高中數(shù)學(xué)：歷年高考中的“等差數(shù)列”試題

2010--2018高考真題分類——等差數(shù)列

一、選擇題

1.（2018全國卷I）記S,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若3s3=S2+S「

4=2,則as=

A.-12B.-10C.10D.12

2.（2017新課標(biāo)I）記S”為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和.若%+%=24,

S?=48,則｛4｝的公差為

A.1B.2C.4D.8

3.（2017新課標(biāo)川）等差數(shù)列5”｝的首項為1,公差不為0.若%，%，4

成等比數(shù)列，則｛4｝前6項的和為

A.-24B.-3C.3D.8

4.（2017浙江）已知等差數(shù)列｛凡｝的公差為d,前〃項和為S“，則“d>0”

un

是S4+Sb>2S5的

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2016年全國D已知等差數(shù)列｛%｝前9項的和為27,%0=8,則為??=

A.100B.99C.98D.97

6.（2015重慶）在等差數(shù)列｛q｝中，若的=4，%=2,則《,=

A.-1B.0C.1D.6

7.（2015浙江）已知｛凡｝是等差數(shù)列，公差d不為零，前〃項和是S”.

若小,4,為成等比數(shù)列，則

A.axd>0,dS4>0B.axd<0,dS4<0

C.a｝d>0,dS4<0D.axd<0,dS4>0

8.（2014遼寧）設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為d,若數(shù)列｛2研％｝為遞減數(shù)列，則

A.</<0B.d>0C.a^d<0D.a^d>0

9.（2014福建）等差數(shù)列｛q｝的前〃項和S",若q=2,S3=12,則&=

A.8B.10C.12D.14

10.（2014重慶）在等差數(shù)列｛a“｝中，q=2,%+牝=1°，則%=

A.5B.8C.10D.14

11.（2013新課標(biāo)I）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前n項和為S,，S“i=-2,S,“=0,

Sm+1=3,則加=

A.3B.4C.5D.6

12.（2013遼寧）卜面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列｛4｝的四個命題：

四：數(shù)列｛叫是遞增數(shù)列；外：數(shù)列卜七｝是遞增數(shù)列；

p、:數(shù)列［%］是遞增數(shù)列；0：數(shù)列｛為+3〃"｝是遞增數(shù)列：

n

其中的真命題為

A.Pi，PaB.Py,p4C.p?，P3D.P4

13.（2012福建）等差數(shù)列｛%｝中，。1+%=10,%=7，則數(shù)列｛<｝的公

差為

A.1B.2C.3D.4

14.（2012遼寧）在等差數(shù)列｛4｝中，已知久+%=16,則該數(shù)列前11項和S“=

A.58B.88C.143D.176

15.（2011江西）設(shè)｛4｝為等差數(shù)列，公差d=-2,S”為其前〃項和，

若Ro=$?,則q=

A.18B.20C.22D.24

16.（2011安徽）若數(shù)列｛q,｝的通項公式是

a?=（-1）"（3/?-2）,則4+。2+…+，％=

A.15B.12C.-12D.-15

16.（2011天津）已知｛%｝為等差數(shù)列,其公差為-2,且%是%與%的等

比中項,S,為｛凡｝的前〃項和，〃則品,的值為

A.-110B.-90C.90D.110

18.（2010安徽）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和5〃=/,則怎的值為

A.15B.16C.49D.64

二、填空題

19.（2018北京）設(shè)應(yīng)｝是等差數(shù)列，且q=3,%+&=36,則｛4｝的通項

公式為

20.（2018上海）記等差數(shù)列｛〃”｝的前幾項和為S”，若%=0，4+%=14,

則S7=.

21.（2017新課標(biāo)H）等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”,%=3,54=10,則

22.（2015廣東）在等差數(shù)列｛4｝中，若%+4+/+4+%=25，則

的+%=?

23.（2014北京）若等差數(shù)列｛a,J滿足%+怎+%>（）,a7+a10<0,則當(dāng)

n=_時｛4｝的前n項和最大.

24.（2014江西）在等差數(shù)列｛%｝中，q=7,公差為d,前〃項和為S”，

當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時S”取最大值，則d的取值范圍.

25.（2013新課標(biāo)2）等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S”已知$0=0，Rs=25,

則〃S”的最小值為一.

26.（2013廣東）在等差數(shù)列｛q｝中，已知生+4=1°，則3%+的=?

27.（2012北京）已知｛%｝為等差數(shù)列，S.為其前〃項和.若勾=；,S?=。3，

2

貝|J4=;S“=.

