方程3/〃（2工-1）-〃=3（2-〃）x有

至少兩個不同的解，則另一個關(guān)于工的方程（〃?+〃）x+3=4x+機(jī)的解的情況是（）

A.有至少兩個不同的解B.有無限多個解

C.只有一個解D.無解

【答案】D

【分析】首先解方程可得：〃，再根據(jù)方程有兩個解

（2x-1）-n=3（2-n）xf（6/〃+3〃-6）x=3m+

的條件可得到小，〃的值，然后代入方程（機(jī)+〃）x+3=4x+加中即可知道其解的情況.

【詳解】解：解方程3（2x-l）-n=3（2-n）x

口「得：（6m+3n-6）x=3m+n

團(tuán)有至少兩個不同的解，

囹6，〃+3〃-6=3，〃+〃=0,

BP加=-2,〃=6,

把〃?=-2,〃=6代入（m+n）x+3=4x+w中得：4x+3=4x+〃?，

團(tuán)方程（）x+3=無解.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解含字母系數(shù)的一元一次方程，關(guān)鍵是根據(jù)解的情況判斷字母系數(shù)的值.

【變式6-1］（2022?全國?七年級專題練習(xí)）閱讀：關(guān)于x方程④?“在不同的條件下解的情況如下：（1）當(dāng)

時，有唯一解當(dāng)用時有無數(shù)解；當(dāng)〃=〃工時無解.請你根據(jù)以上知識作

4Mx=2；（2）0,〃=0（3）0,0

a

答：已知關(guān)于工的方程9?方7（x-6）無解，則。的值是（）

32o

A.1B.-1C.±1D.。工1

【答案】A

【詳解】解：去分母得：2av=3x-（x-6）,

去括號得：2am2A+6,

移項(xiàng)，合并得，（2。-2）x=6,

因?yàn)闊o解，所以2。?2=0,即。=1.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程無解，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題意，列出關(guān)于字母。的方程.

【變式6-2](2022?全國?八年級課時練習(xí))關(guān)于x的方程如+4=3.■%分別求相，〃為何值時，原方程：

(1)有唯?解

(2)有無數(shù)多解

(3)無解

【答案】(1)mx3時方程有唯一解；

(2)當(dāng)m=3,n=-4時方程有無數(shù)多解；

(3)當(dāng)m=3,nw-4時方程無解.

【分析】方程ax=b的解有三種情況：當(dāng)a=0,bH0方程無解；當(dāng)a=0,b=0方程有無數(shù)解；當(dāng)axO方程有唯一解.

根據(jù)以上三條可解本題.

【詳解】解：〃a+4=31-〃，

(3-m)x=n+4,

(1)當(dāng)3-m上0時，即m，3時方程有唯一解；

(2)當(dāng)3-m=0且n+4=0時，即rr=3,n=-4時方程有無數(shù)多解；

(3)當(dāng)3-m=0且n+4Ho時，即m=3,nw-4時方程無解.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程三種解的情況，熟知當(dāng)a=O,bHO方程ax=b無解；當(dāng)a=O,b=O方程有無數(shù)

解；當(dāng)a^O方程有唯一解是解此題的關(guān)鍵.

【變式6-3](2022?全國?七年級重元測試)已知關(guān)于x的方程4+3ax=2a-7有唯一解，關(guān)于y的方程2+y=

(k+l)y無解，判斷關(guān)于z的方程az=b的解的情況.

【答案】z=0

【分析】根據(jù)題意，化簡關(guān)于x、y的方程，推斷出a、b情況，將條件代入關(guān)于z的方程，得出結(jié)果.

【詳解】關(guān)于x的方程4+3ax=2a-7可以簡化為：x=用，

3a

團(tuán)關(guān)于x的方程4+3ax=2a-7有唯一解，

08^0?

02+y=(b+1)y,

團(tuán)2+y=by+y,

0by=2,

團(tuán)關(guān)于y的方程2+y=(b+1)y無解,

團(tuán)b=0.

關(guān)于z的方程az=b可以簡化為：2=匕

a

0a^Otb=0,

0z=O.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程的應(yīng)用，需要一步步化簡，綜合所給條件，討論得出結(jié)果.

【題型7同解問題】

【例7】(2022?全國?七年級課時練習(xí))已知關(guān)于x的方程：2(%-1)+1=%與3(無+血)=m-1有相同的

解，求關(guān)于y的方程等二學(xué)的解.

【答案】＞=一￡

【分析】先求出方程2(x-1)+1=%的解，將解代入3(%+TH)=m-1求出m,將m的值代入手=?

