數(shù)學(xué)建模幾種創(chuàng)新思維方法

1、3.1 幾種創(chuàng)新思維方法 3.2 數(shù)學(xué)建模-問(wèn)題前期分析 示例1 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途 示例2 汽車剎車距離,第三章 數(shù)學(xué)建模方法論,數(shù)學(xué)模型(e.a.bendar 定義)： 關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目的而做的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,重要的科學(xué)思維方式之一是創(chuàng)新思維，創(chuàng)新思維是創(chuàng)新能力的核心與靈魂。,幾種創(chuàng)新思維方法,現(xiàn) 實(shí) 世 界,數(shù) 學(xué) 世 界,建立數(shù)學(xué)模型,推理演繹求解,翻譯為實(shí)際解答,實(shí)際解答：如對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的分析、預(yù)報(bào)、 決策、控制等結(jié)果。,始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界,數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁，,* 數(shù)學(xué)建模沒(méi)有普遍適用的方法與技巧.,* 有一些普遍適用的思想方法與思維方式.

2、,整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程由若干個(gè)有 明顯差別的階段性工作組成,怎樣構(gòu)架這座橋梁？,求解數(shù)學(xué)模型,實(shí)際問(wèn)題分析,建立數(shù)學(xué)模型,提交論文與報(bào)告,模型與模型解的分析及檢驗(yàn),數(shù)學(xué)建模的各階段工作,此流程 具有指導(dǎo)意義 ，應(yīng)注意,* 流程應(yīng)用是彈性的，切不能生搬硬套.,本章基本上按照此流程來(lái)介紹數(shù)學(xué)建模的方法。,* 建模過(guò)程往往是一個(gè)反復(fù)循環(huán)的過(guò)程.,數(shù)學(xué)建模過(guò)程是一種創(chuàng)新過(guò)程，在思考方法和思維方式上與學(xué)習(xí)其他課程有很大差別。,數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維,.等等.,類比思維,歸納思維,逆向思維,發(fā)散思維,猜測(cè)思維,掌握幾類方法：?jiǎn)栴}解決法、思想表達(dá)法、創(chuàng)造發(fā)明法.,方法的共同特點(diǎn)： 不輕易否定別人的意見(jiàn)， 懷疑一般常識(shí)，

3、努力發(fā)現(xiàn)別人尚未察覺(jué)的事物等,以下介紹幾種（個(gè)體和集體的）創(chuàng)造性思維方法,對(duì)于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)不可或缺,一、打開思路的方法,面對(duì)新問(wèn)題，應(yīng)盡量打開自己的思路：,發(fā)散性思維和猜測(cè)思維是創(chuàng)造性思維方式的重要組成部分,1. 不要輕易沿一條思路深入，不要輕易做出結(jié)論.,2. 盡量多一些想法，多一些猜測(cè)。,思考、思考、再思考.,幫助展開思路的方法：,關(guān)鍵詞聯(lián)想法,提問(wèn)題法,1.提問(wèn)題法,面臨難題, 束手無(wú)策時(shí)通過(guò)提出一系列問(wèn)題來(lái)導(dǎo)出一些想法或一個(gè)好的方案.,如：,(l) 這個(gè)問(wèn)題和什么問(wèn)題相類似？,(2) 假如變動(dòng)問(wèn)題的某些條件將會(huì)怎樣？,借助于一系列問(wèn)題來(lái)展開思路.,(4) 重新組合又會(huì)怎樣？,(3)