28.（2012江西）設(shè)數(shù)列｛%｝：｛%｝都是等差數(shù)列，若q+4=7,q+4=21,

貝I」05+65=-

29.（2012廣東）已知遞增的等差數(shù)列｛%｝滿足q=l,q=a；-4,則

30.（2011廣東）等差數(shù)列｛%｝前9項的和等于前4項的和.若q=l,

4+。4=。，貝Uk=.

三、解答題

31.（2018全國卷U）記邑為等差數(shù)列｛%｝的前八項和，已知％=-7,

S3=-15.⑴求｛4｝的通項公式；⑵求S”，并求S”的最小值.

32.（2016年山東高考）已知數(shù)列｛《,｝的前n項和S“=3〃2+8〃，｛2｝是等

差數(shù)列，且4="+%].（I）求數(shù)列｛友｝的通項公式；

（nn+,

（II）令a—+.求數(shù)列｛6｝的前”項和心

出+2）"IJ

33.（2015四川）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和5“=2%一為，且qg+L%成等

差數(shù)列.（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式：

（2）記數(shù)列｛」■｝的前〃項和（,，求得|。-1|<正言成立的〃的最小值。

34.（2015湖北）設(shè)等差數(shù)列也,｝的公差為d,前〃項和為邑，等比數(shù)列也J的

公比為q.已知&=《，b2=2,q=d,5Kl=100.

（I）求數(shù)列｛a.｝，痣｝的通項公式;

（II）當(dāng)d>l時,記％=土，求數(shù)列｛7｝的前〃項和7；.

b

35.（2014新課標(biāo)1）已知｛4｝是遞增的等差數(shù)列，%,%是方程

%2一5*+6=0的根.

（1）求｛?！保耐椆剑海?【）求數(shù)列的前〃項和.

36.（2014新課標(biāo)1）已知數(shù)列｛”“｝的前〃項和為S“,471=1.。"#0,

a”%+】=4S,一l,其中尤為常數(shù)?

（I）證明：。“+2一。”=2：

（II）是否存在義，使得｛Q”｝為等差數(shù)列？并說明理由.

37.（2013新課標(biāo)1）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和S”滿足y=0,工=-5.

（I）求｛4｝的通項公式；

（H）求數(shù)列｛一!—｝的前〃項和.

a2n-\a2n^\

參考答案

2010--2018高考真題分類-----等差數(shù)列

1.B【解析】通解設(shè)等差數(shù)列5“｝的公差為d,???3S3=S2+S-

3x24x33

：?3(3%+:--d)=2a,+4+4%+——-d,解得d=——為，

222

,:4=2,/.d=—3,.'?%=〃]+4d=2+4x(—3)=—10.故選B.

優(yōu)解設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，???3邑=$+S4.

3x2

:.3s3=S3-。3+S3+%，:.$3=。4-，:、3q+-2"=d，

4=2,，d=-3,?'.4=q+44=2+4x(-3)=—10.故選B.

2.C【解析】解法■由￡=3(q+。6)=3(/+。4)=48,得。3+。4=16,

由(4+%)一(/+4)=8，得%—%=8,設(shè)公差為4,即2d=8,"=4.

2a"I"7d24

解法二設(shè)公差為d,則有，解得"=4,故選C.

6al+15d=48

3.A【解析】設(shè)｛《｝的公差為"(1工0),由，得

6x5

(l+2d)2=(l+d)(l+5")，所以"=-2,S=6x1+——x(-2)=-24

2

4.C【解析】??,(5fi-55)-(5S-5,)=a6-as=d,當(dāng)d>0,可得

n

S4+S6>2s、；當(dāng)S4+S6>2S5,可得d>0.所以“d>0”是“S4+S6>2S5

充分必要條件，選C.

5.C【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,因為｛%｝為等差數(shù)列，且

'=9牝=27，所以牝=3.又％o=8,解得5〃=々0-%=5,所以d=l,

所以。仙=a5+95d=98,選C.

6.B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得4=2%-%=2x2—4=0,選B%=2.

7.8【解析】由生,%,4成等比數(shù)列可得：(％+3")2=(q+2")而|+7〃)，

即36+54=0,所以4=-』〃，所以。圖<0.

1131

2

又dS」==2(2a1+3d)d=-1t/<0.

8.C【解析】?.?數(shù)列｛2咿"｝為遞減數(shù)列,

a\an~a\[a\+(〃一1)67]=〃0〃+《(。]一d)，等式右邊為關(guān)于"的一次函數(shù)，

%d<0.

