高中數(shù)學綜合測試題-解析版

1、高中數(shù)學綜合檢測題一(必修 3、選修 2-1) 一、選擇題(每小題 5 分，每小題有且只有一個正確選項) 1閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出i 的值為 () A3B4C5D6 解析本小題考查程序框圖等基礎(chǔ)知識，考查分析問題、解決問題的能力，難度較小由a 1，i0i011，a1112i112，a2215i213， a35116i314，a41616550，輸出 4. 答案B 2執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的N 是 6，那么輸出的 p 是() A120B720C1 440D5 040 第 1 題圖第 2 題圖 解析本小題考查對算法的循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖的理解與應用， 考查分析、 解決問題

2、的能力 本 題的程序框圖的功能是計算p123的值，難度較小 當輸入的 N 是 6 時，由于 k1，p1，因此 ppk1.此時 k1，滿足 k6，故 kk1 2.當 k2 時，p12，此時滿足k6，故kk13.當 k3 時，p123，此時滿 足 k6，故 kk14.當 k4 時，p1234，此時滿足 k6，故 kk15.當 k 5 時， p12345， 此時滿足 k6， 故 kk16.當 k6 時， p123456 720，此時 k6 不再成立，因此輸出 p720. 答案B 3有3 個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性 相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組

3、的概率為() A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 解析本小題考查古典概型的計算，考查分析、解決問題的能力因為兩個同學參加興趣小 組的所有的結(jié)果是 339(個)，其中這兩位同學參加同一興趣小組的結(jié)果有 3 個，所以由 古典概型的概率計算公式得所求概率為 3 9 1 3. 答案A 4如圖，矩形ABCD 中，點E 為邊 CD 的中點，若在矩形ABCD 內(nèi) 部隨機取一個點Q， 則點Q取自ABE內(nèi)部的概率等于() A.1 112 4 B.3C.2D.3 解析本題考查了幾何概型概率的求法，題目較易，屬低檔題，重在考查學生的雙基這是 1 一道幾何概型的概率問題，點Q 取自ABE 內(nèi)部的概率為 S

4、 ABE S 2 |AB|AD| 1 矩形ABCD |AB|AD|2.故選 C. 答案C 5有一個容量為 200 的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示根據(jù) 樣本的頻率分布直方圖估計， 樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,12)內(nèi)的頻 數(shù)為() A18B36C54D72 解析本題主要考查頻率分布直方圖的有關(guān)知識， 考查了識圖 能力，屬容易題由0.020.050.150.190.41，落在區(qū) 間2,10內(nèi)的頻率為 0.4120.82.落在區(qū)間10,12)內(nèi)的頻率為 10.820.18. 樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,12)內(nèi)的頻數(shù)為 0.1820036. 答案B 6某產(chǎn)品的廣告費用 x 與銷售額 y 的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣

5、告費用 x(萬元)4235 銷售額 y(萬元)49263954 根據(jù)上表可得回歸方程y b xa 中的b 為 9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為 6 萬元時銷售額為 () A63.6 萬元B65.5 萬元C67.7 萬元D72.0 萬元 解析本小題考查了對線性回歸方程的理解及應用，求解的關(guān)鍵是明確線性回歸方程必過 樣本中心點( x ，y )，同時考查計算能力 x 4235 7492639 4 2，y 54 4 42，又y b xa 必過( x ， y )，427 29.4a ，a 9.1.線性回歸方程為y 9.4x9.1. 當 x6 時，y 9.469.165.5(萬元) 答案B 7設 a a，b

6、 b 是向量，命題“若 a ab b，則|a|a|b|b|”的逆命題是() A若 a ab b，則|a|a|b|b|B若 a ab b，則|a|a|b|b| C若|a|a|b|b|，則 a ab bD若|a|a|b|b|，則 a ab b 解析原命題的條件是：a ab b，結(jié)論是|a|a|b|b|，所以逆命題是：若|a|a|b|b|，則 a ab. b. 答案D 8 已知 a ，b ， cR R ， 命 題“ 若 a b c 3 ，則 a2b2 c23 ” 的否 命 題是 () A若 abc3，則 a2b2c23B若 abc3，則 a2b2c23 C若 abc3，則 a2b2c23D若 a2b

7、2c23，則 abc3 解析原命題的條件是：abc3，結(jié)論是：a2b2c23，所以否命題是：若 ab c3，則 a2b2c2b0)， 由 e2 知a 2 ， 故a22. 由于ABF2的周長為|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2| 2 4a16，故 a4.b28.橢圓的方程為x 16 y2 C 8 1. 2 答案 x y 2 168 1 16某中學為了解學生數(shù)學課程的學習情況，在3 000 名學生中隨機抽取 200 名，并統(tǒng)計這200 名學生的某次數(shù)學考試成績， 得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖) 根據(jù)頻率分布直方圖推 測，這 3 000 名學生在該次數(shù)學考試中成績小于60 分