求得方程的解.

【詳解】解方程：2(x-l)+l=x,得x=l,

團(tuán)方程2(%-1)+1=%與3a+m)=m-1有相同的解，

團(tuán)將x=l代入3(%+m)=m-1,得3(1+m)=m-l,

解得m=-2,

將m=-2代入率=三亞，

得3=土物

32

2(3+2y)=3(-2-3y)

解得y=一￡.

【點(diǎn)睛】此題考查同解方程，解一元一次方程，正確掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1](2022?四川?仁壽縣文宮鎮(zhèn)古佛九年制學(xué)校七年級期中)若方程Zv-zn=l和方程3X=2(.L1)

的解相同，則根的值為.

【答案】-5

【分析】根據(jù)同解方程的定義，可得關(guān)于〃，的方程，根據(jù)解方程，可得答案.

【詳解】解：由3x=2(x-1)解得片-2,

將工=-2代入2x-/n=l,得

-4-r:=l?

解得m=-5,

故答案為：-5.

【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程，利用同解方程得出關(guān)于加的方程是解題關(guān)鍵.

【變式7-2](2022?全國?七年級課時練習(xí))關(guān)于x的方程4%-5=3(%-1)的解與9=空+1的解相同，

貝I」U的值為.

【答案】8

【分析】先求出4工一5=3(%-1)的解，然后代入等=等+1,即可求出答案.

【詳解】解：04x-5=3(%—1),

解得：x=2；

把無=2代入等=等+1中，得

2+a2x2+a,<

=+1,

2-----3

解得：Q=8；

故答案為：8；

【點(diǎn)睛】本題考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3](2022?黑龍江?哈爾濱美加外國語學(xué)校七年級階段練習(xí))若關(guān)于%的方程3%-7=2x+a的解與

方程4%+3=7的解相同，求Q2+2Q+1的值.

【答案】25

【分析】先解方程4x+3=7得x=l,把x=l代入3%-7=2x+a求得。的值，把。的值代入/+2a+1即

可得到答案.

【詳解】解：由4x+3=7解得：x=l,

團(tuán)關(guān)于x的方程3%-7=2x+Q的解與方程4%+3=7的解相同，

團(tuán)把x=l代入3%-7=2x+a得，

3x1—7=2x1+〃，

解得。=-6,

(3a2+2a+1=(-6)24-2x(-6)+1=25,

即a2+2a+l的值是25.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程得解、一元一次方程的解法、同解方程等知識，正確解一元一次方程是

解答此題的關(guān)鍵.

【題型8一元一次方程的解與參數(shù)無關(guān)】

【例8】（2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)七年級期中）若關(guān)于％的方程生當(dāng)=1-F，無論上為何值，

3o

它的解總是x=1,則代數(shù)式2a4-b=.

【答案】9

【分析】將％=1代入字=1一三竺，化簡得：/c（4-b）=5-2a,再根據(jù)方程有無數(shù)解的條件求解即可.

36

【詳解】將％=1代入空=1一七產(chǎn)，得：

36

2k+ad1-bk

—=1"->

4k+2a=6-1+尿，

???4k-bk=5-2a,

???k（4-b）=5-2a,

由題意可知：b-4=0,5-2a=0,

5,.

???a=-,o=4,

2

2Q+b=5+4=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳方程解的定義，由k可以取任何值得到a和b的值是解題的關(guān)鍵.

【變式8-1］（2022?全國七年級課時練習(xí)）已知mb為定值，且無論2為何值，關(guān)于x的方程如三=1-2產(chǎn)

的解總是x=2,則而=.

【答案】-4

【分析】根據(jù)一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成關(guān)于。、。的形式，然后根據(jù)方程的解與女無關(guān)

分別列出方程求解即可.

【詳解】解:方程兩邊都乘6,去分母得2（正a）=6-3（2x+bk）,

^2kx-2a=6-6x-3hk,

整理得（2工+3〃）k+6x=2a+6,

團(tuán)無論攵為何值，方程的解總是2,

026+6=6x2,2x2+30=0,

4

解得。=3,/?=--,

團(tuán)曲=-4.

故答案為：-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，根據(jù)方程的解與k無關(guān)，則攵的系數(shù)為0列出方程是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2](2022?全國?七年級單元測試)若a,b為常數(shù)，無論k為何值時，關(guān)于x的一元一次方程(b+l)x=

12-4/ca,它的解總是1,則。，。的值分別是.

【答案】Q=0,b=11

【分析】將方程的解代入原方程，并化簡.因?yàn)闊o論k為何值，它的解總是1，即可列出，解

出。和〃即可.

