北師大初一數(shù)學(xué)《完全平方公式與整式的除法》基礎(chǔ)提高鞏固練習(xí)+知識講解

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號：年級：七年級課時數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課主題第04講--完全平方公式與整式的除法

授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

①理解完全平方公式，了解完全平方公式的幾何背景，會靈活運用完全平方公式進

教學(xué)目標(biāo)行計算。

②掌握整式的除法法則，能夠準(zhǔn)確計算整式乘法的計算題；

授課日期及時段

T(Textbook-Based)后1少1果早

體系搭建

一、知識框架

完全平方公式

完全平方公式?完全平方公式幾何意義

「完全平方公式應(yīng)用

完全平方公式與整式的除法

單項式除以單項式

整式的除法

多項式除以單項式

二、知識概念

(-)完全平方公式

1、完全平方公式：3+力)2=。2+為必十力2

(a-Z?)2=層-2ab+廬

即兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，這兩個公式

稱為完全平方公式。

完全平方公式的特點：

(1)兩個公式的左邊都是一個二項式的完全平方的形式，二者僅有一個“符號”不同；

(2)兩個公式的右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊兩項式中每一項的平方，中間一項是左邊二

項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同；

（3）公式中的a,b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式。

（4）完全平方公式的變形公式：①〃2+扇=（。+與2_2"②J+廬=（。一人）2+2ab

③2H?=(a+Z?)2一(。2+人2)@(^+b)^=(<2—b)^+4ab⑤(a—。)2=(q+b)2—4a〃

2、完全平方公式的幾何意義

①如右圖2中，一方面大正方形面積為（a+b）2,另一方面大正方形面積可看做

四個部分的面積之和，則有（a+〃）2=a2+ab+ab+廬=J+2ab+群

②如右圖1中，左下角正方形面積為（〃-份2,另一方面它的面積可看做大正方

形減去其余三塊部分的面積，則有

（a-by=a-（a-b）?b-（a-b）?b-b=cr-2ah+b￡

3、完全平方公式的應(yīng)用。完全平方式：形如（〃+加2或者（〃一32的叫做完全平

方式。完全平方公式一般運用在化簡求值，找規(guī)律簡便計算中等。會涉及完全平方

公式的變形公式。

（-）整式的除法

1、單項式除以單項式法則：把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除后，作為商的因式；對于

只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。

2、多項式除以單項式法則：先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所有的商相加。

典例分析

考點一：完全平方公式

例1、下列計算正確的是()

