四川大學(xué)隨機(jī)信號(hào)第四章習(xí)題解答課件

1、第四章隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度,1,學(xué)習(xí)交流PPT,4.1 功率譜密度,4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系,4.3 功率譜密度的性質(zhì),4.4 互譜密度及其性質(zhì),4.5 白噪聲與白序列,4.6 功率譜估值的經(jīng)典方法,2,學(xué)習(xí)交流PPT,4.1 功率譜密度,確定時(shí)間函數(shù),頻譜,能量,能譜密度,時(shí)域內(nèi)信號(hào)的能量等于頻域內(nèi)信號(hào)的能量,3,學(xué)習(xí)交流PPT,4.1 功率譜密度,隨機(jī)信號(hào)的能量一般是無(wú)限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推廣頻譜分析法，引入功率譜的概念。,Gx()被稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度函數(shù)，功率譜密度是從頻率角度描述隨機(jī)過(guò)程X(t)的統(tǒng)計(jì)特性的最主要的數(shù)字特征。,隨機(jī)過(guò)程,4

2、,學(xué)習(xí)交流PPT,4.1 功率譜密度,隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程X(t)的平均功率為：,功率譜密度僅表示X(t)的平均功率在頻域上的分布，不包含任何相位信息。,5,學(xué)習(xí)交流PPT,4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系,維納辛欽定理,成立條件是Rx()和Sx()絕對(duì)可積,即隨機(jī)過(guò)程平均功率有限，應(yīng)不能含有直流成分或周期性成分,6,學(xué)習(xí)交流PPT,4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系,當(dāng)=0時(shí),是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的平均功率。,可知,維納辛欽定理,7,學(xué)習(xí)交流PPT,4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系,(1)如果所遇的問(wèn)題中，平穩(wěn)過(guò)程有非零均值，這時(shí)正常意義下的付氏變換不存在，但非零均值可

3、用頻域原點(diǎn)處的-函數(shù)表示。該-函數(shù)的權(quán)重即為直流分量的功率。,我們借助于-函數(shù)，將維納-辛欽公式推廣應(yīng)用到含有直流或周期性成分的平穩(wěn)過(guò)程中來(lái)。,維納辛欽定理,(2)當(dāng)平穩(wěn)過(guò)程含有對(duì)應(yīng)于離散頻率的周期分量時(shí)，該成分就在頻域的相應(yīng)頻率上產(chǎn)生-函數(shù)。,8,學(xué)習(xí)交流PPT,4.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系,典型的傅氏變換,9,學(xué)習(xí)交流PPT,4.3 功率譜密度的性質(zhì),性質(zhì)1： 非負(fù)性， Gx()0,性質(zhì)2： GX()是實(shí)函數(shù),性質(zhì)3： Gx()是偶函數(shù)，即,性質(zhì)4：,10,學(xué)習(xí)交流PPT,4.3 功率譜密度的性質(zhì),性質(zhì)5：有理譜密度是實(shí)際應(yīng)用中最常見(jiàn)的一類(lèi)功率譜密 度，自然界和工程實(shí)際的有色噪

4、聲常?？捎糜欣砗瘮?shù)形式 的功率譜密度來(lái)逼近。它應(yīng)具有如下形式：,11,學(xué)習(xí)交流PPT,4.4 互譜密度及其性質(zhì),定義實(shí)過(guò)程X(t)和Y(t)的互譜密度函數(shù)為,互譜密度,12,學(xué)習(xí)交流PPT,4.4 互譜密度及其性質(zhì),1.,互譜密度性質(zhì),2. ReGXY()和ReGYX()實(shí)部是的偶函數(shù)； ImGXY()和ImGYX()虛部是的奇函數(shù)。,3.若平穩(wěn)過(guò)程X(t)和Y(t)相互正交，則有,13,學(xué)習(xí)交流PPT,4.4 互譜密度及其性質(zhì),4. 若隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，RXY()絕對(duì)可積， 則互譜密度和互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成傅里葉變換對(duì)，即:,14,學(xué)習(xí)交流PPT,4.4 互譜密度及其性質(zhì),5.

5、若X(t)和Y(t)是兩個(gè)不相關(guān)的平穩(wěn)過(guò)程，分別有均值mX和mY，則,6. 互譜密度的幅度平方滿(mǎn)足,15,學(xué)習(xí)交流PPT,4.4 互譜密度及其性質(zhì),相干函數(shù)用于數(shù)據(jù)分析，系統(tǒng)辨識(shí)和功率譜估計(jì),相干函數(shù)定義,16,學(xué)習(xí)交流PPT,4.5 白噪聲,利用傅立葉反變換可求得白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為：,白噪聲定義,17,學(xué)習(xí)交流PPT,4.5 白噪聲,上式表明；白噪聲在任何兩個(gè)相鄰時(shí)刻(不管這兩個(gè)時(shí)刻多 么鄰近)的狀態(tài)都是不相關(guān)的，即白噪聲隨時(shí)間的起伏變化 極快，而過(guò)程的功率譜極寬。,白噪聲特性,與連續(xù)的白噪聲過(guò)程相對(duì)應(yīng)的隨機(jī)序列則是白序列。,18,學(xué)習(xí)交流PPT,4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法,式中XN()

