專題23.7相似三角形的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【華師大版】

2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【華師大版】專題23.7相似三角形的應(yīng)用姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020秋?海曙區(qū)期末）在同一時(shí)刻，身高1.8米的小強(qiáng)在陽光下的影長為0.9米，一棵大樹的影長為4.6米，則樹的高度為（）A．9.8米 B．9.2米 C．8.2米 D．2.3米【分析】在同一時(shí)刻物高和影長成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．【解析】設(shè)樹高為x米，∵人的身高人的影長=所以1.80.9=解得：x＝9.2．答：這棵樹的高度為9.2米．故選：B．2．（2021?紹興）如圖，樹AB在路燈O的照射下形成投影AC，已知路燈高PO＝5m，樹影AC＝3m，樹AB與路燈O的水平距離AP＝4.5m，則樹的高度AB長是（）A．2m B．3m C．32m D．103【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解析】∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴ABPO=∴AB5=∴AB＝2（m），故選：A．3．（2020?新都區(qū)模擬）如圖，路燈OP距地面8米，身高1.6米的小明從距離燈的底部（點(diǎn)O）20米的點(diǎn)A處，沿OA所在的直線行走14米到點(diǎn)B處時(shí)，人影的長度（）A．變長了1.5米 B．變短了2.5米 C．變長了3.5米 D．變短了3.5米【分析】小明在不同的位置時(shí)，均可構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，可利用相似比求人影長度的變化．【解析】設(shè)小明在A處時(shí)影長為x，B處時(shí)影長為y．∵AD∥OP，BC∥OP，∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，∴ADOP=MAMO則xx+20=∴x＝5；yy+20?14=∴y＝1.5，∴x﹣y＝3.5，故變短了3.5米．故選：D．4．（2020秋?合肥期末）如圖，有一塊直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分別是AB，AC邊上的一點(diǎn)，現(xiàn)從中切出一條矩形紙條DEFG，其中E，F(xiàn)在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，則GF的長為（）A．3cm B．22cm C．2.5cm D．3.5cm【分析】根據(jù)題意推知△BFG∽△DEC，由該相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得GF的長度即可．【解析】∵∠BAC＝90°，∴∠AGD+∠ADC＝90°，∵四邊形GFDE是矩形，∴∠GDE＝90°，∠GFB＝∠DEC＝90°，GD∥BC，GF＝DE，∴∠ADG+∠EDC＝90°，∠AGD＝∠B，∴∠AGD＝∠EDC，∴∠B＝∠EDC，∴△BFG∽△DEC，∴DE：BF＝CE：GF，∵BF＝4.5cm，CE＝2cm，∴GF：4.5＝2：GF，∴GF＝3cm，故選：A．5．（2021?河北）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】高腳杯前后的兩個(gè)三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解析】如圖：過O作OM⊥CD，垂足為M，過O作ON⊥AB，垂足為N，∵CD∥AB，∴△CDO∽ABO，即相似比為CDAB，∴CDAB=∵OM＝15﹣7＝8，ON＝11﹣7＝4，∴CDAB=6AB=AB＝3，故選：C．6．（2021?深圳模擬）龍翔大道旁有一根電線桿AB和一塊長方形廣告牌，有一天質(zhì)彬突然發(fā)現(xiàn)在太陽光照射下，電線桿頂端A的影子剛好落在長方形廣告牌的上邊中點(diǎn)G處，而長方形廣告牌的影子剛好落在地面上E點(diǎn)（如圖），已知BC＝5米，長方形廣告牌的長HF＝4米，高HC＝3米，DE＝4米，則電線桿AB的高度是（）A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米【分析】作GM⊥BD于點(diǎn)M，延長AG交BE于點(diǎn)N，即可求出GM、BN、MN．利用△GMN與△ABN的對應(yīng)邊成比例即可求解．【解析】作GM⊥BD于點(diǎn)M，延長AG交BE于點(diǎn)N，如圖：∵G是HF中點(diǎn)，HF＝4m．∴CM＝MD＝GF＝2m．∵BC＝5m，HC＝3m，DE＝4m．∴GM＝3m．根據(jù)平行投影性質(zhì)可得：MN＝DE＝4m、BN＝BC+CM+MN＝11m．∵GM∥AB．∴GMAB=MNBN∴AB＝8.25m．故選：C．7．（2021?雁塔區(qū)校級模擬）《海島算經(jīng)》是我國杰出數(shù)學(xué)家劉徽留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)．書中的第一問：今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合．從后表卻行一二十七步，人目著地取望島峰，亦與表未參合．問島高及去表各幾何？大致意思是：假設(shè)測量海島，立兩根表，高均為3丈，前后相距1000步，令后表與前表在同一直線上，從前表退行123步，人的眼睛貼著地面觀察海島，從后表退行127步，人的眼睛貼著地面觀察海島，問海島高度及兩表相距多遠(yuǎn)？想要解決這一問題，需要利用（）A．