勾股定理逆定理講義(經(jīng)典例題+詳解+習(xí)題)

1、XX教育一對一個性化教案授課日期： 2014 年 月 日學(xué)生姓名許XX教師姓名授課時段 2h年 級8學(xué) 科數(shù)學(xué)課 型VIP教學(xué)內(nèi)容 勾股定理及逆定理教 學(xué)重、難點重點：運用勾股定理判定一個三角形是否為直角三角形。難點：運用用勾股定理和勾股定理逆定理解決實際問題。教學(xué)步驟及突出教學(xué)方法1、 知識歸納1、勾股定理的逆定理如果三角形三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊。勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，為三邊的三角形是直角三角形；若，時

2、，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊。勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形。2、勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）題型一：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個三角形是否是直角三角形例1.已知三角形的三邊長為，判定是否為，分

3、析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方。解：，是直角三角形且，不是直角三角形例2.三邊長為，滿足，的三角形是什么形狀？解：此三角形是直角三角形理由：，且所以此三角形是直角三角形例3. 如果ABC的三邊長分別為 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(mn,m,n是正整數(shù)），則ABC是直角三角形嗎？分析：先來判斷a,b,c三邊哪條最長，可以代m,n為滿足條件的特殊值來試，m=5,n=4.則a=9,b=40,c=41,c最大。解：（m2-n2）2+（2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（

4、m2+n2）2， a2+b2=c2， 能成為直角三角形的三邊長 題型二：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用例4.已知中，邊上的中線，求證：證明：為中線，在中，例5.（ 1）如圖，在ABC中，D是BC上一點，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求ABC的面積（2）在ABC中，若AB=15，AC=13，高AD=12，求ABC的周長 分析：（1）根據(jù)AB=10，BD=6，AD=8，利用勾股定理的逆定理求證ABD是直角三角形，再利用勾股定理求出CD的長，然后利用三角形面積公式即可得出答案（2）本題應(yīng)分兩種情況進行討論：當(dāng)ABC為銳角三角形時，在RtABD和RtACD中，運用勾股定理可將BD和C

5、D的長求出，兩者相加即為BC的長，從而可將ABC的周長求出；當(dāng)ABC為鈍角三角形時，在RtABD和RtACD中，運用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相減即為BC的長，從而可將ABC的周長求出 解：（1）BD2+AD2=62+82=102=AB2，ABD是直角三角形，ADBC，在RtACD中，CD=15， （2） 分兩種情況：當(dāng)ABC為銳角三角形時，在RtABD中，BD=9，在RtACD中，CD=5， BC=5+9=14ABC的周長為：15+13+14=42； 當(dāng)ABC為鈍角三角形時，在RtABD中，BD=9，在RtACD中，CD=4，BC=9-5=4ABC的周長為：15+13+4=32當(dāng)A

6、BC為銳角三角形時，ABC的周長為42；當(dāng)ABC為鈍角三角形時，ABC的周長為32 例6：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且EC=BC，求證：AFEF思路點撥：要證AFEF，需證AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要證出AF2+EF2=AF2就可以了基礎(chǔ)練習(xí)：若ABC的三邊a，b，c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判定ABC的形狀（提示：根據(jù)所給條件，只有從關(guān)于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三邊之間的關(guān)系，應(yīng)用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出a=5，b=12，c=13，a2+b2=c2，ABC是

7、Rt）二、提高例題例1.一根30米長的細繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你試判斷這個三角形的形狀。分析：若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長；設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長5、12、13；根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形?！咎岣呔毩?xí)】1如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40，問：甲巡邏艇的航向？2一根24米繩子，折成三邊為三個

8、連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別為 ，此三角形的形狀為 。3如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90。三、能力培養(yǎng)例1已知：如圖，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四邊形ABCD的面積。分析：使學(xué)生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉(zhuǎn)化為研究三角形的問題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創(chuàng)造3、4、5勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理證明DE就是平行線間距離。作DEAB，連結(jié)BD，則可以證明ABDEDB（AS