6、是xN(0nN1)的N點(diǎn)DFT。,1. 周期圖法,2. Blackman-Tukey(BT法),直接采用上面兩個(gè)公式的估值方法最大的問(wèn)題是這個(gè)估計(jì)量不是一致估計(jì)量，即當(dāng)N很大時(shí)，方差也不減小。,19,學(xué)習(xí)交流PPT,4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法,1. 平均法,將周期圖再加以平均,將樣本分成小段，計(jì)算周期圖,合理選擇分段方法：如修正周期圖法或Welch法,20,學(xué)習(xí)交流PPT,4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法,1. 平滑法,窗口根據(jù)實(shí)際情況選擇,將全部數(shù)據(jù)用來(lái)計(jì)算出個(gè)周期圖，然后在頻域?qū)⑵淦交?21,學(xué)習(xí)交流PPT,4.5 功率譜估值的經(jīng)典方法,譜估值的一些實(shí)際問(wèn)題,1.數(shù)據(jù)采樣率,2.每段數(shù)據(jù)的長(zhǎng)

7、度L,3.數(shù)據(jù)總長(zhǎng)度,4.數(shù)據(jù)預(yù)處理,a.把無(wú)用的直流分量和周期分量(比如市電干擾)去掉,b.處理前還應(yīng)去掉信號(hào)中的“趨勢(shì)項(xiàng)”，比如電生理記錄中的基線漂移，這可以采用一階或二階差分處理或用線性回歸，高次多項(xiàng)式回歸估算出趨勢(shì)項(xiàng)，然后再?gòu)脑瓉?lái)數(shù)據(jù)中減去的辦法來(lái)處理。,c.對(duì)數(shù)據(jù)的開(kāi)始和結(jié)尾加適當(dāng)?shù)钠交^(guò)度窗等,22,學(xué)習(xí)交流PPT,隨機(jī)信號(hào)分析基礎(chǔ) 第四章習(xí)題講解,23,學(xué)習(xí)交流PPT,4.1 解：首先了解一下功率譜密度的性質(zhì),24,學(xué)習(xí)交流PPT,它符合有理功率譜密度的性質(zhì)，所以是功率譜密度的正確表達(dá)式。,該函數(shù)不關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)，更不是偶函數(shù)，所以它不是功率譜密度的正確表達(dá)式。,25,學(xué)習(xí)交流PP

8、T,該表達(dá)式含有虛部，不是實(shí)函數(shù)，所以不是正確的功率譜密度表達(dá)式,26,學(xué)習(xí)交流PPT,4.4 解：先求出自相關(guān)函數(shù),27,學(xué)習(xí)交流PPT,4.5 解：,對(duì)上式做逆傅立葉變換可得到自相關(guān)函數(shù) 應(yīng)熟記一個(gè)重要的傅立葉變換對(duì)。,28,學(xué)習(xí)交流PPT,所以可得：,可求出均方值為：,29,學(xué)習(xí)交流PPT,4.7解：,本題與 4.5情形相反：,由維納辛欽定理并利用傅立葉變換的性質(zhì)得：,圖見(jiàn)書(shū)上表4.1,30,學(xué)習(xí)交流PPT,4.12 解：現(xiàn)已知：,基本信號(hào)的傅立葉變換：,31,學(xué)習(xí)交流PPT,由維納辛欽定理可得：,32,學(xué)習(xí)交流PPT,4.14,利用傅立葉變換的時(shí)移性質(zhì)可得：,33,學(xué)習(xí)交流PPT,4.

9、16 解：,由維納辛欽定理可得：,34,學(xué)習(xí)交流PPT,所以：,可得：,35,學(xué)習(xí)交流PPT,（3）,同理可得：,因此：,36,學(xué)習(xí)交流PPT,由題可知，該隨機(jī)過(guò)程是隨相周期過(guò)程，所以它是寬平穩(wěn)的。,首先求出該隨機(jī)過(guò)程的均值和方差：,接下來(lái)的關(guān)鍵是求出基本脈沖波形的頻譜。,4.24 解：,37,學(xué)習(xí)交流PPT,如果參考書(shū)上例4.10，認(rèn)為基本脈沖波形為如下圖：,這是錯(cuò)誤的參考，因?yàn)樵撾S相周期過(guò)程不同于例4.10所提二元信號(hào)波形，它的幅度，極性不再是隨機(jī)的，而是確定的。隨機(jī)性?xún)H僅表現(xiàn)在它的相位！,38,學(xué)習(xí)交流PPT,從另外一個(gè)角度也可以看到，前面提及的基本波形只包含半個(gè)周期，而基本脈沖波形應(yīng)包含一個(gè)周期。,有理由認(rèn)為，正確的基本脈沖波形如下所示：,39,學(xué)習(xí)交流PPT,40,學(xué)習(xí)交流PPT,有了基本脈沖波形后，可求出它的頻譜為：,將上式代入書(shū)上公式（4.7.3）可得：,41,學(xué)習(xí)交流PPT,在atlab軟件上可畫(huà)出它的圖形為：,從該圖可以看出，該隨機(jī)過(guò)程雖然是周期的，