北大計(jì)算機(jī)系考研_歷年高等數(shù)學(xué)真題附答案

1、北大計(jì)算機(jī)考研 高等數(shù)學(xué)真題解答2008年（5題60分）1 （12分）有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，求。2 （12分）在上連續(xù)且，證明：在上必有一點(diǎn)使得。3 （12分）求不定積分。4 （12分）且，有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求。5 （12分）在附近可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)大于0，證明無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散，無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂。2007年（5題60分）1 （12分）求不定積分。解：。2 （12分）求連續(xù)函數(shù)，使它滿足。解：令則時(shí)，時(shí)，；。3 （12分）設(shè)。證明：和都存在并相等。解：；單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；由以上兩結(jié)論可知：有下界，于是存在；有上界，于是存在。令，由有：解得，所以。4 （12分）求和。解：（1） 若，；（2） 若，。5 （12分）求極限

2、。2006年（5題60分）1 （12分）計(jì)算積分。解：。2 （12分）求。解：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；所以：。3 （12分）設(shè)，證明不等式。證：時(shí)，令，有；則，有；，所以上單調(diào)遞增，又，所以，可知上單調(diào)遞增，又，所以，即。4 （12分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解：求收斂半徑：，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑。當(dāng)時(shí)，顯然發(fā)散，所以收斂域。求和函數(shù)：；所以：；。5 （12分）設(shè)連續(xù)，在處可導(dǎo)，且。求。解：令；2005年（7題70分）1 （8分）求。解：2 （10分）設(shè)，求。解：等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得：，化簡(jiǎn)得（是確定的隱函數(shù)）；再次對(duì)求導(dǎo)得，將代入得：（是確定的隱函數(shù)）。3 （8分2）求下列不定積

3、分：（1） ；（2） 。解：（1） 。（2） 4 （8分）求，其中n為自然數(shù)。解：令，則，；。5 （8分）若，試證：。證：時(shí)，。時(shí)，由拉格朗日中值定理易知：，使得：；顯然是單調(diào)遞增函數(shù)，故，即，所以有。6 （10分）求。解：令。則7 （10分）設(shè)曲線上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，表示由所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。試證明：。證：取軸為積分坐標(biāo)，的變化范圍為。軸上對(duì)應(yīng)的一小段旋轉(zhuǎn)柱體可近似展開成矩形薄板，寬為點(diǎn)繞直線旋轉(zhuǎn)得到的圓周長(zhǎng)，高為，厚為，故。所以。于是，。2004年（6題50分）1 （6分）求。解：。2 （8分）設(shè)，求。解：時(shí)：；時(shí)：；時(shí)：。3 （8分）求，其中是非負(fù)整數(shù)，先建立遞推公式

4、，然后求定積分的值。解：4 （8分）求的和。解：（）5 （10分）設(shè)。（1） 證明數(shù)列收斂。證：，即數(shù)列單調(diào)遞減有下界，所以收斂。在其中添加一項(xiàng)得數(shù)列，收斂性不變，仍然收斂。（2） 求極限。解：由（1）知數(shù)列收斂，即極限存在，令，由有，即，由（1）知，解得。所以。6 （10分）有半徑為的半球形固定杯子，杯內(nèi)放一根長(zhǎng)為的均勻細(xì)棒（見圖），假設(shè)棒與杯子之間沒有摩擦力，求棒的平衡位置（重心最低的位置）。解：設(shè)細(xì)棒與水平面夾角為；細(xì)棒重力為，細(xì)棒與杯沿接觸點(diǎn)的作用力為，與杯內(nèi)壁接觸點(diǎn)的作用力為；由作用力平衡得：和，解得；由作用于細(xì)棒與杯內(nèi)壁接觸點(diǎn)處的力矩平衡得：將代入上式并化簡(jiǎn)得：；解得：。更佳解：設(shè)

5、細(xì)棒與水平面夾角為，細(xì)棒重心到水平面距離為，則：，原問題即為取何值時(shí)最小；，令，解得：。2003年（3題22分）1 （6分）設(shè)，求。解：等式兩邊對(duì)求導(dǎo)得：，化簡(jiǎn)得，再次對(duì)求導(dǎo)得：。2 （8分）設(shè)，求。解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。3 （8分）求。解：令，則，。2002年（3題20分）1 （6分）計(jì)算。解：2 （7分）設(shè)在上連續(xù)且大于0。試證明：存在，直線將在區(qū)間上的以為曲線邊的曲邊梯形分成兩部分，使得左右兩部分的面積之比為且這樣的是唯一的。解：由題意，任意一條位于之間的垂直線將曲邊梯形分成的左右兩部分的面積分別為：；令，則，由零值定理知在區(qū)間至少有一個(gè)零值；又，知區(qū)間單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零值；所以存在唯

6、一的，使得即，也即存在唯一的使得左右兩部分面積之比為。3 （7分）求級(jí)數(shù)的和及收斂半徑。解：求收斂半徑：，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑；求和函數(shù)：令，則。2001年（3題22分）1 （7分）設(shè)上連續(xù)，且，記，求。解：由及已知條件有：上式兩邊對(duì)求導(dǎo)得：；所以有：。2 （7分）求級(jí)數(shù)的和及收斂區(qū)間。解：求收斂區(qū)間：，所以收斂半徑；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為，級(jí)數(shù)是發(fā)散的；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為，不存在，級(jí)數(shù)是發(fā)散的；所以收斂區(qū)間；求和函數(shù)：，則。3 （8分）設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：（1） 在內(nèi)；（2） 存在，使。證：（1） 反證法證明之。假設(shè)存在使得，又，則：使得使得，這與已知條件矛盾。所以不存在使得即在內(nèi)。（2） 令，則由有：使得，又由題設(shè)及（1）知，所以。2000年（3題22分）1 （7分）設(shè)，求。解：兩邊求導(dǎo)得：由得代入上式得2 （8分）在曲線上求一點(diǎn)，使得曲線與過點(diǎn)的水平直線、軸及圍成的區(qū)域面積最小。解：設(shè)點(diǎn)坐