A.(a+2b)(a-2b)=a2-2b2B.(2x+3)2=4X2+9

C.(a-4b)2=a2-8ab+4b2D.(-y-5)2=y2+10y+25

【解析】D

例2、(1)已知a+b=-5,ab=-6,求（a-b）2的值

(2)已知a(a-I)-(a2-b)=-5,求工(a2+b2)-ab的值

2

(3)(1)已知a+b=3,ab=-2,求a2-b2和a2-ab+b2的值

【解析】(1)解：,.,a+b=-5,ab=-6

/.(a-b)2=(a+b)2-4ab=(-5)2-4X(-6)=49

(2)解:Va(a-I)-(a2-b)=-5

..a--a-a+b=b-a=-5

(a2+b2)-ab

2

=1(a2+b2-2ab)(b-a)2=lx(-5)2二至

2222

(3)解：a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2X(-2)=13

a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=32-3X(-2)=15

例3、計算：

(1)2(x-y)2-(2x+y)(-y+2x)(2)(x2+4)2-I6x2(3)(x+y)2-(x-y)2

(4)(4x2-y2)[(2x+y)2+(2x-y)2](5)(x-y)2(x+y)2(x2+y2)2(6)(2x+y-1)2

[解析](1)原式=-2x2-4xy+3y2(2)原式=(x+2)2(x-2)2

(3)原式=4xy(4)原式=32x4-2y4

(5)原式=x8-2x4y4+y8(6)原式=4x2+4xy-4x+y2-2y+l

例4、閱讀下列解答過程：

已知：xWO,且滿足x?-3x=l.求：的值

解：,.,X2?3X=1,Ax2-3x-1=0

x-3_—=0?即x—-=3

XX

；?x2+._&-)2+片32+2=11

請通過閱讀以上內(nèi)容，解答下列問題：

已知aWO,且滿足(2a+l)(1-2a)-(3-2a)2+9a2=14a-7

c12

求：⑴32心的值⑵a的值

a25a4+a2+5

【解析】解：(1)(2a+l)(1-2a)-(3-2a)2+9a2=l4a-71-4a2-(9-I2a+4a2)+9a2-I4a+7=O,

整理得：a2-2a-1=0

a--=2

a

a21號(a--)212=412=6

a2a

2r-4,2,(-

(2)解：一°的倒數(shù)為-a

5a4+/+5a2

?.?5a+5_5a2+1=5(a2+^-)+1=5X6+1=31

aaa

?,2二i

5a4+a2+5-31

例5、若4x2-(a-1)xy+9y2是完全平方式，則a=.

【解析】解：?；4x2+(a-1)xy+9y2

=(2x)2+(a-I)xy+(3y)2

(a-1)xy=±2X2xX3y

解得a-1=±12

a=l3,a=-11

例6、閱讀材料：把形如ax?+bx+c的二次三項式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方

法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2±2ab+b2=(a±b)2.

例如：(X-1)2+3、(x-2)2+2X、(lx-2)2+當(dāng)2是x?_2X+4的三種不同形式的配方(即“余項”分別是常

24

數(shù)項、一次項、二次項--見橫線上的部分).

請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：

(1)比照上面的例子，寫出x?-4x+9三種不同形式的配方；

(2)將a?+ab+b2配方(至少兩種形式)；

(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

【解析】解：(1)x?-4x+9的三種配方分別為：

X2-4X+9=(X-2)2+5

x2,-4X+9=(X-3)2+2X

X2-4X+9=(-X-3)2+-A2

39

(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab

a2+ab+b2=(a+—b)2+-^b2

24

(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4,

=(a2-ab+&2)+-3b+3)+(c2-2c+l)?

44

=(a2-ab+-i-b2)+—(b2-4b+4)+(c2-2c+l),

44

=(a-■)2+S(b-2)2+(c-1)2=0,

24

從而有a-工b=0,b-2=0,c-1=0,

2

即a=l,b=2,c=l,

a+b+c=4.

考點二：完全平方公式的幾何意義

例1、如圖（1）,是一個長為2a寬為2b（a>b）的矩形，用剪刀沿矩形的

2b

兩條對角軸剪開，把它分成四個全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一個新

的正方形，則中間空白部分的面積是（）

圖⑴圖（2）

A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2

【解析】由題意可得，正方形的邊長為（a+b）

故正方形的面積為（a+b）2

???原矩形的面積為4ab

???中間空的部分的面積=(a+b)2-4ab=(a-b)2故選C

例2、如圖，從邊長為(a+1)cm的正方形紙片中剪去一個邊長為(a-1)cm的正方形(a>l),剩余部分

沿虛線又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，則該矩形的面積是()

【解析】矩形的面積就是邊長是(a+1)cm的正方形與邊長是(a-1)cm的正方形的面積的差，列代數(shù)式

進行化簡即可.

22

解：矩形的面積是：(a+1)2?(a-1)=4a(cm),故選：C

例3、先閱讀后作答：我們已經(jīng)知道，根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以說明完全平方公式，實際上還有一些等

式也可以用這種方式加以說明，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用圖1的面積關(guān)系來說明.

①根據(jù)圖2寫出一個等式：；

②已知等式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,請你畫出一個相應(yīng)的幾何圖形加以說明.