4、將問(wèn)題分解成若干部分再考慮會(huì)怎樣？,為進(jìn)一步打開思路可提以下問(wèn)題：,(5) 我們還可以做什么工作？,(6)有無(wú)需要進(jìn)一步完善的內(nèi)容？,(7) 可否換一種數(shù)學(xué)工具來(lái)解決此問(wèn)題？,針對(duì)問(wèn)題和初始方案可以先設(shè)計(jì)出類似的 問(wèn)題清單，然后反復(fù)展開。,例1 穿越公路問(wèn)題,一條公路交通不太擁擠,以致人們養(yǎng)成“沖”過(guò)馬路的習(xí)慣,不愿行走到鄰近較遠(yuǎn)處的“斑馬線”.當(dāng)?shù)亟煌ü芾聿块T不允許任意橫穿公路,為方便行人，準(zhǔn)備在一些特殊地點(diǎn)增設(shè)“斑馬線”,讓行人可穿越公路,并且還要保證行人的平均等待時(shí)間不超過(guò)15秒.,增設(shè)“斑馬線”需考慮哪些方面的問(wèn)題？,1. 考慮問(wèn)題的立場(chǎng), 司機(jī)或行人的哪方面的 利益更為重要？,公路情

5、況: 是否有彎道？車道間是否設(shè) 有安全隔離帶？,3. 車流情況：車流的密度大??？,4. 行人情況: 穿越公路的速度大小？穿越公 路的人群密度？穿越公路者的性質(zhì)？,問(wèn)題分析 此問(wèn)題的特點(diǎn)是機(jī)理復(fù)雜,受到較多隨機(jī)因素的影響, 類似于渡口模型,可采用統(tǒng)計(jì)模擬方法加以解決.,一種新產(chǎn)品剛面世，廠家和商家總是采取各種措施促進(jìn)銷售，比如不惜血本大做廣告等等.他們都希望對(duì)這種新產(chǎn)品的推銷速度做到心中有數(shù),廠家用于組織生產(chǎn)，商家便于安排進(jìn)貨.,例2 電飯煲銷售問(wèn)題,怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型描述新產(chǎn)品(電飯煲)推銷速度，并由此分析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn).,想一想 此問(wèn)題與我們遇到的哪一個(gè)建模問(wèn)題 相類似？,分析

6、 logistic人口模型，t 時(shí)刻的人口數(shù)為,t0,改寫為,數(shù)學(xué)分析,1. 若 r0，則s0，隨著 ,則,2. 若 r0，討論logistic曲線特征,n(t) 是單調(diào)上升函數(shù).,k是使得人口凈增長(zhǎng)率 r(k)=0 的人口數(shù)，可理解為該地區(qū)能容納的人口上限.,人口不會(huì)無(wú)限增長(zhǎng)，存在一個(gè)轉(zhuǎn)折時(shí)間點(diǎn)t0 ，過(guò)此點(diǎn)以后增長(zhǎng)速度會(huì)減緩。,(1) 一般每戶只需用12只電飯煲就足夠,一個(gè)地區(qū)的需求量是有限的；,電飯煲的銷售情況類似于人口增長(zhǎng)情況,可 利用類比方法建立模型.,logistic模型特點(diǎn)：初期高速增長(zhǎng)，過(guò)一個(gè)特 定時(shí)間點(diǎn)后增長(zhǎng)速度減緩，且有上界控制.,對(duì)原問(wèn)題的分析：,(2) 初期在廣告之類推

7、銷作用下銷售速度較快,商品趨于飽和時(shí)銷售速度會(huì)減緩.,記x(t)為t 時(shí)刻已售出的電飯煲總數(shù),市場(chǎng)的飽和量(最大需求量)為m,利用logistic模型,來(lái)描述電飯煲的銷售速度變化情況.,實(shí)際情況與logistic銷售曲線十分吻合,思考 請(qǐng)考慮現(xiàn)實(shí)中哪些變量的變化可用 logistic模型進(jìn)行描述？,現(xiàn)代化都市里大樓林立,這些拔地而起的摩天大樓安全性不容忽視,我們經(jīng)常耳聞目睹大樓內(nèi)發(fā)生意外情況,造成令人震驚的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失. 大樓內(nèi)居住人員的安全保障在于無(wú)論發(fā)生什么情況,都能使人員有組織,有秩序地進(jìn)行疏散撤離.,例3 “9.11”事件的反思,一座大樓的管委會(huì)想進(jìn)行一次緊急疏散 人員的演習(xí).,