全等三角形 B．相似三角形 C．勾股定理 D．垂徑定理【分析】根據(jù)題意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，即可得出結(jié)論．【解析】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，故想要解決這一問題，需要利用相似三角形，故選：B．8．（2021?薛城區(qū)一模）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖2所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【分析】直接利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例解答．【解析】設(shè)蠟燭火焰的高度是xcm，由相似三角形的性質(zhì)得到：1015=解得x＝4．即蠟燭火焰的高度是4cm．故選：B．9．（2020秋?溫州期末）如圖，是一塊矩形場地ABCD，寬AB＝8米，長BC＝12米．若在其對角線AC，BD的延長線上取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，擴(kuò)建為新的矩形場地，左、右各增加了0.6米，上、下各增加了x米，則x的值為（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【分析】根據(jù)矩形和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解析】由題意得，AD∥EH，AB∥EF，∴△AOD∽△EOH，△AOB∽△EOF，∴ADEH=OAOE∴ADEH=∵左、右各增加了0.6米，上、下各增加了x米，AB＝8米，BC＝12米．∴EH＝12+2×0.6＝13.2，EF＝8+2x，∴1213.2=解得：x＝0.4，故選：C．10．（2021?大渡口區(qū)模擬）如圖，已知，M，N分別為銳角∠AOB的邊OA，OB上的點(diǎn)，ON＝6，把△OMN沿MN折疊，點(diǎn)O落在點(diǎn)C處，MC與OB交于點(diǎn)P，若MN＝MP＝5，則PN＝（）A．2 B．3 C．83 D．10【分析】依據(jù)∠CPN＝∠CNM，∠C＝∠C，即可得到△CPN∽△CNM，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到CP＝4，進(jìn)而得出PN的長．【解析】∵M(jìn)N＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折疊可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，CPCN=CNCM，即CN2＝CP∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵PNNM=∴PN5=∴PN=103故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2020秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖是用卡鉗測量容器內(nèi)徑的示意圖，現(xiàn)量得卡鉗上A，D兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離為10cm，AOBO=DOCO=2【分析】首先連接AD、BC，然后判定△AOD∽△BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得ADCB=【解析】連接AD、BC，∵AOBO=DOCO=2∴△AOD∽△BOC，∴ADCB=∵A，D兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離為10cm，∴BC＝15cm，故答案為：15cm．12．（2020秋?北侖區(qū)期末）在“測量學(xué)校教學(xué)樓的高度”的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小剛同學(xué)使用鏡面反射法進(jìn)行測量，如圖所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.8米，則這個(gè)學(xué)校教學(xué)樓的高度為18米．【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)而得出教學(xué)樓的高度．【解析】由鏡面反射原理可得，∠1＝∠2，∵∠ACB＝∠ADE＝90°,∴△ACB∽△ADE，∴ACAD=∴110=解得：ED＝18（m），即這個(gè)學(xué)校教學(xué)樓的高度為18米．故答案為：18．13．（2020秋?江都區(qū)期末）如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體在暗盒中所成的像CD的高度為4cm，那么物體AB的高度應(yīng)為3m．【分析】正確理解小孔成像的原理，利用相似三角形的判定得出△ABO∽△CDO，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，利用CD的值求出AB．【解析】∵△ABO∽△CDO，∴ABCD=又∵CD＝4cm，∴AB＝3（m）．故答案為：3．14．（2020秋?鹽城期末）小明想測量出電線桿AB的高度，于是在陽光明媚的星期天，他在電線桿旁的點(diǎn)D處立一標(biāo)桿CD，使標(biāo)桿的影子DE與電線桿的影子BE部分重疊（即點(diǎn)E、C、A在一直線上），量得ED＝3米，DB＝6米，CD＝1.8米，則電線桿AB長＝5.4米．【分析】根據(jù)題意求出△ECD∽△EBA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可解答．