三角恒等變換和解三角形

1、三角恒等變換和解三角形基本知識回顧 （2009年11月19日）（3）已知，那么的值為_（答：）；（4）的值是_（答：4）；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的結(jié)果是，乙求得的結(jié)果是，對甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是_（答：甲、乙都對）2. 三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通常“切化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；镜募记捎?（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，等），如（1）已知，那

2、么的值是_（答：）；（2）已知，且，求的值（答：）；（3）已知為銳角，則與的函數(shù)關(guān)系為_（答：）(2)三角函數(shù)名互化(切化弦)，如（1）求值（答：1）；（2）已知，求的值（答：）(3)公式變形使用（。如（1）已知A、B為銳角，且滿足，則_（答：）；(2)設(shè)中，則此三角形是_三角形（答：等邊）(4)三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：，與升冪公式：，)。如(1)若，化簡為_（答：）；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_（答：）(5)式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。如（1） （答：）；（2）求證：；（3）化簡：（答：）(6)常值變換主要指“1”的變換（等），如已知，求（答：）.(7)正余弦“三兄妹

3、”的內(nèi)存聯(lián)系“知一求二”，如（1）若 ，則 _（答：)，特別提醒：這里；（2）若，求的值。（答：）；（3）已知，試用表示的值（答：）。3、輔助角公式中輔助角的確定：(其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。如（1）若方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_.（答：2,2）；（2）當(dāng)函數(shù)取得最大值時，的值是_(答：)；（3）如果是奇函數(shù)，則=(答：2)；（4）求值：_(答：32)4、求角的方法：先確定角的范圍，再求出關(guān)于此角的某一個三角函數(shù)（要注意選擇，其標(biāo)準(zhǔn)有二：一是此三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；二是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值）。如（1）若，且、是方程的兩根

4、，則求的值_（答：）；（2）中，則_（答：）；（3）若且，求的值（答：）.5、. 三角形中的有關(guān)公式： (1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：正弦定理的一些變式：；已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解.(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀. (4)面積公式：（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）.如中，若，

5、判斷的形狀（答：直角三角形）。特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化。如（1）中，A、B的對邊分別是，且，那么滿足條件的 A、 有一個解 B、有兩個解 C、無解 D、不能確定（答：C）；（2）在中，AB是成立的_條件（答：充要）；（3）在中， ，則_（答：）；(4)在中，分別是角A、B、C所對的邊，若，則_（答：）；（5）在中，若其面積，則=_（答：）；（6）在中，這個三角形的面積為，則外接圓的直徑是_（答：）；（7）在ABC中，a、b、c是角A、B、C的對邊，= ，的最大值為（答：）；（8

6、）在ABC中AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是（答：）；（9）設(shè)O是銳角三角形ABC的外心，若，且的面積滿足關(guān)系式，求（答：）兩角和與差的三角函數(shù) （2009年11月20日）例1求2sin50+sin10(1+tan10)的值.解：原式=變式訓(xùn)練1：(1)已知(,)，sin=,則tan()等于（ ）A. B.7 C. D.7 (2) sin163sin223+sin253sin313等于 （ ）A. B. C. D.解：(1)A (2)B 例2. 已知(，)，(0，),()，sin()，求sin()的值解：() (0,)(0,) (,)sin() cos()sin()cos()cos()(

7、)變式訓(xùn)練2：設(shè)cos（）=，sin（）=，且，0，求cos（+）.解：，0，.故由cos（）=，得sin（）=.由sin（）=，得cos（）=.cos=cos（）（）=cos（+）=2cos21=-1=.例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均為鈍角,求A+B的值ci.解 A、B均為鈍角且sinA=,sinB=，cosA=-=-=-，cosB=-=-=-， cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-= 又A, B,A+B2 由知，A+B=.變式訓(xùn)練3：在ABC中，角A、B 、C滿足4sin2- cos2B=,求角B的度數(shù).解 在ABC中，A+B+C=180,由4sin2-c

8、os2B=,得4-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60.例4化簡sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.解 方法一 （復(fù)角單角，從“角”入手）原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)=sin2sin2+cos2cos2-(4cos2cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-=sin2sin2+cos2sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二 （從“名”入手，異名化同名）原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2

9、cos2=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2cos2=cos2-sin2cos2-cos2cos2=cos2-cos2=-cos2=-cos2=.方法三 （從“冪”入手，利用降冪公式先降次）原式=+-cos2cos2=(1+cos2cos2-cos2-cos2)+(1+cos2cos2+cos2+cos2)-cos2cos2=.方法四 （從“形”入手，利用配方法，先對二次項(xiàng)配方）原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-cos2cos2=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2=cos2(+)-cos(2+2)=cos2(+)- 2cos2

10、(+)-1=.變式訓(xùn)練4：化簡：（1）sin+cos;(2）.解 （1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).（2）原式=1.二倍角的正弦、余弦、正切 （2009年11月21日）例1. 求值：解：原式 變式訓(xùn)練1：(cossin) （ ）A B C D 解：D例2 已知為銳角，且，求的值. 解：為銳角變式訓(xùn)練2：化簡：解：原式1例3已知；(1) 求的值； (2) 設(shè)，求sin的值解：（1）（2）16sin224sin110 解得 故變式訓(xùn)練3：已知sin()，求cos()的值解：cos(2)2cos2()12sin2() 1例4已知sin2 22 coscos21，(0，)，求sin、ta