8、問(wèn)題分析 演習(xí)之前需要考慮許多方面,如大樓內(nèi)的設(shè)施、人員的分布情況、撤離路線的設(shè)計(jì)、撤離的步驟等等，這是一個(gè)較龐大的系統(tǒng)工程,應(yīng)考慮將此問(wèn)題分解成為若干個(gè)子問(wèn)題，如,* 一個(gè)房間內(nèi)人員的撤離；,* 一個(gè)通道的撤離；,* 一層樓人員的撤離；,最后，將各個(gè)子問(wèn)題重新組合起來(lái).,2.關(guān)鍵詞聯(lián)想法,主要步驟如下：,(1) 抓住問(wèn)題或方案的關(guān)鍵詞,不受任何約束地進(jìn)行聯(lián)想；,(2) 把聯(lián)想到的內(nèi)容用關(guān)鍵詞的方式登記在卡片上,進(jìn)一步激發(fā)產(chǎn)生新的想法,進(jìn)一步想出新的主意；,(3) 再把積攢的卡片相互搭配,形成解決問(wèn)題 的初步思路與步驟.,一種有效的發(fā)散思維方式.,在約10,000米高空的某邊長(zhǎng)160公里的正方

9、形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行.區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù),以便進(jìn)行飛行管理.當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣,記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞.如果會(huì)碰撞,則應(yīng),例4 飛行管理問(wèn)題, 請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問(wèn)題建立數(shù) 學(xué)模型,列出計(jì)算步驟,對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算 (方向角誤差不超過(guò)0.01度).要求飛機(jī)飛行方 向角調(diào)整的幅度盡量小.記錄數(shù)據(jù)為： 試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行評(píng)價(jià) 與推廣.,計(jì)算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行方向角，以避免碰撞.現(xiàn)假定條件如下：,* 對(duì)問(wèn)題仔細(xì)閱讀, 首先抓住題目中的關(guān)鍵詞“管理”進(jìn)行聯(lián)想.,*

10、 抓住諸如“碰撞”、“調(diào)整”、“避免碰撞”、 “立即”、“判斷”等等詞語(yǔ).,* 聯(lián)系解決問(wèn)題的方案,不加約束繼續(xù)聯(lián)想，再將關(guān)鍵詞搭配起來(lái).,立即 判斷,碰撞,條件,實(shí)時(shí),算法,避免 碰撞,調(diào)整 方向角,實(shí)時(shí),幅度盡量小,相對(duì),距離,優(yōu)化問(wèn)題,優(yōu)化算法,優(yōu)化調(diào)整方案,問(wèn)題的初步理解和想法:,飛行管理問(wèn)題是優(yōu)化問(wèn)題,在調(diào)整方向角的幅度盡量小的同時(shí)，還必須注意調(diào)整方案及算法的實(shí)時(shí)性.,思考題：嘗試讀題與分析,mcm1999a題：強(qiáng)烈的碰撞,美國(guó)國(guó)家航空和航天局(nasa)從過(guò)去某個(gè)時(shí)間以來(lái)一直在考慮一顆大的小行星撞擊地球會(huì)產(chǎn)生的后果。 作為這種努力的組成部分，要求你們隊(duì)來(lái)考慮這種撞擊的后果，假如該小

11、行星撞擊到了南極洲的話。人們關(guān)心的是撞到南極洲比撞到地球的其他地方可能會(huì)有很不同的后果。,假如小行星的直徑大約為1000米，還假設(shè)它正好在南極與南極洲大陸相撞。 要求你們隊(duì)對(duì)這樣一顆小行星的撞擊提供評(píng)估。特別是，nasa希望有一個(gè)關(guān)于這種撞擊下可能的人類人員傷亡的數(shù)量和所在地區(qū)的估計(jì)，對(duì)南半球海洋的食物生產(chǎn)區(qū)域造成的破壞的估計(jì)，以及由于南極洲極地冰巖的大量融化造成的可能的沿海岸地區(qū)的洪水的估計(jì)。,后果,強(qiáng)烈的碰撞讀題分析,撞擊,爆炸？,沖擊波,地震、海嘯、颶風(fēng),熱能釋放,冰融,海岸線上升,洪水,放射物,粉塵放射,減少日照、大氣層變化,人員傷亡,所在地區(qū),沿海,海嘯、地震、洪水、放射物,食物生產(chǎn)