【解析】∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴ED：EB＝CD：AB，∴3：9＝1.8：AB，∴AB＝5.4米．故答案是：5.4．15．（2021?寶應(yīng)縣一模）《孫子算經(jīng)》是中國古代經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作，其中有首歌謠，今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標(biāo)桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？其大意是，有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），則竹竿的長為四丈五尺．【分析】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比可得出結(jié)論．【解析】設(shè)竹竿的長度為x尺，∵竹竿的影長＝一丈五尺＝15尺，標(biāo)桿長＝一尺五寸＝1.5尺，影長五寸＝0.5尺，∴x15=解得x＝45（尺），45尺＝四丈五尺．故答案為：四丈五尺．16．（2021?閔行區(qū)二模）《九章算術(shù)》中記載了一種測距的方法．如圖，有座塔在河流北岸的點(diǎn)E處，一棵樹位于河流南岸的點(diǎn)A處，從點(diǎn)A處開始，在河流南岸立4根標(biāo)桿，以這4根標(biāo)桿為頂點(diǎn)，組成邊長為10米的正方形ABCD，且A，D，E三點(diǎn)在一條直線上，在標(biāo)桿B處觀察塔E，視線BE與邊DC相交于點(diǎn)F，如果測得FC＝4米，那么塔與樹的距離AE為25米．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出FD，BC∥AD，可得△FDE∽△FCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DE的值，即可得出結(jié)論．【解析】∵四邊形ABCD是正方形，邊長為10米，∴AD＝CD＝BC＝10米，F(xiàn)D＝CD﹣CF＝6米，BC∥AD，∴△FDE∽△FCB，∴DECB=DFCF∴DE＝15，∴AE＝DE+AD＝25米，故答案為：25．17．（2020?文成縣二模）文成縣珊溪水庫素有“溫州大水缸”之稱，現(xiàn)計(jì)劃在水庫堤壩內(nèi)側(cè)坡面上建一個(gè)水質(zhì)監(jiān)測站，監(jiān)測站平面結(jié)構(gòu)呈等腰三角形（如圖△ABC，AB＝AC，底邊BC所在直線平行于水平線），且一腰（AC）垂直于坡面直線GC（如圖所示），中柱AE過底邊BC中點(diǎn)D立于坡面直線GC上點(diǎn)E處，AB及其延長線交坡面直線GC于F，AF為一根支撐柱，另外過AE的中點(diǎn)M和點(diǎn)B做一條自動(dòng)取樣傳送帶，直達(dá)坡面直線上點(diǎn)G處（方便取到不同深度的水樣，點(diǎn)M、B、G在一條直線上），測得DE＝1米，DC＝2米，則GF＝1053【分析】由CD是直角△ACE斜邊上的高，可得EDDC=DCAD，求出AD＝4，則AE＝5，MD＝1.5．延長CB，過點(diǎn)G作GH⊥CB的延長線于H，得出△GHB∽△MDB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到GHHB=MDBD=1.52=34，則可設(shè)GH＝3a，則BH＝4a．證明△CHG∽△CDE，得出GHHC=DEDC=12，求出a＝2，在Rt△GHC中，利用勾股定理求出GC=GH2+HC2=65．連接BE．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)得出∠【解析】∵AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，又∵AC⊥EC，∴EDDC=DCAD∴AD＝4，AE＝AD+DE＝4+1＝5，∵M(jìn)為AE中點(diǎn)，∴ME=12AE＝2.5，MD＝ME﹣DE如圖，延長CB，過點(diǎn)G作GH⊥CB的延長線于H，則△GHB∽△MDB，∴GHHB=設(shè)GH＝3a，則BH＝4a．∵GH∥DE，∴△CHG∽△CDE，∴GHHC=DEDC解得a＝2，∴GH＝6，BH＝8，HC＝12，在Rt△GHC中，由勾股定理得GC=GH2+H連接BE．∵點(diǎn)M為Rt△ABE斜邊的中點(diǎn)，∴∠BMD＝2∠BAM＝∠BAC，∴tan∠BAC＝tan∠BMD=21.5在Rt△ACF中，AC＝25，∴CF＝AC?tan∠BAC＝25×4∴GF＝GC﹣CF＝65?8故答案為：105318．（2020?泰順縣二模）圖1是一種手機(jī)托架，使用該手機(jī)托架示意圖如圖3所示，底部放置手機(jī)處寬AB＝1.2厘米，托架斜面長BD＝6厘米，它有C到F共4個(gè)檔位調(diào)節(jié)角度，相鄰兩個(gè)檔位間的距離為0.8厘米，檔位C到B的距離為2.4厘米．將某型號手機(jī)置于托架上（圖2），手機(jī)屏幕長AG是15厘米，O是支點(diǎn)且OB＝OE＝2.5厘米（支架的厚度忽略不計(jì)）．當(dāng)支架調(diào)到E檔時(shí)，點(diǎn)G離水平面的距離GH為453434厘米；當(dāng)支架從E檔調(diào)到F檔時(shí)，點(diǎn)D離水平面的距離下降了4825【分析】如圖3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性質(zhì)求出DT，BT，AD，GH即可，再求出支架調(diào)到F檔時(shí)DT的長即可解決問題．【解析】如圖3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．