北京市昌平區(qū)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）（通用）

1、昌平區(qū)20202020學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知集合，則集合（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集的定義求解即可.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了求兩個(gè)集合的并集，屬于基礎(chǔ)題.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】C【解析】【詳解】試題分析：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限，故選C.考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算；2.復(fù)數(shù)的幾何意義3.已知命題：，那么命題為（ ）A. ，B. ，C

2、. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】由全稱命題的否定的定義即可求解.【詳解】命題，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)，且，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取特殊值排除A，B，C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出正確答案.【詳解】對(duì)A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B項(xiàng)，取，時(shí)，不滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)C項(xiàng)，取，時(shí)，不滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)D項(xiàng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故D正確;故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由點(diǎn)是函數(shù)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在函數(shù)圖像上

3、，列出方程，即可得到正確答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)是函數(shù)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在函數(shù)的圖像上即所以函數(shù)的解析式為：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬于中檔題.6.已知向量若與共線，則實(shí)數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，解得：故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量共線求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.7.已知雙曲線的離心率為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出，根據(jù)離心率列出等式求解即可.【詳解】，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以 解得：故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知離心率求雙曲線方程，屬

4、于基礎(chǔ)題.8.某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖，結(jié)合棱柱的體積公式即可求解.【詳解】該三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖是三棱柱，如下圖所示所以 故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知三視圖求幾何體體積，屬于中檔題.9.設(shè)為非零向量，則“，”是“”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算性質(zhì)不等式的性質(zhì)證明充分性以及必要性即可.【詳解】證充分性所以，即充分性成立證必要性因?yàn)樗?，即則向量反向，即存在，使得由，則所以，即必要性成立所以

5、 “，”是“”的充分必要條件故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明充分必要條件等，屬于中檔題.10.為配合“2020雙十二”促銷活動(dòng)，某公司的四個(gè)商品派送點(diǎn)如圖環(huán)形分布，并且公司給四個(gè)派送點(diǎn)準(zhǔn)備某種商品各50個(gè).根據(jù)平臺(tái)數(shù)據(jù)中心統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，需要將發(fā)送給四個(gè)派送點(diǎn)的商品數(shù)調(diào)整為40，45，54，61，但調(diào)整只能在相鄰派送點(diǎn)進(jìn)行，每次調(diào)動(dòng)可以調(diào)整1件商品.為完成調(diào)整，則（ ）A. 最少需要16次調(diào)動(dòng)，有2種可行方案B. 最少需要15次調(diào)動(dòng)，有1種可行方案C. 最少需要16次調(diào)動(dòng)，有1種可行方案D. 最少需要15次調(diào)動(dòng)，有2種可行方案【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得出有兩種可行的方案，即可得出正確選項(xiàng)

6、.【詳解】根據(jù)題意A，B兩處共需向C，D兩處調(diào)15個(gè)商品，這15個(gè)商品應(yīng)給D處11個(gè)商品，C處4個(gè)商品，按照調(diào)動(dòng)次數(shù)最少的原則，有以下兩種方案：方案一：A調(diào)動(dòng)11個(gè)給D，B調(diào)動(dòng)1個(gè)給A，B調(diào)動(dòng)4個(gè)給C，共調(diào)動(dòng)16次；方案二：A調(diào)動(dòng)10個(gè)給D，B調(diào)動(dòng)5個(gè)給C，C調(diào)動(dòng)1個(gè)給D，共調(diào)動(dòng)16次；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生的推理能力，屬于中檔題.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分11.在的展開式中，的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）【答案】40【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開定理求解即可.【詳解】展開的通項(xiàng)為 時(shí)，此時(shí)的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.12

7、.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中, ,則_ .【答案】9【解析】【分析】求出公比，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為因，所以 ，解得(舍)， ，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.13.拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于4，則=_；點(diǎn)的坐標(biāo)為_ .【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，根據(jù)拋物線的定義求出點(diǎn)M坐標(biāo)即可.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以設(shè)點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義得：，解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：2；【點(diǎn)睛】本題主要考查了求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及考查了拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.14.在中, ,則_【答案】【解析】【分析】

8、根據(jù)正弦定理角化邊以及余弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理可得由余弦定理可得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理角化邊以及余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.15.2020年11月5日，第二屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在國(guó)家會(huì)展中心（上海）開幕，共有155個(gè)國(guó)家和地區(qū)，26個(gè)國(guó)際組織參加.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企業(yè)參加某主題展覽活動(dòng)，每個(gè)企業(yè)一個(gè)展位.在排成一排的6個(gè)展位中，甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)兩兩互不相鄰的排法有_ 種.【答案】144【解析】【分析】先安排丁、戊、己，利用插空法得出甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)兩兩互不相鄰的排法.【詳解】先安排丁、戊、己共有種再安排甲、乙、丙，插入四個(gè)空位中，共有種則甲、乙、丙三個(gè)