【解析】解:①(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2：

②畫出的圖形如下：(答案不唯一，只要畫圖正確即得分)

(-4x)的結(jié)果是()

A.-3X2+2X-4B.-3x2-2x+4C.-3X2+2X+4D.3x2-2x+4

【解析】故選A

例2、若3x3+kx2+4被3x-1除后余3,則k的值為

【解析】V3x3+kx2+4被3x?1除后余3

A3x3+kx2+4-3=3x3+kx?+l可被3x-1整除

???3x-1為3x3+kx?+l的一個因式

???當(dāng)3x7=0,即3x3+kx2+l=0

3

即3X-L+kxl-+l=0

279

解得k=-10

例3、計算：

3223

(1)(8a2b-4ab2)4-(-4ab)(2)[(3a+b)2-b2]-?a(3)(6xy-9xy)4-(-/xy)

(4)(2a-b)2-(8a3b-4a2b2)4-2ab(5)(3a2b3c‘)24-(-ia2b4)

3

【解析】(1)原式=-2a+b(2)原式=9a+6b(3)原式=-18x2y+27xy2

(4)原式=b2-2ab(5)原式=-27a2b2c'

例4、(1)已知(a1nbl3+(ab2)2=a4b5(a、b均不等于1和-1),求m、n的值

(2)小白在進行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘以H型錯抄成乘以三，結(jié)果得到(3x2-5xy),

22

則第一個多項式是多少？正確的結(jié)果又該是多少？

【解析】⑴解：(am>)3+(ab2)2=a3mb3-a2b4=a3m.2b3n-4=a4b5

.e.3m-2=4,3n-4=5

m=2,n=3

(2)解：根據(jù)題意得：(3x2-5xy)-rA=6X-lOy,即第一個多項式是6x-10y,

則算式應(yīng)為(6x?10y)?史￡=3x2+3xy-5xy-5y2=3x2-2xy-5y2

2

例5、已知多項式6a2+mab-ab-10b2除以3a-2b,得商為2a+5b,求m的值

【解析】解：V(3a-2b)(2a+5b)=6a2+llab-10b2

mab-ab=11ab

Am-1=11

解得m=12

故m的值為12

P(Practice-Oriented)實戰(zhàn)演練

實戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

1、下列計算正確的是()

A.(-x-y)2=-x2-2xy-y2B.(4x+l)2=16X2+8X+1

C.(2x-3)2=4X2+12X-9D.(a+2b)2=a2+2ab+4b2

【解析】B

2、已知X2?8X+1=0,求x2+上^-2的值

【解析】已知等式變形求出X+L的值，兩邊平方求出X?+上的值，代入原式計算即可

X2

XX

解：由X2-8X+1=0,得到X+L=8

X

兩邊平方得：（x+工）2=x2+—+2=64,即X2+L=62

x22

AXX

則原式=62-2=60

3、已知(2004-a)(2002-a)=2003,求(2004-a)2+(2002-a)2的值

【解析】因為(2004-a)(2002-a)=(2003-a+1)(2003-a-1)=(2003-a)2-1=2003

即可得：(2003-a)2=2004

所以(2004-a)2+(2002-a)2

=(2003-a+1)2+(2003-a-1)2

=(2003-a)2+2(2003-a)+1-(2003-a)2-2(2003-a)+1

=2(2003-a)2+2

=2X2004+2

=4010

4、已知(x+y)2=4,(x-y)2=10>求x2+y2和xy的值

【解析】直接利用完全平方公式計算，進而將x?+y2和xy看作整體求出即可

(x+y)2=4,(x-y)2=10

Ax2+y2+2xy=4,x2+y2-2xy=I0

故2(x2+y2)=14

x2+y2=7,故7+2xy=4,

解得：xy=-l

2

5、計算:

(I)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2(2)(x+3)(x+4)-(x-1)2

(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2(4)(3x-2y)2-(4y-3x)(3x+4y)；

【解析】（1）原式=-5y-2xy+2yz(2)原式=9x+l1

(3)原式=-8x2+18y2(4)原式二18x?-12xy-12y2

6、計算：

2-65一國n+12、2二-1n2、2」_2nn\2

(1)(-12)X104-(2X10)(2)一)

2XV）?（a、y）（

3244n+12n2n2

(3)(-9a3b2)X(-4a2b3)4-(-6ab)⑷(-|ab)+(-kb)2?(-1a%)

乙13D

(5)

(2a3n)2.(f2n)3.(6廣)2+15(_

J

422243

(-a4-a)+(-2a)3a2+(-a)-ra

【解析】(1)原式=7.2X10“°(2)原式=?&xn'2yn(3)原式=1944a9b8

9

(4)原式=-%n”b2n-2(5)原式」旦整"5(6)原式=a4-7a，

545a

2.2

7、若x(y-l)-y(x-1)=4,求工—---xy的值.