12、區(qū)的破壞,冰融,對(duì)地球運(yùn)行軌跡的影響,相關(guān)因素：,小行星形狀、成分與密度,撞擊角度、速度、位置（運(yùn)行軌跡）,太陽(yáng)、地球、月亮軌道,能量來(lái)源,引力、動(dòng)能,南極冰蓋的成分（深度、密度、溫度）,冰融的估算,以及冰蓋下的成分,大氣環(huán)流,粉塵的傳送,溫室效應(yīng),相關(guān)理論：,newton引力模型,軌跡,碰撞的動(dòng)力學(xué),冰的熱力學(xué)（冰融、汽化）、熱傳導(dǎo),生態(tài)系統(tǒng)（磷蝦.krill）,水溫,后期工作：,預(yù)測(cè)與預(yù)警,二、整體把握問(wèn)題的方法,有兩種把握住問(wèn)題的全貌的有效方法：,(1) 層次結(jié)構(gòu)法,(2) 問(wèn)題分解法,有專著介紹,問(wèn)題分解法是一種簡(jiǎn)單而有效的把握問(wèn)題整體的方法.,將問(wèn)題分解為“三要素”的三個(gè)部分.,問(wèn)題

13、分解三要素,初態(tài),目標(biāo)態(tài),過(guò)程,覺(jué)察到的現(xiàn)在狀態(tài)(目前“有什么”，如條件、數(shù)據(jù)等).,覺(jué)察到的希望目標(biāo)(想要什么、 希望達(dá)到什么等).,能在“初態(tài)”和“目標(biāo)態(tài)”之間發(fā)生 作用的行動(dòng)(能做什么).,例5 常見(jiàn)數(shù)學(xué)題目模式,已知,求（證）,解題,初態(tài),目標(biāo)態(tài),過(guò)程,主要教學(xué)目標(biāo),* 解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，分析出問(wèn)題的初態(tài)和 目標(biāo)態(tài)很困難.,* 未清晰地描述出問(wèn)題的“初態(tài)”和“目標(biāo)態(tài)”之前，過(guò)早地進(jìn)入解決問(wèn)題的階段，會(huì)條件不清、目標(biāo)不明.,盡量拓展思路的基礎(chǔ)上, 再進(jìn)行充分分析 得到的問(wèn)題分解結(jié)果：,例6飛行管理問(wèn)題,初態(tài)：現(xiàn)有飛機(jī)的飛行狀態(tài)（數(shù)據(jù)）與碰撞條件,過(guò)程：建立碰撞的判別準(zhǔn)則，優(yōu)化管理方案及相應(yīng)

14、算法.,目標(biāo)態(tài)：實(shí)時(shí)調(diào)整，避免碰撞。,課后練習(xí)題目：“氣象觀察站調(diào)整問(wèn)題”前期問(wèn)題分析與問(wèn)題分解。,氣象觀察站調(diào)整問(wèn)題,某地區(qū)內(nèi)有12個(gè)氣象觀察站（位置如圖),有10年各觀察站的年降水量數(shù)據(jù).為了節(jié)省開支，想要適當(dāng)減少氣象站.,問(wèn)題：減少哪些觀察站可以使得到的降水量的信息量仍然足夠大？,如何利用熵的概念解決此問(wèn)題，給出解決問(wèn)題的思路。,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,問(wèn)題：怎樣比較信息的大??？ 信息的多少能不能度量？,降水量的信息量仍然足夠大？,總結(jié)評(píng)講,1. 問(wèn)題分析,首先找出問(wèn)題中的關(guān)鍵詞，進(jìn)行聯(lián)想.,減少 站數(shù),刪除 原則,各站 關(guān)系,降水 數(shù)據(jù),保持 信息

