高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的兩個(gè)側(cè)重 新人教A版必修5（通用）

1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的兩個(gè)側(cè)重摘要：本文從在思想方法的角度給出了等差數(shù)列前n項(xiàng)和兩個(gè)公式的側(cè)重點(diǎn)。 關(guān)鍵詞：等差數(shù)列 思想 前n項(xiàng)和公式我們知道，教材就等差數(shù)列前n項(xiàng)和給出了兩個(gè)公式：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和為，公差為，則 （公式一） （公式二） 這兩個(gè)公式在解決問(wèn)題時(shí)如何使用，下面舉例說(shuō)明。以下,不再說(shuō)明。一 側(cè)重于函數(shù)方程思想的公式一1 方程思想：所謂方程思想就是將題目條件運(yùn)用前n項(xiàng)和公式，表示成關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的兩個(gè)方程，通過(guò)解決方程來(lái)解決問(wèn)題。例1 已知an為等差數(shù)列，前10項(xiàng)的和S10=100，前100項(xiàng)的和S100=10，求前110項(xiàng)的和S110.剖析：方程的思想，將題目條件

2、運(yùn)用前n項(xiàng)和公式，表示成關(guān)于首項(xiàng)a1和公差d的兩個(gè)方程.解析：設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則解得S110=110a1+110109d=110.拓展：觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將公式一做如下變形：，在處理問(wèn)題是會(huì)更方便。例2 如果等差數(shù)列的前4項(xiàng)和是2，前9項(xiàng)和是，求其前n項(xiàng)和公式。解：由變形公式得： 將代入得：2 函數(shù)思想將，當(dāng)，數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)，則是關(guān)于n的二次函數(shù)，若令則。此時(shí)可利用二次函數(shù)的知識(shí)解決。例題3 設(shè)等差數(shù)列滿足，且，則的前多少項(xiàng)的和最大？解析：思路一：由3 a8=5a13得：d=a1,若前n項(xiàng)和最大，則，又a10得：，n=20,即的前20項(xiàng)和最大。這一做法為通法。思路二：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)n

3、最大。點(diǎn)評(píng)：這一做法突顯了數(shù)列的函數(shù)特征。思路三：由得,又，的圖象是開口向下的拋物線上的點(diǎn)列，對(duì)稱軸恰為，故時(shí)Sn最大。點(diǎn)評(píng)：這一做法中幾乎沒(méi)有運(yùn)算，抓住了題目條件，結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性做處理，顯得十分巧妙。二 側(cè)重于等差數(shù)列性質(zhì)的公式二1 側(cè)重于性質(zhì)：若則。有些涉及等差數(shù)列前項(xiàng)和的題目，常與等差數(shù)列的上述性質(zhì)融合在一起，將與其他條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換。例題4 一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5項(xiàng)的和為34，最后5項(xiàng)的和為146，所有項(xiàng)的和為234，則它的第七項(xiàng)等于（ ） A. 22B. 21C. 19D. 18解：設(shè)該數(shù)列有項(xiàng)且首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公差為，則依題意有 結(jié)合上述性質(zhì)可得 代入(3)有 從而有 又所求項(xiàng)恰為該數(shù)列的中間項(xiàng)， 故選D 點(diǎn)評(píng)：依題意能列出3個(gè)方程，若將作為一個(gè)整體，問(wèn)題即可迎刃而解。在求時(shí)，巧用等差中項(xiàng)的性質(zhì)也值得關(guān)注。知識(shí)的靈活應(yīng)用，來(lái)源于對(duì)知識(shí)系統(tǒng)的深刻理解。2 側(cè)重于等差中項(xiàng)利用等差中項(xiàng)，可以實(shí)施等差數(shù)列前項(xiàng)和與其通項(xiàng)的轉(zhuǎn)換：例題5 在等差數(shù)列和中，它們的