2

［解析］解：*.*x(y-1)-y(x-1)=4

/.xy-x-xy+y=4

Ay-x=4

x-y=-4

2(x-y)2G4)2_

?x"y

-xy=

22--2

8、如圖所示，用1個邊長為c的小正方形和直角邊長分別為a,b的4個直角三角形，恰好能拼成一個新的

大正方形，其中a,b,c滿足等式c2=a2+b?,由此可驗證的乘法公式是()

A.a2+2ab+b2=(a+b)2B.a2-2ab+b2=(a-b)2

C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.a2+b2=(a+b)2

【解析】根據(jù)4個直角三角形的面積+小正方形的面枳=新的大正方形的面積，即可解答.

4個直角三角形的面積為：—abX4=2ab

2

小正方形的面積為：C?

Vc2=a2+b2

???小正方形的面積為：a2+b2

新的大正方形的面積為：(a+b)2

/.a2+2ab+b2=(a+b)故選：A

9、求a=工，b=-3時，代數(shù)式(-L2b③)之小(--Lab)4-(A^ab3)的值

23821

【解析】解：’?'=工，b=-3

2

原式=(-Xa2b3)2+(-Lb)-r(l^ab3)

3821

=JLa4b64-(-工ab)+(l^b3)

9821

=-(3b3)

6321

=--^2b2

6

=-JLXJLX9=-W

648

10、小明在做一個多項式除以工不的題時，由于粗心誤以為是乘以上型結(jié)果是8a%-4a3+2a2,你能知道正

222a

確的結(jié)果是多少嗎？

【解析】解：根據(jù)題意得：

原多項式=(8a4b-4a3+2a2)4---=16a3b-8a2+4a,

22r

則正確的結(jié)果是(16a%-ga2+da)-i-a-32a2b-16a+8

2

11、把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過圖形面積的計算，常?？梢缘玫揭恍┯杏玫氖阶?，或可以求出

一些不規(guī)則圖形的面積

(1)如圖1,是將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形，試用不同的方法

計算這個圖形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論，請寫出來.

(2)如圖2,是將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B、C、G三點在同一直線上，連接BD和BF,

若兩正方形的邊長滿足a+b=10,ab=20,你能求出陰影部分的面積嗎？

【解析】(1)此題根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一種可以是3個正方形的面積和6

個矩形的面積，種是大正方形的面積，可得等式(a+b+c)2=a2+b?+c2+2ab+2bc+2ac

(2)用S陰影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積-三角形BGF的面積-三角形ABD的面積求解

(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

(2)Va+b=10,ab=20,

ASisijii?=a2+b2--(a+b)?b--i-a2

22

=-i-a2+—b2--i-ab=—(a+b)2--ab

2222

=-LxiO2--^.X20=50

22

＞課后反擊

1、下列計算中，正確的是(

A.(x-1)2=x2-2x-1

2=2a~+4ab+b-

C.(3x+2)2=9X2+6X+4

2

mn+n

【解析】D

2、下列四個算式：

①4x2y4./xy=xy3；②16a6b%+8a3b?=2a2b?c；

(3)9x8y24-3x3y=3x5y；④(12m?+8m2-4m)4-(-2m)=-6m2-4m+2.