15、量,足夠大,衡量 指標(biāo),衡量 指標(biāo),熵,降水 數(shù)據(jù),2. 問(wèn)題的分解,初態(tài)：12個(gè)氣象站的年降水?dāng)?shù)據(jù)。,（無(wú)日或月的降水?dāng)?shù)據(jù)，也無(wú)地理、氣候等其 它條件.）,目標(biāo)態(tài)：減少氣象站數(shù)，并保持降水量足夠大的信息量.,過(guò)程：（將做的事情）,(1) 信息量的衡量（用熵）；,(2) 給出刪除氣象站的條件及原則；,(3) 建立保持足夠信息量的判別條件；,解決問(wèn)題的 惟一出發(fā)點(diǎn),(1) 確定各氣象站的年降水量：,的概率分布，并計(jì)算各個(gè)氣象站降水量的熵值.,(2) 分析判斷各站年降水量(兩兩之間或多個(gè)變量間)是否存在相關(guān)關(guān)系(線性的或非線性的)，并據(jù)此保留其中熵值較大的氣象站.,隨機(jī)變量,另一種方法：用聚類分析

16、法進(jìn)行聚類.,3.解決問(wèn)題的思路,（可由降水?dāng)?shù)據(jù)分析各個(gè)氣象站的相似性，如同為干旱、濕潤(rùn)地區(qū)等.）,統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),1) 設(shè)定一個(gè)閾值，保留所有熵值大于閾值 的氣象站；,2) 使保留氣象站的信息量總和占原信息量 總和的一定比例.,可考慮各種判別條件，如 ：,(3) 建立保持足夠信息量的判別條件,注：閾值或比例值均需背景知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定。,仍保留降水量的信息量較大的站。,數(shù)學(xué)模型(e.a.bendar 定義)： 關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目的而做的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).,

17、數(shù)學(xué)建模-問(wèn)題前期分析,問(wèn)題的前期分析 包括： 明確問(wèn)題、分析條件、分析數(shù)據(jù)等。,為什么問(wèn)題前期分析至關(guān)重要？,數(shù)學(xué)建模問(wèn)題往往含混不清,可能的原因有:,* 提出問(wèn)題的人未能清楚地表述問(wèn)題 .,* 不同領(lǐng)域的人交流出現(xiàn)故障.,* 各領(lǐng)域的應(yīng)用者提出問(wèn)題時(shí),未給出恰當(dāng) 的條件.,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行充分的前期分析以前,過(guò)早著手決問(wèn)題,往往會(huì)陷入一些意想不到的陷阱,或者偏離解決問(wèn)題的方向.,一. 明確問(wèn)題,例3.3.1 一家大商業(yè)印刷公司的經(jīng)理就關(guān)于應(yīng) 該雇多少推銷員的問(wèn)題征詢你的意見(jiàn).,“究竟需要做什么？”,遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí),首先應(yīng)問(wèn)自己,* 未能準(zhǔn)確理解問(wèn)題.,著眼點(diǎn)是對(duì)各類推銷隊(duì)伍的工作效果進(jìn)行分析。