8、的學生數(shù)是_ 解析本題考查頻率分布直方圖的應用，難度較小由直方圖易得數(shù)學考試中成績小于60 分的頻率為(0.0020.0060.012)100.2， 所以所求分數(shù)小于60分的學生數(shù)為3 0000.2 600. 答案600 三、解答題 17(10 分)甲、乙兩校各有 3 名教師報名支教，其中甲校2 男 1 女，乙校 1 男 2 女 (1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1 名， 寫出所有可能的結(jié)果， 并求選出的 2 名教師性 別相同的概率； (2)若從報名的 6 名教師中任選 2 名， 寫出所有可能的結(jié)果， 并求選出的 2 名教師來自同一學 解(1)甲校兩男教師分別用 A、B 表示，女教師用 C

9、 表示；乙校男教師用 D 表示，兩女教 師分別用 E、F 表示 從甲校和乙校報名的教師中各任選1 名的所有可能的結(jié)果為： (A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))共 9 種，從 中選出兩名教師性別相同的結(jié)果有： (A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))共 4 種，選出的兩名教師性別相同的概率為P4 9. (2)從甲校和乙校報名的教師中任選2 名的所有可能的結(jié)果為： (A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C， E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(

10、D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共 15 種 從中選出兩名教師來自同一學校的結(jié)果有： (A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共 6 種， 選出的兩名教師來自同一學校的概率為P 62 155. (12 分)某市 2010 年 4 月 1 日4 月 30 日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可 吸入顆粒物)： 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45. (1)完成頻率分布表； (2)作出頻率分布直方圖； (3)根據(jù)國家標準，污染指

11、數(shù)在 050 之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在 51100 之間時，為良； 在 101150 之間時，為輕微污染；在151200 之間時，為輕度污染 請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標準，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價 解(1)頻率分布表： 分組頻數(shù)頻率 41,51)2 2 30 51,61)1 1 30 61,71)4 4 30 71,81)6 6 30 81,91)10 10 30 18 91,101)5 5 30 101,111)2 2 30 (2)頻率分布直方圖： (3)答對下述兩條中的一條即可： (i)該市一個月中空氣污染指數(shù)有2 天處于優(yōu)的水平，占當月天數(shù)的1 15；有26 天處于良的水 平，占當

12、月天數(shù)的13 15；處于優(yōu)或良的天數(shù)共有28 天，占當月天數(shù)的 14 15.說明該市空氣質(zhì)量基 本良好 (ii)輕微污染有 2 天，占當月天數(shù)的 1 15.污染指數(shù)在 80 以上的接近輕微污染的天數(shù)有 15 天， 加上處于輕微污染的天數(shù)，共有 17 天，占當月天數(shù)的17 30，超過 50%.說明該市空氣質(zhì)量有 待進一步改善 19(12 分)如圖，四棱錐PABCD 中，底面ABCD 為平行四邊 形，DAB60，AB2AD，PD底面 ABCD. (1)證明：PABD； (2)若 PDAD，求二面角 APBC 的余弦值 證明(1)因為DAB60，AB2AD，由余弦定理得 BD 3AD. 從而 BD2

13、AD2AB2，故 BDAD. 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD. 所以 BD平面 PAD，故 PABD. (2)解如圖，以 D 為坐標原點，AD 的長為單位長，射 線 DA 為 x 軸的正半軸，建立空間直角坐標系Dxyz， 則 A(1，0，0)，B(0， 3，0)，C(1， 3，0)，P(0，0， 1) AB (1， 3，0)，PB (0， 3，1)，BC (1，0， 0) 設平面 PAB 的法向量為 n n(x，y，z)， 則 n nAB 0，x 3y0， n nPB 即 0. 3yz0. 因此可取 n n( 3，1， 3) 設平面 PBC 的法向量為 m m，則 m mPB 0， m

14、 mBC 0. 可取 m m(0，1， 3)cosm m，n n 42 7 2 7 7 . 故二面角 A PB C 的余弦值為2 7 7 . 20(12 分) 如圖，設 P 是圓 x2y225 上的動點，點 D 是 P 在 x 軸上的投影，M 為 PD 上一點，且|MD|4 5|PD|. (1)當 P 在圓上運動時，求點 M 的軌跡 C 的方程； (2)求過點(3，0)且斜率為4 5的直線被 C 所截線段的長度 解(1)設 M 的坐標為(x，y)，P 的坐標為(xP，yP)， x 由已知得 Px， y 5 P4y. P 在圓上， x2(5 4 225，即軌跡 C 的方程為 x2y2 y) 25