其中正確的有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【解析】①應(yīng)為4x2y44xy=16xy3,故本選項錯誤②應(yīng)為16a6b%+8a3b?=2a3b?c,故本選項錯誤

③9x8y24-3x3y=3x5y,正確④(IZnAgrr?-4m)4-(-2m)=-6m2-4m+2,正

確

所以③④兩個正確，故選C

3、計算：

(1)(x+3)(x-3)(x2-9)(2)(2x-3y)2-(4y-3x)(4y+3x)

(3)(2a+3b)2-(2a-b)(2a+b)(4)(a-2b+3c)2

884422+m,

(5)(a-b)4-(a+b)+(a+b)(6)(-2xml+5.xm+lxm-l)+(Xx)

26612

【解析】(1)原式二x4-18x2+81(2)原式=13x?-12xy-7y2

(3)原式=12ab+10b2(4)原式=a2-4ab+4b2+6ac-12bc+9c2

(5)原式=(a-b)(a+b)(6)原式=-18X2+10X+2

4、某天數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)了整式的除法運算，放學(xué)后，小明回到家拿出課堂筆記，認真地復(fù)習(xí)課上學(xué)習(xí)的內(nèi)

容，他突然發(fā)現(xiàn)一道三項式除法運算題：(21x4y3-^^+7x2y2)+(-7x2y)=/^+5xy-y.被除式

的第二項被鋼筆水弄污了，商的第一項也被鋼筆水弄污了，你能算出兩處被污染的內(nèi)容是什么嗎？

【解析】解：商的第一項^^=21x4y3：(-7x2y)=-3x2y2

被除式的第二項(-7x?y)X5xy=35x3y2

5、X2+2(a+4)x+25是完全平方式，求a的值

【解析】解：??"2+2(a+4)x+25是完全平方式

：?2(a+4)=±2X5

解得a=l或a=-9

故a的值是1或-9

6、化簡求值

(1)(x+2y)2-(x+y)(x-y),其中x=-2,y=^-

2

(2)(3a-b)2-3(2a+b)(2a-b)+3a2,其中a=?1,b=2

【解析】(I)解：(x+2y)2-(x+y)(x-y)

=x2+4xy+4y2-x2+y2=4xy+5y2

當(dāng)x=-2,y弓時

原式=4X(-2)xl+5X(-1)2=-2-5.

224

(2)解：原式=9a??6ab+b2-3(4a2-b2)+3a2

=9a2-6ab+b2-12a2+3b2+3a2

=-6ab+4b2

當(dāng)a=-1,b=2時，

原式二-6X(-1)X2+4X22=28

7、我們可以用幾何圖形來解釋一些代數(shù)恒等式，如上圖可以用來解釋(a+b)2=a2+2ab+b2

請構(gòu)圖解釋：(1)(a-b)2=a2-2ab+b2；(2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

【解析】解：(1)邊長為(a-b)的正方形的面積可以直接由正方形面積公式表示為(a勺|

-b)2,又可以用邊長為a的正方形的面積，減去2個長為a,寬為b的長方形面積，||

加上邊長為b的正方形的血積，結(jié)果用含a,b的式子表示為a?-2ab+b2；|

h-a小b,

(2)已知大正方形的邊長為a+b+c,

利用圖形的面積關(guān)系可得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

直擊中考

1>[2015武漢】運用乘法公式計算(x+3)2的結(jié)果是()

A.X2+9B.x2-6x+9C.x2+6x+9D.x2+3x+9

【解析】C

2、[2015棗莊】圖（1）是一個長為2a,寬為2b（a>b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開,

把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積

是（）

A.abB.（a+b）2C.（a-b）2D.a2-b2

【解析】解：中間部分的四邊形是正方形，邊長是a+b?2b=a-b,

則面積是（a-b）2,故選C

3.[2006寧波】長、寬分別為a,b的矩形硬紙片拼成的一個“帶孔”正方形如圖所示.利用面積的不同表示

方法，寫出一個代數(shù)恒等式

【解析】解：???大正方形的面積-小正方形的面積=4個矩形的面積，

(a+b)2-(a-b)2=4ab

ummary-Embedded)歸納總結(jié)

重點回顧

（一）完全平方公式

1、完全平方公式:(。+力2=ci^+2ab+b^

-2而十廬

即兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍，這兩個公式

稱為完全平方公式。

完全平方公式的特點：

(1)兩個公式的左邊都是一個二項式的完全平方的形式，二者僅有一個“符號”不同；

(2)兩個公式的右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊兩項式中每一項的平方，中間一項是左邊二