9、A）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC中，3、4、5勾股數(shù)，DEC為直角三角形，DEBC；利用梯形面積公式可解，或利用三角形的面積。例2已知：如圖，在ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=ADBD。求證：ABC是直角三角形。 分析：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用，注意條件的轉(zhuǎn)化及變形。AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=A B2【能力訓(xùn)練】1若ABC的三邊a、b、c，滿足（ab）（a2b2c2）=0，則ABC是（ ）A等腰三角形； B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形； D

10、等腰直角三角形。2若ABC的三邊a、b、c，滿足a：b：c=1：1：，試判斷ABC的形狀。3已知：如圖，四邊形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且ABBC。求：四邊形ABCD的面積。4已知：在ABC中，ACB=90，CDAB于D，且CD2=ADBD。求證：ABC中是直角三角形。5若ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC的面積。6在ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中線BD=5cm。求證：ABC是等腰三角形。7已知ABC的三邊為a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，試判定ABC的形狀。 勾股定理及逆定理測試題一、選擇題1在下列長度的

11、各組線段中，能組成直角三角形的是（ ）.A12，15，17 B9，16，25 C5a，12a，13a（a0） D2，3，42 在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，AB8，BC15，CA17，則下列結(jié)論不正確的是（ ）.AABC是直角三角形，且AC為斜邊 BABC是直角三角形，且ABC90 CABC的面積是60 DABC是直角三角形，且A603在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，且a：b：c1：2，則下列說法錯誤的是（ ）.AC90 Bc2a2b2 Cc22a2 D若ak，則c2k（k0） 4下列定理中,沒有逆定理的是（ ）.A兩直線平行，內(nèi)錯角相等 B直角三角形兩銳角互余C

12、對頂角相等 D同位角相等，兩直線平行5在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c.則滿足下列條件但不是直角三角形的是（ ）.AABC BA：B：C 1：1：2 Ca：b：c4：5：6 Da2c2b26、已知a、b、c是三角形的三邊長，如果滿足，則三角形的形狀是（ ）A.底與邊不相等的等腰三角形 B.等邊三角形 C.鈍角三角形 D.直角三角形二、填空題7若一三角形三邊長分別為5、12、13，則這個三角形長是13的邊上的高是 .8若一三角形鐵皮余料的三邊長為12cm，16cm，20cm，則這塊三角形鐵皮余料的面積為 cm2.9.木工師傅要做一個長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為60cm，對

13、角線為100cm，則這個桌面 （填“合格”或“不合格”）；10.如圖1，一根電線桿高8m.為了安全起見，在電線桿頂部到與電線桿底部水平距離6m處加一拉線.拉線工人發(fā)現(xiàn)所用線長為10.2m（不計捆縛部分），則電線桿與地面 （填“垂直”或“不垂直”）11一透明的玻璃杯，從內(nèi)部測得底部半徑為6cm，杯深16cm.今有一根長為22cm的吸管如圖2放入杯中，露在杯口外的長度為2cm，則這玻璃杯的形狀是 體.圖2圖1BA圖312.寫出一組全是偶數(shù)的勾股數(shù)是 .13.如圖3：是一個高12cm，底面半徑3cm的圓柱，在圓柱下底的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面與A點相對的B點處的食物，需要沿圓柱側(cè)面爬行的最短路

14、程是_。14.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、 3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是 .15.如右圖所示，長方形ABCD中，AB=3，AD=9，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則AE的長為 。三、解答題(11題20分,12、13、14每小題10分，共50分)16.判斷由下列各組線段a、b、c的長，能組成的三角形是不是直角三角形，并說明理由.（1）a6.5，b7.5，c4； （2）a11，b60，c61；（3）a，b2，c； （4）a，b2，c； 17.在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c. an216，b8n，cn2+16（n4）.求證: C=90.18.如圖3，AD=7，AB25，BC10，DC26，DB24，求四邊形ABCD的面積.ABCD圖319. 如圖4，已知在ABC中，CDAB于D，AC20，BC15，DB9.CABD圖4(1)求DC的長.(2)求AB的長.(3)求