【詳解】把％=1代入方程得b+1=12-4ka,

化簡得4Aa=11—b,

歐的值為全體實(shí)數(shù)，

g4。=0,且11一匕=0,

回Q=0,b=11.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解.理解方程的解的定義“能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值”是解答

本題的關(guān)鍵.

【變式8-3](2022?山東濱州?七年級期末)若關(guān)于x的方程胃=2+寧1無論左為任何數(shù)時，它的解

56

總是X=2.那么m+n=.

【答案】-1

【分析】將m2代入原方程即可求出答案

【詳解】解：將x=2代入筆業(yè)=2+?,

36

4k+mc,2-nk

36

Q(8+zi)k=142〃，

由題意可知:無論&為任何數(shù)時(8+〃)河142注恒成立,

團(tuán)2+8=0,14-2/n=0.

0n=-8?m=7,

回〃?+〃=-8+7=-1,

故答案為：T.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

【題型9一元一次方程的解法在新定義中的運(yùn)用】

【例9】(2022?全國?七年級專題練習(xí))已知關(guān)于x的一元一次方程如+〃=0(其中。、〃為常數(shù))，若

這個方程的解恰好為x=a?〃，則稱這個方程為“恰解方程〃，例如：方程2A+4=0的解為工=-2,恰好為x

=2-4,則方程2x+4=0為"恰解方程

⑴已知關(guān)于x的一元一次方程3人加=0是"恰解方程"，則k的值為；

⑵已知關(guān)于x的一元一次方程-2x=/〃〃+〃是"恰解方程"，且解為(〃工0).求/〃，〃的值；

⑶已知關(guān)于x的一元一次方程3.1=〃?〃+〃是"恰解方程求代數(shù)式3(加〃+2〃/-〃)-(6〃/+〃皿)+5〃的值.

【答案】⑴?

2

(2)/n=-3,n=--

⑶-9

【分析】(1)利用“恰解方程〃的定義，得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；

(2)解方程-2工=加〃+〃得出x=-j(〃〃7+〃)，由-2X=M〃+“是"恰解方程”得出x=-2+mmn,再結(jié)合x

=“，即可求出〃?，〃的值；

(3)根據(jù)"恰解方程”的定義得出〃?〃+〃=—3把3(mn+2m2-n)-(6m2+mn)+5〃化簡后代入計算即可.

(1)

解：(1)解方程3x+k=0得：

k

X=T

孫+左=0是“恰解方程”，

酎=3-匕

0-。=3-k,

3

解得:T

(2)

解：解方程-2.v=mn+n得：

x=--(〃[〃+〃),

2

0-2x=mn+n是"恰解方程”,

0.v=-2+mn+n,

0--(〃"?+〃)=-2+mn+n,

2

圖3M2+3〃=4,

0-2+mn+n=n,

郵wi=2,

03x2+3/1=4,

解得：〃=-

把n=~I代入〃?〃=2得：，"x(-|)=2,

解律〃?=-3：

(3)

解：解方程3x=〃?〃+〃得：

mn+n

x=->

團(tuán)方程3x=〃?〃+〃是"恰解方程〃，

Hx=3+〃〃z+〃，

回1+。=3+〃?〃+〃,

9

團(tuán)〃?〃+〃=?

2

03(mn+2m2-〃)-(6m2+mn)+5〃

=3mn+6nr-3n-6rn2-mn+5n

=2mn+2n

=2

=2x(--)

2

=-9.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程〃的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式9-1](2022?吉林?長春外國語學(xué)校七年級期末)新定義：如果兩個一元一次方程的解互為相反數(shù),

就稱這兩個方程為“友好方程”，如：方程2%=6和3%+9=0為“友好方程

⑴若關(guān)于x的方程3%+m=0與方程2x-6=4是“友好方程”，求m的值.

⑵若某“友好方程”的兩個解的差為6,其中一個解為〃，求〃的解.

【答案】(1)15

(2)13

【分析】(1)解方程2%-6=4,可得％=5,根據(jù)“友好方程”的定義可知，方程3%+m=0的解為％=-5,

將x=一5代入到方程3x+m=0中并求解即可；

(2)設(shè)該“友好方程〃的一個解為明則另一個解為力，根據(jù)題意，分兩種情況討論，當(dāng)n-(-九)二6時和當(dāng)

-n-n=6Ht，分別求解即可.