9、企業(yè)兩兩互不相鄰的排法有，故答案為：144【點(diǎn)睛】本題主要考查了不相鄰的排列問(wèn)題，屬于中檔題.16.已知函數(shù).的最大值為_ ；設(shè)當(dāng)時(shí)，取得最大值，則_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由輔助角公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)得到的最大值；根據(jù)的結(jié)果以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求解.詳解】， (其中 ，)當(dāng)，即時(shí)，取最大值由題意可知故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦型函數(shù)的最值等，屬于中檔題.三、解答題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.17.已知等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值.【答案】（1），；（2）100【解析】【

10、分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組結(jié)合前項(xiàng)和公式求解即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)利用裂項(xiàng)求和得到，解不等式即可得到最小值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.依題意有解得 所以. （2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，即?所以.所以的最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和以及裂項(xiàng)求和，屬于中檔題.18.為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校高一、高二兩個(gè)年級(jí)共336名學(xué)生同時(shí)參與了“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動(dòng).為了了解學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況，采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取7名和5名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試.下表是高二年級(jí)的5名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)（單位

11、：個(gè)/分鐘）：（1）求高一、高二兩個(gè)年級(jí)各有多少人？（2）設(shè)某學(xué)生跳繩個(gè)/分鐘，踢毽個(gè)/分鐘.當(dāng)，且時(shí)，稱該學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.從高二年級(jí)的學(xué)生中任選一人，試估計(jì)該學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率；從高二年級(jí)抽出的上述5名學(xué)生中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3名學(xué)生中為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）196人，140人；（2）；分布列見解析，【解析】【分析】(1)按照比例求解即可；(2) 根據(jù)題意找出高二學(xué)生中的“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的個(gè)數(shù)，根據(jù)概率公式即可求解；找出可能的取值，算出相應(yīng)的概率，列出分布列，即可得到的期望.【詳解】（1）設(shè)高一年級(jí)有人，高二年級(jí)有人.采用分層抽樣，有.所以高一年級(jí)有

12、人，高二年級(jí)有人. （2）從上表可知，從高二抽取的5名學(xué)生中，編號(hào)為1，2，5的學(xué)生是“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”.故從高二年級(jí)的學(xué)生中任選一人，該學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率估計(jì)為.（3）的所有可能取值為. ,.所以的分布列為 故的期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣各層個(gè)數(shù)的求法以及求離散型隨機(jī)變量的均值，屬于中檔題.19.已知函數(shù)其中.（1）若函數(shù)的最小正周期為，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)周期公式求出的值；(2)利用求出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)列出不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)? 因?yàn)榈淖钚≌芷?/p>

13、為，即所以.（2）因?yàn)?，所?若在區(qū)間上取到最大值，只需，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由正弦型函數(shù)的周期求值以及由正弦型函數(shù)的最值求參數(shù)范圍，屬于中檔題.20.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值？若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)得出；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；(3)由，C，M三點(diǎn)共線，利用向量共線得出，利用線面垂直的判定定理證明平面，由于，不平行，則不存在棱上的點(diǎn)，

14、使得平面.【詳解】（1）在四棱錐中因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面又因?yàn)椋矫嫠云矫嬉驗(yàn)槠矫嫠裕?）取中點(diǎn)，連接因?yàn)樗砸驗(yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嬉驗(yàn)槠矫嫠云矫嫠砸驗(yàn)樗运运倪呅问瞧叫兴倪呅嗡匀鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚杂蓤D可知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為. （3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.設(shè)，則所以所以所以.所以.因?yàn)槠矫嫠云矫?所以是平面的一個(gè)法向量.若平面，則.所以因?yàn)榉匠探M無(wú)解，所以在棱上不存在點(diǎn)，使得平面.點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線面垂直證明線線垂直以及利用向量法求二面角，屬于中檔題.21.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在

15、橢圓上，焦點(diǎn)為，圓O的直徑為（1）求橢圓C及圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P，且直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)記 的面積為，證明：【答案】（1），；（2）見解析【解析】【分析】(1)利用橢圓的性質(zhì)列出方程組，即可得到橢圓C及圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)利用斜截式設(shè)出直線的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到點(diǎn)到直線的距離，將直線的方程代入橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理，得出的長(zhǎng)度，利用三角形面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）由題意，橢圓C的方程為.可得，解得所以橢圓C的方程為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓C的焦點(diǎn)為所以直徑為的圓O的方程為 （2）由題意知，直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)

16、P，設(shè)直線的斜截式方程為. 因?yàn)橹本€與圓相切，所以點(diǎn)到直線的距離為. 即. 因?yàn)橹本€與橢圓C相交于兩點(diǎn)，由，整理得， 設(shè)，則. 因?yàn)橛郑?所以.又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以設(shè)，則，則.令.則.設(shè)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓中的三角形面積問(wèn)題，屬于中檔題.22.已知函數(shù) （1）求曲線的斜率為2的切線方程；（2）證明：；（3）確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使得存在,當(dāng)時(shí),恒有【答案】（1）；（2）見解析；（3）【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)，按照點(diǎn)斜式寫出方程；(2)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可證明不等式；(3)分類討論，當(dāng)時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，根據(jù)不等式的性質(zhì)得出不滿足題意；當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明