項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同；

(3)公式中的a,b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式。

(4)完全平方公式的變形公式：①J+岸=(々+爐一2時?a1-^h1={a-h^+2ab

?2ab=(a+b)2-(a2+b2)?(6f+Z?)2=(a-b')2+4ab@(?-Z＞)2=(a+b)1-4ab

名師點撥a?

i、完全平方公式的幾何意義

①如右圖2中，一方面大正方形面積為(〃+初2,另一方面大正方形面積可看

做四個部分的面積之和，則有(〃+匕)2=cr+ab+ab+b2=a1+2ab+b1

②如右圖1中，左下角正方形面積為3-6)2,另一方面它的面積可看做大正’

方形減去其余三塊部分的面積，則有.J~~鼻

(a-by,=々2_(a-b)?b-(a-b)?b-科=后-2ab+廬圖2

2、完全平方公式的應(yīng)用。完全平方式：形如(a+b)2或者(〃-。)2的叫做完全平方式。

學(xué)霸經(jīng)驗*PQR

＞本節(jié)課我學(xué)到了?「TH

圖1

＞我需要努力的地方是

晦

思考樂?優(yōu)學(xué)

Uniquestudy

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號：年級：七年級課時數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課主題第04講--完全平方公式與整式的除法

授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

③理解完全平方公式，了解完全平方公式的幾何背景，會靈活運用完全平方公式進

教學(xué)目標(biāo)行計算。

④掌握整式的除法法則，能夠準(zhǔn)確計算整式乘法的計算題；

授課日期及時段

T（Textbook-Based）少1^早

體系搭建

一、知識框架

完全平方公式

完全平方公式?完全平方公式幾何意義

「完全平方公式應(yīng)用

完全平方公式與整式的除法

單項式除以單項式

整式的除法

多項式除以單項式

二、知識概念

（一）完全平方公式

1、完全平方公式:（a+。）2=3+2ab+科

（4_〃）2=/-2ab+廬

即兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍，這兩個公式

稱為完全平方公式。

完全平方公式的特點:

（1）兩個公式的左邊都是一個二項式的完全平方的形式，二者僅有一個“符號”不同;

高超握分源于優(yōu)學(xué)17

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■■Uniqutstudu

(2)兩個公式的右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊兩項式中每一項的平方，中間一項是左邊二

項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同；

(3)公式中的a,b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式。

<4)完全平方公式的變形公式：@a2+b2=(a+b)2-2ab@a2-^-b2=(a-b)1+2ab

③2a〃=(a+0)2—(。2+層)@(a+Z?)^=—Z?)^+4ab?(a—b)^=(a+—4ab

2、完全平方公式的幾何意義

①如右圖2中，一方面大正方形面積為(a+b)2,另一方面大正方形面積可看做

四個部分的面積之和，則有(a+力2=+時+々〃+〃2_a2+2ab+群

②如右圖1中，左下角正方形面積為(a-力2,另一方面它的面積可看做大正方

圖2

形減去其余三塊部分的面積，則有(〃一占)2=/一(a-b)?bTa-b)，b-科=(?-2ab+b^

3、完全平方公式的應(yīng)用。完全平方式：形如(a+bp或者(a-b)2的叫做完全平

方式。完全平方公式一般運用在化簡求值，找規(guī)律簡便計算中等。會涉及完全平方

公式的變形公式。

(-)整式的除法

圖1

1、單項式除以單項式法則：把系數(shù)、同底數(shù)需分別相除后，作為商的因式；對于

只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。

2、多項式除以單項式法則：先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所有的商相加。

典例分析

考點一：完全平方公式

例1、下列計算正確的是()

A.(a+2b)(a-2b)=a2-2b2B.(2x+3)2=4X2+9

C.(a-4b)2=a2-8ab+4b2D.(-y-5)2=y2+10y+25

高發(fā)健分源于優(yōu)學(xué)18

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例2、(1)已知a+b=-5,ab=-6,求(a-b)?的值