∵OB＝OE＝2.5cm，BE＝4cm，OK⊥BE，∴BK＝KE＝2（cm），∴OK=OB2?B∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，∴△BKO∽△BTD，∴BKBT=∴2BT=∴BT＝4.8（cm），DT＝3.6（cm），∴AD=AT2+D∵DT∥GH，∴DTGH=∴3.6GH∴GH=453434（如圖3﹣1中，當(dāng)支架調(diào)到F檔時(shí)，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．∵OB＝OE＝2.5cm，BF＝4.8cm，OK⊥BF，∴BK＝KF＝2.4（cm），∴OK=OB2?B∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，∴△BKO∽△BTD，∴BOBD=∴2.56=∴DT=4225（cm∵3.6?4225=48∴點(diǎn)D離水平面的距離下降了4825cm，故答案為453434，48三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2020秋?漣水縣期末）新建馬路需要在道路兩旁安裝路燈、種植樹苗．如圖，某道路一側(cè)路燈AB在兩棵同樣高度的樹苗CE和DF之間，樹苗高2m，兩棵樹苗之間的距離CD為18m，在路燈的照射下，樹苗CE的影長CG為1m，樹苗DF的影長DH為3m，點(diǎn)G、C、B、D、H在一條直線上．求路燈AB的高度．【分析】設(shè)BC的長度為xm，由題意可知CE∥AB∥DF，如圖，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解析】設(shè)BC的長度為xm，由題意可知CE∥AB∥DF，如圖，∵CE∥AB，DF∥AB，∴△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA∴GCGB=CEABHDHB=FDAB∴11+x=解得x＝4.5，∴11+6=解得AB＝11．答：路燈AB的高度為11m．20．（2021春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，安裝路燈AB的路面CD比種植樹木的地面PQ高1.2m（CP＝1.2m）身高1.8m的小明MN站在距離C點(diǎn)15m遠(yuǎn)的路面上．在路燈的照射下，路基CP留在地面上的影長EP為0.4m，小明留在路面上的影長NF為3m，求路燈AB的高度．【分析】如圖，設(shè)AB＝xm，CB＝y(tǒng)m．構(gòu)建方程組解決問題即可．【解析】如圖，設(shè)AB＝xm，CB＝y(tǒng)m．∵ABBC=PCEP∴xy=解得x=9y=3，經(jīng)檢驗(yàn)x=9y=3是分式方程的解，∴AB＝9（m），答：燈AB的高度為9m．21．（2020秋?鹽城期末）如圖，小明想測量河對岸建筑物AB的高度，在地面上C處放置了一塊平面鏡，然后從C點(diǎn)向后退了2.4米至D處，小明的眼睛E恰好看到了鏡中建筑物A的像，在D處做好標(biāo)記，將平面鏡移至D處，小明再次從D點(diǎn)后退2.52米至F處，眼睛G恰好又看到了建筑物頂端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均為1.6米，求建筑物AB的高度．（注：圖中的左側(cè)α，β為入射角，右側(cè)的α，β為反射角）【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出ABED=BCDC【解析】設(shè)AB為xm，BC為ym，根據(jù)題意知，△ABC∽△DEC，有xy=1.6△ABD∽△GFD，有xy+2.4=1.6聯(lián)立①②，得x＝32．答：建筑物AB的高度為32m．22．（2021?海曙區(qū)模擬）如圖是某公園的一臺(tái)滑梯，滑梯著地點(diǎn)B與梯架之間的距離BC＝4m．（1）現(xiàn)在某一時(shí)刻測得身高1.8m的小明爸爸在陽光下的影長為0.9m，滑梯最高處A在陽光下的影長為1m，求滑梯的高AC；（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（∠ABC）不超過30°屬于安全范圍，請通過計(jì)算說明這架滑梯的傾斜角是否符合安全要求？【分析】（1）直接利用同一時(shí)刻太陽光下影長與物體高度成比例進(jìn)而得出答案；（2）直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠ABC的取值范圍．【解析】（1）由題意可得：AC1=解得：AC＝2（m），答：滑梯的高AC為2m；（2）∵tan∠ABC=ACBC=2∴∠ABC＜30°，∴這架滑梯的傾斜角符合安全要求．23．（2021?渭濱區(qū)一模）九年級活動(dòng)小組計(jì)劃利用所學(xué)的知識(shí)測量操場旗桿高度．測量方案如下：如圖，小卓在小越和旗桿之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線BM上的對應(yīng)位置為點(diǎn)C，鏡子不動(dòng)，小卓看著鏡面上的標(biāo)記，他來回走動(dòng)，走到點(diǎn)D時(shí)看到旗桿頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記點(diǎn)C重合，這時(shí)測得小卓眼睛與地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在陽光下，小越從D點(diǎn)沿DM方向走了15.8米到達(dá)F處此時(shí)旗桿的影子頂端與小越的影子頂端恰好重合，測得FG＝1.6米，F(xiàn)H＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若測量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì)，請你根據(jù)圖中提供的相關(guān)信息求出旗桿的