11、n的值解：由已知得sin22sin2cos2cos20即(sin22cos) (sin2cos)0cos2(1sin) (2sin1)0(0，) cos0 sin12sin1 sin tan變式訓(xùn)練4：已知、r是公比為2的等比數(shù)列，且sin、sin、sinr也成等比數(shù)列，求、r的值解：、r成公比為2的等比數(shù)列2，r4sin、sin、sinr成等比數(shù)列即，解得cos1或當(dāng)cos1時，sin0與等比數(shù)列首項(xiàng)不為零矛盾故cos1舍去當(dāng)時，20,2 或或簡單的三角恒等變換 （2009年11月22日）例1： 不查表求值= 例2：已知（1）求的值；（2）求的值解析：（1）由, ， （2） 原式 【名師指引

12、】給式求值一般從分析角的關(guān)系入手.例3. (福建省師大附中2008年高三上期期末考試)設(shè)向量，若，求的值?！窘忸}思路】先進(jìn)行向量計算,再找角的關(guān)系.解析:【名師指引】三角與向量是近幾年高考的熱門題型,這類題往往是先進(jìn)行向量運(yùn)算,再進(jìn)行三角變換、例4(2007四川 )已知,()求的值.（）求.【解題思路】由同角關(guān)系求出再求；又結(jié)合角的范圍定角。解析（）由，得，于是（）由，得又，由得：,所以【名師指引】本題考察三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號，已知三角函數(shù)值求角以及計算能力。例題5：（08湖北卷16）已知函數(shù)（）將函數(shù)化簡成（，）的形式；（）求函數(shù)的值域.本小題主要考查函數(shù)的定義域、值

13、域和三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查三角恒等變換、代數(shù)式的化簡變形和運(yùn)算能力.（滿分12分）解：（）（）由得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又（當(dāng)），即故g(x)的值域?yàn)槔?：:證明tantan【解題思路】細(xì)心觀察已知等式中的角，發(fā)現(xiàn)它們有隱含關(guān)系：2x，xx sinxsincoscossin 又cosxcos2x2coscos即得：tantan.【名師指引】三角恒等式的證明在高考中出現(xiàn)較少,方法與化簡類似.例題7：.(2009山東卷理)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sinx.(1) 求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期.(2) 設(shè)A,B,C為ABC的三個內(nèi)角，若cosB=，且

14、C為銳角，求sinA.解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=所以函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期. （2）=, 所以, 因?yàn)镃為銳角, 所以,又因?yàn)樵贏BC 中, cosB=, 所以 , 所以 .【命題立意】:本題主要考查三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角形中的三角關(guān)系.例題8：(2009山東卷文)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2在處取最小值.（1）求.的值;（2）在ABC中,分別是角A,B,C的對邊,已知,求角C.解: （1） 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在處取最小值，所以,由誘導(dǎo)公式知,因?yàn)?所以.所以 （2）因?yàn)?所以,因?yàn)榻茿為ABC的內(nèi)角,所

15、以.又因?yàn)樗杂烧叶ɡ?得,也就是,因?yàn)?所以或.當(dāng)時,;當(dāng)時,.【命題立意】:本題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì),并利用正弦定理解得三角形中的邊角.注意本題中的兩種情況都符合.解三角形 （2009年11月23日）例題2：2009全國卷理）在中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且 求b 分析:此題事實(shí)上比較簡單,但考生反應(yīng)不知從何入手.對已知條件(1)左側(cè)是二次的右側(cè)是一次的,學(xué)生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2) 過多的關(guān)注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學(xué)生還想用現(xiàn)在已經(jīng)不再考的積化和差,導(dǎo)致找不到突破口而失分.解法一：在中則由正弦定理

16、及余弦定理有:化簡并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。所以又，即由正弦定理得，故由，解得。評析:從08年高考考綱中就明確提出要加強(qiáng)對正余弦定理的考查.在備考中應(yīng)注意總結(jié)、提高自己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運(yùn)用能力.另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，不必三角恒等變換和解三角形測試題一、選擇題1. 已知，則（ ）A. B. C. D. 2. 函數(shù)的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 3. 在ABC中，則ABC為（ ）A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 無法判定4. 設(shè)，則大小關(guān)系（ ）A. B. C. D. 5. 函數(shù)

17、是（ ）A. 周期為的奇函數(shù) B. 周期為的偶函數(shù)C. 周期為的奇函數(shù) D. 周期為的偶函數(shù)6. 已知，則的值為（ ）A. B. C. D. 7. 在ABC中，若，則等于（ ）A. B. C. D. 8. 若為ABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（ ）A. B. C. D. 9. 在ABC中，角均為銳角，且則ABC的形狀是（ ）A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰三角形 10. 等腰三角形一腰上的高是，這條高與底邊的夾角為，則底邊長為（ ）A. B. C. D. 11. 在中，若，則等于（ ）A. B. C. D. 12. 邊長為的三角形的最大角與最小角的和是（

18、 ）A. B. C. D. 二、填空題1. 求值：_. 2. 若則 .3. 函數(shù)的最小正周期是_. 4. 已知那么的值為 ,的值為 . 5. 的三個內(nèi)角為、，當(dāng)為 時，取得最大值，且這個最大值為 . 6. 在ABC中，則的最大值是_. 7. 在ABC中，若_. 8. 在ABC中，若_. 9. 在ABC中，若，則_. 10. 在ABC中，則的最大值是_. 三、解答題1. 已知求的值. 2. 若求的取值范圍. 3. 求值：4. 已知函數(shù)（1）求取最大值時相應(yīng)的的集合；（2）該函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸變換可以得到的圖象. 5. 在ABC中，若則ABC的形狀是什么？6. 在ABC中，求證：7. 在銳角ABC中，求