北大計算機系考研_歷年高等數(shù)學真題附答案

1、北大計算機考研 高等數(shù)學真題解答2008年（5題60分）1 （12分）有連續(xù)的二階導數(shù)，求。2 （12分）在上連續(xù)且，證明：在上必有一點使得。3 （12分）求不定積分。4 （12分）且，有連續(xù)的導數(shù)，求。5 （12分）在附近可導且導數(shù)大于0，證明無窮級數(shù)發(fā)散，無窮級數(shù)收斂。2007年（5題60分）1 （12分）求不定積分。解：。2 （12分）求連續(xù)函數(shù)，使它滿足。解：令則時，時，；。3 （12分）設。證明：和都存在并相等。解：；單調遞減；單調遞增；由以上兩結論可知：有下界，于是存在；有上界，于是存在。令，由有：解得，所以。4 （12分）求和。解：（1） 若，；（2） 若，。5 （12分）求極限

2、。2006年（5題60分）1 （12分）計算積分。解：。2 （12分）求。解：時，；時，；時，；所以：。3 （12分）設，證明不等式。證：時，令，有；則，有；，所以上單調遞增，又，所以，可知上單調遞增，又，所以，即。4 （12分）求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解：求收斂半徑：，當時級數(shù)收斂，當時級數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑。當時，顯然發(fā)散，所以收斂域。求和函數(shù)：；所以：；。5 （12分）設連續(xù)，在處可導，且。求。解：令；2005年（7題70分）1 （8分）求。解：2 （10分）設，求。解：等式兩邊對求導得：，化簡得（是確定的隱函數(shù)）；再次對求導得，將代入得：（是確定的隱函數(shù)）。3 （8分2）求下列不定積

3、分：（1） ；（2） 。解：（1） 。（2） 4 （8分）求，其中n為自然數(shù)。解：令，則，；。5 （8分）若，試證：。證：時，。時，由拉格朗日中值定理易知：，使得：；顯然是單調遞增函數(shù)，故，即，所以有。6 （10分）求。解：令。則7 （10分）設曲線上的非負連續(xù)函數(shù)，表示由所圍成的圖形繞直線旋轉而成的旋轉體的體積。試證明：。證：取軸為積分坐標，的變化范圍為。軸上對應的一小段旋轉柱體可近似展開成矩形薄板，寬為點繞直線旋轉得到的圓周長，高為，厚為，故。所以。于是，。2004年（6題50分）1 （6分）求。解：。2 （8分）設，求。解：時：；時：；時：。3 （8分）求，其中是非負整數(shù)，先建立遞推公式

4、，然后求定積分的值。解：4 （8分）求的和。解：（）5 （10分）設。（1） 證明數(shù)列收斂。證：，即數(shù)列單調遞減有下界，所以收斂。在其中添加一項得數(shù)列，收斂性不變，仍然收斂。（2） 求極限。解：由（1）知數(shù)列收斂，即極限存在，令，由有，即，由（1）知，解得。所以。6 （10分）有半徑為的半球形固定杯子，杯內放一根長為的均勻細棒（見圖），假設棒與杯子之間沒有摩擦力，求棒的平衡位置（重心最低的位置）。解：設細棒與水平面夾角為；細棒重力為，細棒與杯沿接觸點的作用力為，與杯內壁接觸點的作用力為；由作用力平衡得：和，解得；由作用于細棒與杯內壁接觸點處的力矩平衡得：將代入上式并化簡得：；解得：。更佳解：設

5、細棒與水平面夾角為，細棒重心到水平面距離為，則：，原問題即為取何值時最??；，令，解得：。2003年（3題22分）1 （6分）設，求。解：等式兩邊對求導得：，化簡得，再次對求導得：。2 （8分）設，求。解：當時，；當時，。3 （8分）求。解：令，則，。2002年（3題20分）1 （6分）計算。解：2 （7分）設在上連續(xù)且大于0。試證明：存在，直線將在區(qū)間上的以為曲線邊的曲邊梯形分成兩部分，使得左右兩部分的面積之比為且這樣的是唯一的。解：由題意，任意一條位于之間的垂直線將曲邊梯形分成的左右兩部分的面積分別為：；令，則，由零值定理知在區(qū)間至少有一個零值；又，知區(qū)間單調遞增，至多有一個零值；所以存在唯

6、一的，使得即，也即存在唯一的使得左右兩部分面積之比為。3 （7分）求級數(shù)的和及收斂半徑。解：求收斂半徑：，當時級數(shù)收斂，當時級數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑；求和函數(shù)：令，則。2001年（3題22分）1 （7分）設上連續(xù)，且，記，求。解：由及已知條件有：上式兩邊對求導得：；所以有：。2 （7分）求級數(shù)的和及收斂區(qū)間。解：求收斂區(qū)間：，所以收斂半徑；當時，級數(shù)成為，級數(shù)是發(fā)散的；當時，級數(shù)成為，不存在，級數(shù)是發(fā)散的；所以收斂區(qū)間；求和函數(shù)：，則。3 （8分）設函數(shù)在上有二階導數(shù)，且，證明：（1） 在內；（2） 存在，使。證：（1） 反證法證明之。假設存在使得，又，則：使得使得，這與已知條件矛盾。所以不存在使得即在內。（2） 令，則由有：使得，又由題設及（1）知，所以。2000年（3題22分）1 （7分）設，求。解：兩邊求導得：由得代入上式得2 （8分）在曲線上求一點，使得曲線與過點的水平直線、軸及圍成的區(qū)域面積最小。解：設點坐