9.C【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則S]=3q+3d，所以

12=3x2+34,解得d=2,所以。6=12.

10.B(解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得q+%=%+%，因為,=2，%+%=10，

所以%=8,選B.

11.C【解析】有題意知S,“=￥(匕二,墟=o,Q=_《=_(s,“_S“r)=—2,

rnIwtfrjrjf—i

5+產(chǎn)S"-Sm=3,...公差d=4”“一品=1,.言=?！氨?-2+加，

加=5,故選C.

12.D【解析】設(shè)an=%+(n-1)J=dn+m,所以p1正確：如果an=3n-12

則滿足已知，但〃a”=3/一12〃并非遞增所以P?錯：如果若郁=〃+1,

則滿足己知，但幺?=1+1,是遞減數(shù)列，所以23錯：

nn

a押+3〃d=4dn+m.所以是遞增數(shù)列，pA正確.

13.B【解析】由題意有a1+a5=2a3=10,4=5,又：%=7,4-%=2.

d—1.

14,B【解析】久+6=24=164=8,而S]]="")=11。6=88,

15.B【解析】由$0=S”，得a”=。|一§0=0,

a]=?ll+(l-ll)J=0+(-10)x(-2)=20.

,,,l0--

16.A【解析】<?|+<7,+,??->-<7|0=-1+4—7+10++(—l)(3x102)

=(-l+4)+(-7+10)+---+[(-l)9-(3x9-2)+(-l),t,-(3xl0-2)]=15

17.D【解析】因為%是％與%的等比中項，所以婚=“必，又數(shù)列｛4｝的

公差為一2,所以(4一12)2=(《一4)(6一16),解得q=20,

故a“=20+(〃-l)x(-2)=22-2”，

所以，°=1%°)=5x(20+2)=110.

18.A【解析】%o=S8o—S?r=64—49=15.

19.14[解析】解法一設(shè)｛an｝的公差為d,首項為q,則

4+24=0fa.=—47x6

1，解得，1，所以$7=7x(-4)+=x2=14.

q+5d+q+6d=14[d=22

解法二2a3+7d=14,所以d=2.故a4=ay+d=2,故

S7=7a4=7x2=14.

20.a“=6〃-3【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為"，

a,+%=a\+”+q+4</=6+5J=36,

d=6,a”=3+(〃-1)?6=6〃-3.

q+2d=3

21.衛(wèi)-【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為q,公差為“，則<

〃+1'也+答】。'

解得q=1，<7=1.

n(n-\),n(n+1)所以,2

Sn=na｛4------xd------弓-占)，

22S.A(A+1)

八、/、

所以Z1=2—[(r1-彳I)+(彳1一])/+…I+(--------)]=2c(/1t----1=-2-〃?

MS*223nn+1n+1n+1

22.10【解析】由a；+q+%+4+。？=25得5as=25?所以=5,

Afta2+ag=2a5=10.

23.8【解析】:?數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列，且q+4+%=%>0,4>0.又

?7+ain=+ag<0,/.a9<0.當(dāng)〃=8時，其前〃項和最大.

7

24.(-1,--)【解析】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)〃=8時S”取最大值，可得

J<0

7

4%>o,解得-i<“<--.

8

。9<0

25.一49【解析】設(shè)｛為｝的首項為q,公差d,由S1o=(),兒=25,得

[2a,+9d=021/,八

《'，解得q=-3,"=一，=一(〃3-1("),

[3a,+2W=5'3"3V)

設(shè)/(〃)=：(/T。//),/(〃)=〃，-乎?，

2070

當(dāng)0<〃<§時當(dāng)〃>丁，/'(〃)>0,由〃G”，

當(dāng)〃=6時，/(6)=*6、一I0X36)=-48

32

當(dāng)”=7時,/(n)=-(7-10x7)=-49

〃=7時,畤，取得最小值-49.

26.20【解析】依題意2q+9d=10,

所以3%+%=3(。1+4d)+q+6d=4q+18d=20.

或：3a5+%=2(%+%)=20

27.1,【解析】設(shè)公差為d,則2q+d=q+2d,把代入得

42

d=—,a,=1?S=—//(?+1)

2-"4

28.35【解析】(解法一)因為數(shù)列｛4｝,｛"｝都是等差數(shù)列，所以數(shù)列

也是等差數(shù)列.故由等差中項的性質(zhì)，得

(%+4)+(卬+々)=2(%+々)，即(％+4)+7=2X21,

解得4+々=35.