18、,原問(wèn)題“推銷員人數(shù)問(wèn)題” 明確為：,(1) 不同規(guī)模的銷售隊(duì)伍會(huì)有什么影響；,(2) 怎樣從他們的銷售工作中獲取最大的收益.,明確了工作的目標(biāo), 即設(shè)置好問(wèn)題的目標(biāo)態(tài).,為明確問(wèn)題 ,可向有關(guān)人員詢問(wèn)如下問(wèn)題：,1. 公司的規(guī)模有多大？,2. 該公司的推銷員的工作方式？,推銷員人數(shù),獲取較大的投入產(chǎn)出比。,顧客,地域,分析確定出各有關(guān)因素,畫出問(wèn)題的層次結(jié)構(gòu)圖,顧客容量,市場(chǎng)份額,現(xiàn)有,定貨量,潛在,轉(zhuǎn)移 概率,轉(zhuǎn)變 概率,現(xiàn)有,潛在,二. 條件及數(shù)據(jù)分析,設(shè)置好問(wèn)題的目標(biāo)態(tài), 著手工作還需要做 以下工作：,1. 收集必要的資料和數(shù)據(jù)。,2. 分析現(xiàn)有的數(shù)據(jù)和條件,使問(wèn)題進(jìn)一步 明確化.,我

19、國(guó)淡水資源有限.節(jié)約用水人人有責(zé),洗衣 機(jī)在家庭用水中占有相當(dāng)大的份額,目前洗衣,例3.3.2 節(jié)水洗衣機(jī)問(wèn)題,機(jī)已非常普及,節(jié)約洗衣機(jī)用水十分重要.假設(shè)在放入衣物和洗滌劑后洗衣機(jī)的運(yùn)行過(guò)程為：加水漂洗脫水加水漂洗脫水加水漂洗脫水(稱“加水漂洗脫水”為運(yùn)行一輪).請(qǐng)為洗衣機(jī)設(shè)計(jì)一種程序（包括運(yùn)行多少輪、每輪加水量等),使得在滿足一定洗滌效果的條件下，總用水量最少.選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，對(duì)照目前常用的洗衣機(jī)的運(yùn)行情況，對(duì)你的模型和結(jié)果出評(píng)價(jià).,*衣服的洗凈效果指標(biāo)(包括污物和殘留洗滌劑)；,*不同質(zhì)地衣物的脫水率或衣物的含水量c；,* 洗衣機(jī)的最高水位h、最低水位l；,* 各類污物(泥土、油膩

20、等)和洗滌劑在水中的溶解特性。,怎樣收集數(shù)據(jù)和資料？,分析：題目中沒(méi)有一個(gè)數(shù)據(jù),但問(wèn)題卻需要比 較多的數(shù)據(jù)及條件,如,可在各類圖書館、網(wǎng)上查閱、向?qū)＜以儐?wèn)、 通過(guò)試驗(yàn)來(lái)得到。,收集數(shù)據(jù)應(yīng)列入工作計(jì)劃，并注意：,1. 向有關(guān)人員調(diào)查情況應(yīng)事先設(shè)計(jì)好問(wèn)題；,2. 事先確定所需資料清單、資料來(lái)源、收集方式。,有條理的收集計(jì)劃可以為后期的工作 創(chuàng)造良好的條件,對(duì)收集到的或者現(xiàn)有的資料和數(shù)據(jù)要做 仔細(xì)分析，使問(wèn)題進(jìn)一步明確.,為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境,可再生資源(如漁業(yè)、林業(yè)資源)的開發(fā)必須適度,一種合理、簡(jiǎn)化的策略是，在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益.,例3.3.3 最優(yōu)捕魚策略

21、,考慮對(duì)某種魚的最優(yōu)捕撈策略：假設(shè)這種魚分 4個(gè)年齡組，稱1齡魚，4齡魚,各年齡組每 條魚的平均重量（單位：g）分別為5.07、11.55、17.86、22.99，各個(gè)年齡組的魚的自然死亡率均為0.8(1/年),這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖,平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109105個(gè),3 齡魚的產(chǎn)卵量為這個(gè)數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個(gè)月,卵孵化并成活為1齡魚,成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）為,1.221011/（1.221011+n）,漁業(yè)管理部門規(guī)定,每年只允許在產(chǎn)卵孵化期 前的8個(gè)月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè).如果每年投入的捕 撈能力(如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等)固定不變