15、161. (2)過點(3，0)且斜率為4 5的直線方程為 y 4 5(x3)， 設直線與 C 的交點為 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程 y4 5(x3)代入 C 的方程，得 x2（x3）2 2525 1， 即 x23x80. 3 413 41 x1，x2. 22 線段 AB 的長度為 |AB| （x1x2）2（y1y2）2 16 （1）（x1x2）2 25 4141 41. 255 66 令 y 3，則 x3，z .所以 m m(3， 3， ) tt 6 同理，平面 PDC 的法向量 n n(3， 3， ) t 36 因為平面 PBC平面 PDC，所以 mnmn 0，即6 2

16、 0， t 21(12 分)如圖，在四棱錐 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB2， BAD60. (1)求證：BD平面 PAC； (2)若 PAAB，求 PB 與 AC 所成角的余弦值； (3)當平面 PBC 與平面 PDC 垂直時，求 PA 的長 (1)證明因為四邊形 ABCD 是菱形，所以 ACBD. 又因為 PA平面 ABCD，所以 PABD，所以 BD平面 PAC. (2)解設 ACBDO， 因為BAD60，PAAB2， 所以 BO1，AOCO 3. 如圖， 以 O 為坐標原點， 建立空間直角坐標系 O xyz， 則 P(0， 3，2)， A(0， 3，0

17、)，B(1，0，0)，C(0， 3，0) 所以PB (1， 3，2)， AC (0，2 3，0) 設 PB 與 AC 所成角為 ，則 cos|PBAC| 6 6. |PB |AC | 2 22 3 4 (3)解由(2)知BC (1， 3，0) 設 P(0， 3，t)(t0)，則BP (1， 3，t) 設平面 PBC 的法向量 m m(x，y，z)， 則BC m m0，BP m m0. 所以 x 3y0， x 3ytz0. 解得 t 6.所以 PA 6. 22(12 分) 如圖，直線 l：yxb 與拋物線 C：x24y 相切于點 A. (1)求實數(shù) b 的值； (2)求以點 A 為圓心，且與拋物

18、線 C 的準線相切的圓的方程 解(1)由 yxb x24y 得 x24x4b0(*)， 因為直線 l 與拋物線 C 相切，所以(4)24(4b)0，解得 b1. (2)由(1)可知 b1，故方程(*)為 x24x40，解得 x2， 代入 x24y，得 y1，故點 A(2，1) 因為圓 A 與拋物線 C 的準線相切，所以圓 A 的半徑 r 就等于圓心 A 到拋物線的準線 y1 的距離，即 r|1(1)|2， 所以圓 A 的方程為(x2)2(y1)24. 高中數(shù)學綜合檢測題二(必修 3、選修 2-1) 一、選擇題(每小題 5 分，每小題有且只有一個正確選項) 1甲、乙兩人一起去游“2011 西安世

19、園會”，他們約定，各自獨立地從 1 到 6 號景點中任選 4 答案D 4下面四個條件中，使ab 成立的充分不必要的條件是() Aab1Bab1Ca2b2Da3b3 解析ab1ab，abab1. 個進行游覽，每個景點參觀 1 小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是 () A. 1 36 B.1 9 C. 51 36 D.6 解析考查學生的觀察問題和解決問題的能力 最后一個景點甲有 6 種選法， 乙有 6 種選法， 共有 36 種，他們選擇相同的景點有6 種，所以 P 61 366，所以選 D. 答案D 2某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有 30 名，高二年級有 40 名現(xiàn)用分層抽樣的方法

20、 在這 70 名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6 名，則在高二年級的學 生中應抽取的人數(shù)為() A6B8C10D12 解析本題是隨機抽樣中的分層抽樣， 題目簡單， 考查基礎(chǔ)知識 設樣本容量為 N， 則 N30 70 6，N14，高二年級所抽人數(shù)為1440 708. 答案B 3設(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是變量 x 和 y 的 n 個樣本點， 直線 l 是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如 圖)，以下結(jié)論中正確的是 () Ax 和 y 的相關(guān)系數(shù)為直線 l 的斜率 Bx 和 y 的相關(guān)系數(shù)在 0 到 1 之間 C當 n 為偶數(shù)時，分布在 l 兩