(解法二)設(shè)數(shù)列｛。"｝,｛"｝的公差分別為4,4,因

+b、=(4+24)+(b、+2d2)

=(a]+/4)+2(4+d2)=7+2(4+4)=21

所以4+4=7.所以/+4=(/+4)+2(4+&)=35.

29.an=2z?-1【解析】q=1,%-4=1+24na+d)]—4

od=2o%=2〃-1

30.10【解析】設(shè)｛《J的公差為4,由S“=S4及q=l,

a?4x31

得9xl+=xd=4xl+=d,所以"=一上.乂4+%=(),

226

所以口+(4+[1+(4_1)X(_L)]=0，即4=1().

66

31.【解析】⑴設(shè)｛%｝的公差為d,由題意得3q+3d=-15.

由q=-7得d=2.所以｛《,｝的通項公式為a“=2〃-9.

⑵由⑴得S”=/-8〃=(“一4了一16.

所以當(dāng)〃=4時，S”取得最小值，最小值為-16.

32.【解析】(I)因為數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=3〃2+8〃，所以?=11,

當(dāng)〃22時，a“=S?-S“_[=3n2+8〃-3(w-l)2-8(〃-1)=6〃+5,

又。“=6〃+5對〃=1也成立，所以?！?6〃+5.

又因為｛，｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則勺=“+4+|=2'+".

當(dāng)〃=1時，24=11-4；當(dāng)〃=2時，2b2=\：-d,

解得d=3,所以數(shù)列｛4｝的通項公式為bn==3?+l.

("心當(dāng)?shù)?(3〃+3)2”

于是q=6-22+9"+12T+…+(3〃+3>2”+、兩邊同乘以2,得

27；=6?2,+9?24+…+(3〃)?2"+,+(3〃+3)-27，

兩式相減，得

-7；,=6-22+3-23+3-24+?--+3-2n+,-(3/7+3)-2n+2

=3-22+3-2~(1-2^-(3/7+3)-2^2

2+22

Tn=-12+3-2(1-2")+(3n+3)-2"=3n-2"+.

35.【解析】（I）方程x2-5x+6=0的兩根為2,3,由題意得%=2,%=3.

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,則（-&=2d,故d=L從而q=之，

22

所以｛q｝的通項公式為4=;〃+1.

（II）設(shè)的前〃項和為s.，由（I）知土=2芋，則

[2n）2"2"1

34?+1n+2I34〃+1〃+2

=+++-_+-

^r^r-^y7n，3sli=>+>+…+y^r+y^-

兩式相減得

13.11.〃+231nI.rt+2

只"=i+（h”.+M）一^~=：+i（一^）一^-.

〃+4

所以s”=2

36?【解析】（I）由題設(shè)，?！?川=4S“—1M用%,2=2S〃.「1.

兩式相減得q“q,+2-。）=及心由f勺+產(chǎn)0，所以4,+2一勺=九

（11）由題設(shè)，q=1,qa,=4S1—1,可得出=4一1.

由（I）知，4=）+1,令2a2=%+%，解得4=4.故勺.2=4=4,可得

｛。2"-1｝是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，。21=4〃-3；

｛%"｝是首項為3,公差為4的等差數(shù)列，=4n-l.

所以4=2〃-1,。“_］一%=2.|因此存在a=4,使得數(shù)列｛（｝為等差數(shù)列.

37.【解析】（I）設(shè)｛%｝的公差為d,則S“=〃q+約pd.

[3a,+3t7=0,"“4a

,.\解得q=l,d=—1.

由已知可得[5q+10d=—5,1

故｛<｝的通項公式為a“=2-〃.

2）由（I）知——!—=------!-------=-（―!---------!—）

%>-必2"+1（3-2//）（1-2?）22n-32n-l

從而數(shù)列1―!—\的前〃項和為

.°2"-陷2"+1.

1111111、n

一（Z——+-+???+------------------1=-------.

2-11132〃-32n-l\-2n

38.【解析】（I）因為數(shù)列｛?！埃墓頳=l,且l,q,生成等比數(shù)列，

所以靖=］x（q+2）,即2=0,解得4=-1或q=2.

（H）因為數(shù)列｛q｝的公差"=1,且S5>4%,

所以5q+10>q2+8q；即可2+3/一10<0,解得一5<々<2

39.【解析】（I）設(shè)｛叫的公差為d,由題意，

即（q+104/=q（q+12d）于