22、,這 時(shí)單位時(shí)間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正 比,比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù).通常使用 13mm 網(wǎng)眼的拉網(wǎng),這種網(wǎng)只能捕3齡魚和4齡 魚，其兩個(gè)強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42 : 1.漁業(yè)上稱 這種方式為固定努力捕撈.,建立數(shù)學(xué)模型分析如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕獲(即每 年開始捕撈時(shí)漁場(chǎng)中各年齡組魚群條數(shù)不變), 并且在此前提下得到最高的年收獲量(捕撈總 重量),漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)5年,合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞.已知承包時(shí)各年齡組魚群的數(shù)量分別為:122, 29.7，10.1，3.29（109為）條），,如果仍用固定努力量的捕撈方式,該公司應(yīng)采取怎樣的策略才能使總收獲量最高.,

23、分析：此題中的數(shù)據(jù)、條件特別多,有的難于把握, 有的會(huì)直接影響到所建模型是否正確.,1. 捕撈強(qiáng)度系數(shù) q,單位時(shí)間捕撈量與魚群條數(shù)成正比時(shí)的比 例系數(shù),可否理解為捕撈量占總魚群量的百分率？,否！,將捕撈強(qiáng)度系數(shù) q 的定義用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出.,設(shè)i 齡魚在t ,t+t時(shí)間段內(nèi)由捕撈產(chǎn)生 的變化量（捕撈量）為,單位時(shí)間的捕撈量是,對(duì)任何時(shí)間間隔 t都有,2. 考慮 q 是否有量綱（或單位）？,思考：,1. 此模型可與哪一個(gè)模型類比？,3. 怎樣理解捕撈強(qiáng)度系數(shù)q？,2. 自然死亡率r (0.8（1/年）),是否理解為魚死亡的概率為0.8 ？,不對(duì)！,類似于人口增長(zhǎng)模型中的“自然（相對(duì)） 增長(zhǎng)率”

24、 ，理解為魚群未受其他外界影響下 的“自然增長(zhǎng)率”.,即單位時(shí)間內(nèi)死亡魚的數(shù)量與魚的總量之比，可得描述魚群自然死亡的微分方程：,請(qǐng)考慮在捕撈的情況下，魚群數(shù)量 變化的規(guī)律？,思考：,3. 成活率c 的影響,成活率c 為1 齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n 之比,c =1.221011/（1.221011+n）,設(shè)t 年的產(chǎn)卵量為n，則t + 1年的1 齡魚數(shù) 目為,n1(t+1)= n c,說(shuō)明下一年1 齡魚的成活率使得魚群對(duì)于捕撈量有一定的適應(yīng)能力.,0,充分分析正確理解數(shù)據(jù)和條件 可以進(jìn)一步明確問(wèn)題 。,5. 哪些條件是可以變動(dòng)的？等等。,2. 數(shù)據(jù)來(lái)源是否可靠？,3. 所給條件有什么意義？,4. 哪

25、些條件是本質(zhì)的？,還應(yīng)該分析,1. 從數(shù)據(jù)中可得到什么信息？,問(wèn) 題,在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為 4450，問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？,要求,不僅回答問(wèn)題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與 錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系。,思考,計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？,錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途,經(jīng)試驗(yàn)，一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。,錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理,錄像帶運(yùn)動(dòng),問(wèn)題分析,觀察,計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！,模型假設(shè),錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù) v ；,計(jì)數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記 m=kn；,錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w；,空右輪盤半徑記作 r ；,時(shí)間 t=0 時(shí)讀數(shù) n=0 .,建模目的,建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系,（設(shè)v,k,w ,r為已知參數(shù)）,模型建立,建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法,1. 右輪盤轉(zhuǎn)第 i 圈的半徑為r+wi, m圈的總長(zhǎng)度 等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt, 所以,2. 考察右輪盤面積的 變化，等于錄像帶厚度 乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度，即,3. 考察t到t+dt錄像帶在 右輪盤纏繞的長(zhǎng)度，有,模型建立,思 考,3種建模方法得到同一結(jié)果,但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。,模