2024-2025學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一下冊3月數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一下學(xué)期3月數(shù)學(xué)檢測試題一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3 C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解參數(shù).【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以則實(shí)數(shù)故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用二倍角余弦公式化簡即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因此故選：A3.已知，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由已知得出，，再根據(jù)兩角和的余弦公式求得，結(jié)合即可求解．【詳解】因?yàn)?，且，所以所以，所以，因?yàn)?，所以，故選：A．4.在中，為上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用，將用表示，替換，再結(jié)合三點(diǎn)共線，即可求出的值.【詳解】，因此，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】正用、逆用兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】即變形得.故選：C6.在直角梯形中，，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，則（）A0 B. C.1 D.【正確答案】C【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量與的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系.已知，則；因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)?，可得，即，解得（舍去，因?yàn)樵谥苯翘菪沃校?，所以?因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以；點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，即.

所以，.

可得.

故選：C.7.已知，則（）A B. C. D.【正確答案】D【分析】先將切化弦，后用二倍角公式代入展開，解得，再根據(jù)平方關(guān)系結(jié)合的范圍解得，最后將所求式子用和角公式展開并代值計算即可.【詳解】從而故選：D8.在中，，則（）A.9 B. C.6 D.【正確答案】A【分析】由得出點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，再用分別表示出，即可計算出．【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)是三等分點(diǎn)，所以，則，又，所以，故選：A．二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列命題正確的是（）A.在中，若，則B.已知向量滿足條件，則為等邊三角形C.在中，若，則為直角三角形D.在中，若，則為等腰三角形【正確答案】BCD【分析】由向量數(shù)量積的定義即可判斷A；設(shè)OA=OB=OC=r>0，由及向量數(shù)量積的運(yùn)算律得出，，，即可判斷B；由向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可判斷C；由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積的幾何含義即可判斷D【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，設(shè)OA由得，，所以，即，所以，又<OA,OB同理可得，，所以為等邊三角形，故B正確；對于C，由，得，展開整理得，即，故C正確；對于D，設(shè)，則射線是的平分線，又，所以，所以為等腰三角形，故D正確；故選：BCD．10.下列計算正確的是（）A.B.C.D.【正確答案】ACD【分析】對于A選項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式將化為，化為，式子呈現(xiàn)兩角和余弦公式形式，進(jìn)而得出，算出結(jié)果.對于B選項(xiàng)先由平方差公式展開，再依據(jù)平方關(guān)系和二倍角公式，對比結(jié)果判斷對錯.對于C選項(xiàng)分子分母同除，結(jié)合，變形為兩角和正切公式形式，求出值.對于D選項(xiàng)先將化為，通分后用二倍角公式，再把化為展開化簡得結(jié)果.【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，.則.可得.因?yàn)?，所以選項(xiàng)正確.可得.則.可得.所以，選項(xiàng)錯誤.

分子分母同時除以，可得.因?yàn)?，所?可得，C選項(xiàng)正確.

.可得.則.可得.所以，選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】由兩角和與差的余弦和正切以及同角的三角函數(shù)關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意可得，所以，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，故D錯誤；故選：BC三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量在向量上的投影向量為，且，則向量與向量的夾角為__________.【正確答案】##【分析】先根據(jù)投影向量求出數(shù)量積，再根據(jù)向量夾角公式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，又向量在向量上的投影向量為，所以，，，?故13.若，則__________.【正確答案】##【分析】先將用表示，再根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楣蚀鸢笧?14.已知，則__________.【正確答案】【分析】由得到，由兩角和差余弦公式展開化簡即可求解；【詳解】由，得：，，，所以，故四?解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知.（1）求；（2）若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）且【分析】（1）先求出，再利用平方法求；（2）根據(jù)a+λb?a+2b>0【小問1詳解】，，又，，，.【小問2詳解】與的夾角為銳角，∴a→+λ，，，∴|a→|2+2λ|b→|又與不共線，，，且.16.已知．（1）求的值；（2）若，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由二倍角公式得出齊次式，求解即可；（2）由兩角差的正切公式求得，再根據(jù)兩角和與差的正弦余弦公式將化為齊次式，代入求解即可．【小問1詳解】，．【小問2詳解】因?yàn)?，所以?7.已知向量.（1）若與共線，，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的值域.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)向量的共線得到，再利用二倍角公式以及弦化切得結(jié)果；（2）根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)公式以及輔助角公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求值域.【小問1詳解】與共線即【小問2詳解】所以當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又所以函數(shù)的值域?yàn)?8.在等腰梯形中，為線段中點(diǎn)，與交于點(diǎn).（1）求的值；（2）求的余弦值；（3）求與的面積之比.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用基底表示即可；（2）先用模長公式求出和，再利用向量的夾角公式求解；（3）設(shè)，再利用基底表示，再利用三點(diǎn)共線得出系數(shù)和為1，即可求出，進(jìn)而求出，將面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比即可.【小問1詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，因，則四邊形為邊長為2的菱形，又，則為等邊三角形.則【小問2詳解】，所以.【小問3詳解】設(shè)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以即因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所?9.在中，為鈍角，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，線段交線段于點(diǎn).（1）若，求；（2）在（1）條件下，求的最大值；（3）設(shè)，求的最小值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由，根據(jù)垂直向量數(shù)量積為，展開得到，同理，所以是三角形外心.再利用圓周角與圓心角關(guān)系得.通過，結(jié)合夾角余弦值列出方程求出.（2）設(shè)，對先平方再開方，利用向量數(shù)量積運(yùn)算