(1)解：解方程2%-6=4,可得無=5,若關(guān)于x的方程3%+m=0與方程2%-6=4是"友好方程"，則

有方程3%+m=0的解為x=-5,將x=-5代入到方程3x+m=0中，可得3x(-5)+m=0,解得7九=15；

(2)設(shè)該“友好方程〃的一個解為〃，則另一個解為-〃，根據(jù)題意，該“友好方程”的兩個解的差為6,當(dāng)n-

(—71)=6時，解得n=3,當(dāng)-71—九二6時，解得九二-3,綜上所述，可得n=±3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，理解“友好方程”的定義.

【變式9-2](2022?全國?七年級專題練習(xí))我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程〃+工=〃(*0)的解為x

則稱該方程為“商解方程".例如：2+4=4的解為》=2且2=%則方程2+4=4是“商解方程〃.請回答下

列問題：

⑴判斷3+.r=5是不是〃商解方程，

(2)若關(guān)于x的一元一次方程6+x=3是"商解方程",求機(jī)的值.

【答案】(1)不是

(2加=1

【分析】(1)求出方程的解是x=2,再進(jìn)行判斷即可；

(2)先求出方程的解，再根據(jù)題意得出關(guān)于m的方程，最后求出方程的解即可.

(1)

3+x=5,

x=2,

而2W9

所以3+*=5不是“商解方程”；

（2）

64-%=3（7九—3）,

64-%=37n—9,

x=3m—9—6=3m—15,

???關(guān)于x的一元一次方程6+%=3（加一3）是“商解方程”，

...Xm-3）=3加一is,

6

解得：m=^.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟記方程的解的定義（使方程左右兩邊相等

的未知數(shù)的值，叫方程的解）是解此題的關(guān)鍵.

【變式9-3］（2022?四川成都?七年級期末）一般情況下二整不成立，但有些數(shù)可以使得它成立，例

232-3

如：機(jī)=〃=o.我們稱使得成立的i對數(shù)〃，?〃為“神奇數(shù)對"，記為（〃?，〃）?若（8,〃）是“神

232-3

奇數(shù)對〃，且關(guān)于x的方程3X-6=〃與2X-1=3火的解相等，則上的值為.

【答案】3

【分析】由題意可得9一g=-（8-九）,求出〃的值，即可求方程3A-6=/Z的解為后5,再將X=5代入方程2『1=3攵,

即可求A的值.

【詳解】解：0（2.〃）是“神奇數(shù)對”，

吟_（8_幾），

即=9,

孫-6=9,

av=5,

（3方程3A-6=/Z與2x1=3&的解相等，

010-1=3/:,

瞅=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解法，理解同解方程的定義是解題的關(guān)鍵.

【題型10含絕對值的一元一次方程】

【例10】（2022?全國?七年級課時練習(xí)）根據(jù)絕對值定義，若有|工|=4,則x=4或-4,若|.y|=〃，則y=±a,

我們可以根據(jù)這樣的結(jié)論，解一些簡單的絕對值方程，例如：|2\+4|=5

解：方程|2計4|=5可化為：2計4=5或2A+4=-5

當(dāng)2x+4=5時，則有：2x=l,所以

9

當(dāng)2x+4=-5時，則有：2.v=-9：所以x=----

2

1Q

故，方程|2x+4|=5的解為,1=彳或1=-w

J

⑴解方程：|3x-2|=4；

(2)已知|〃+441=16,求|。+〃|的值；

⑶在(2)的條件下，若小〃都是整數(shù)，則。?〃的最大值是(直接寫出結(jié)果).

2

【答案】⑴x=2或

(2)12或20

⑶100

【分析】(1)根據(jù)題干步驟解方程|3x-2|=4即可；

(2)將。+匕看作一個整體，根據(jù)題干步驟解方程|〃+從4|=16即可求解；

(3)再(2)的條件下，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可求解：

(1)

解:方程|3x-2|=4可化為：3%-2=4或3“-2=-4

當(dāng)3."2=4時，則有：3x=6,所以x=2

2

當(dāng)3x-2=-4時，則有：3x=-2：所以

2

故，方程|3.12|=4的解為x=2或m-,

(2)

方程|〃+/?+4|=16可化為：a+h+4=16或?+/?+4=-16

當(dāng)〃+〃+4=16時，則有：a+b=12,所以|a+b\=12

當(dāng)?+/?+4=-16時，則有：?+/?=-20；所以|a+b|=20

故，方程|。+〃|的值為12或20

(3)

在(2)的條件下，若〃，〃都是整數(shù)，。+8=12或K氏-20；

根據(jù)有理數(shù)乘法法則可知：當(dāng)4=10，時，

取最大值，最大值為100;

故答案為：100.

【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對值符號的一元一次方程、等式的性質(zhì)，解決本題的