21、側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 D直線 l 過點( x ， y ) 解析本題主要考查統(tǒng)計案例中線性回歸直線方程的意義及對相關(guān)系數(shù)的理解 因為相關(guān)系 數(shù)是表示兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一個值，它的絕對值越接近1，兩個變量的線性 相關(guān)程度越強，所以 A、B 錯誤C 中 n 為偶數(shù)時，分布在 l 兩側(cè)的樣本點的個數(shù)可以不相 同，所以 C 錯誤根據(jù)回歸直線方程一定經(jīng)過樣本中心點可知D 正確 答案A 5設集合 M1，2，Na2，則“a1”是“NM”的() A充分不必要條件B必要不充分條件 C充分必要條件D既不充分又不必要條件 解析若 NM，則需滿足 a21 或 a22.解得 a1 或 a 2.故“a1”是

22、“NM” 的充分不必要條件 答案A 6設圓 C 與圓 x2(y3)21 外切，與直線 y0 相切，則 C 的圓心軌跡為() A拋物線B雙曲線C橢圓D圓 解析設圓 C 的半徑為 r，則圓心 C 到直線 y0 的距離為 r.由兩圓外切可得，圓心C 到 點(0，3)的距離為 r1，也就是說，圓心 C 到點(0，3)的距離比到直線 y0 的距離大 1， 故點 C 到點(0，3)的距離和它到直線 y1 的距離相等，符合拋物線的特征，故點C 的 軌跡為拋物線 答案A 7為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取 30 名學生參加環(huán)保知識測試，得分(十 分制)如圖所示，假設得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為

23、mo，平均值為 x ，則 () Amemo xBmemo xCmemo xDmome x 解析本題考查了讀圖、識圖能力以及對中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的理解 .30 個數(shù)中第 15 個數(shù) 是 5，第 16 個數(shù)是 6，所以中位數(shù)為56 2 5.5，眾數(shù)為 5， x 324351066738292102 30 179 30 . 答案D 8為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取5 對父子的身高數(shù)據(jù)如下： 父親身高 x (cm)174176176176178 兒子身高 y (cm)175175176177177 則 y 對 x 的線性回歸方程為() Ayx1Byx1Cy881 2x Dy176 解析本

24、題考查了線性回歸知識，以及回歸直線 ybxa 恒過定點( x ， y )，也考查了學 生的計算能力以及分析問題、解決問題的能力 因為 x 174176176176178 5 176， y 175175176177177 5 176， 又 y 對 x 的線性回歸方程表示的直線恒過點( x ， y )，所以將(176,176)代入 A、B、C、D 中 檢驗知選 C. 答案C 9設 x，yR R，則“x2 且 y2”是“x2y24”的() A充分不必要條件B必要不充分條件 C充要條件D既不充分又不必要條件 解析x2，且 y2x2y24，x2y24x2，且 y2，如 x2，y1，故“x2 且 y2”是

25、“x2y24”的充分不必要條件 答案A 10若 p 是真命題，q 是假命題，則() Apq 是真命題Bpq 是假命題C綈 p 是真命題D綈 q 是真命題 解析由于 p 是真命題， q 是假命題， 所以綈 p 是假命題， 綈 q 是真命題， pq 是假命題， pq 是真命題 答案D 11命題“所有能被 2 整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是() A所有不能被 2 整除的整數(shù)都是偶數(shù)B所有能被 2 整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C存在一個不能被 2 整除的整數(shù)是偶數(shù)D存在一個能被 2 整除的整數(shù)不是偶數(shù) 解析原命題是全稱命題，其否定是：存在一個能被2 整除的數(shù)不是偶數(shù) 答案D 12已知命題 p：nN N，2n1

26、 000，則綈 p 為() AnN N，2n1 000BnN N，2n1 000CnN N，2n1 000DnN N，2n0，b0)上，有a2 b2 1. 由題意又有 y0y x0a 0 x0a 1 5， 即 x25y2a2，可得 a25b2，c2a2b26b2，則 ec 30 00 a5 . 222 (2)聯(lián)立 x 5y 5b ， xc， 得 4x210cx35b20， y 設 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x 5c 1x2 則 2 ， 35b2 x1x2 4 . 設OC (x3，y3)，OC OA OB ， 即 x3x1x2， y ， 3y1y2 又 C 為雙曲線上一點，即x325y325b2， 有(x1x2)25(y1y2)25b2， 化簡得 2(x125y12)(x225y22)2(x1x25y1y2)5b2， 又 A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以 x125y125b2，x225y225b2. 由式又有 x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2， 由式得 240，解出 0，或 4. 21(1212 分分)如圖，四邊形 ABCD 為正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QAAB1 2PD. (1)證明：平面 P