(2)已知a(a-1)-(a2-b)=-5,求工(a2+b2)-ab的值

2

(3)(1)已知a+b=3>ab=-2?求a2^b2和a?-ab+b2的值

例3、計算:

(1)2(x-y)2-(2x+y)(-y+2x)(2)(X2+4)2-16x2(3)(x+y)2-(x-y)2

(4)(4x2-y2)[(2x+y)2+(2x-y)2](5)(x-y)2(x+y)2(x2+y2)2(6)(2x+y-1)2

例4、閱讀下列解答過程：

已知：x#0,且滿足x?-3x=l.求：的值

解：Vx2-3x=l,Ax2-3x-1=0

-x-3--=0?即xy=3

x

22

1)+2=3+2=11

高發(fā)健分源于優(yōu)學(xué)19

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■■Mfuquc

請通過閱讀以上內(nèi)容，解答下列問題：

己知aWO,且滿足(2a+l)(1-2a)-(3-2a)2+9a2=14a-7

c12

求：⑴@2心的值⑵a的值

a25a4+a2+5

例5、若4x2-(a-1)xy+9y2是完全平方式，則a=

例6、閱讀材料：把形如ax?+bx+c的二次三項式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方

法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即1±2ab+b2=(a±b)2.

例如：(x?1)2+3、(x-2)2+2X>(Lx-2)?+當(dāng)2是*2?？x+4的三種不同形式的配方(即“余項”分別是常

24

數(shù)項、一次項、二次項--見橫線上的部分).

請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：

(1)比照上面的例子，寫出x?-4x+9三種不同形式的配方；

(2)將a?+ab+b2配方(至少兩種形式)；

(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

高超握分源于優(yōu)學(xué)20

思考樂?優(yōu)學(xué)

考點二：完全平方公式的幾何意義y

2b——；--

例1、如圖（1）,是一個長為2a寬為2b（a>b）的矩形，用剪刀沿矩形的兩_____：

條對角軸剪開，把它分成四個全等的小矩形，然后按圖（2）拼成一個新的正圖（1）

圖（2）

方形，則中間空白部分的面積是（）

A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2

例2、如圖，從邊長為（a+1）cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（a-1）cm的正方形（a>l）,剩余部分

沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則該矩形的面積是（）

例3、先閱讀后作答：我們已經(jīng)知道，根據(jù)幾何圖形的面積關(guān)系可以說明完全平方公式，實際上還有一些等

式也可以用這種方式加以說明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2,就可以用圖1的面積關(guān)系來說明.

①根據(jù)圖2寫出一個等式：;

②已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）K+pq,請你畫出一個相應(yīng)的幾何圖形加以說明.

高效握分源于優(yōu)學(xué)I21

思考樂?優(yōu)學(xué)

考點三：整式的除法

例1、計算：(12x3_8X2+16X)彳(-4x)的結(jié)果是()

A.-3X2+2X-4B.-3x2-2x+4C.-3x2+2x+4D.3x2-2x+4

例2、若3x3+kx2+4被3x-1除后余3,則k的值為

例3、計算:

(1)(8a2b-4ab2)+(-4ab)(2)[(3a+b)2-b2]4-a(3)(6x3y2-9x2y3)+(-A-xy)

(4)(2a-b)2-(8a3b-4a2b2)4-2ab(5)(3a2b3c4)24-(-la2b4)

3

例4、(1)已知(am^)3+(ab2)2=a4b5(a、b均不等于1和-1),求m、n的值

(2)小白在進行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘以H型錯抄成乘以2,結(jié)果得到(3x2-5xy),

22

則第一個多項式是多少？正確的結(jié)果又該是多少？

高效握分源于優(yōu)學(xué)I22

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4、已知(x+y)2=4,(x-y)2=10,求x2+y2和xy的值

5、計算:

(1)(K+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2(2)(x+3)(x+4)-(x-1)2

(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2(4)(3x-2y)2-(4y-3x)(3x+4y)；

6、計算：

26