無窮積分的性質與收斂判別.ppt

1、三、狄利克雷判別法與阿貝爾判別法,2 無窮積分的性質與收斂判別,首頁,一、無窮積分的性質,二、比較判別法,任給 0，,首頁,一、無窮積分的性質,限的柯西準則導出無窮積分收斂的柯西準則.,Ga，只要u1、u2G，便有,由定義知道，無窮積分,收斂與否，,取決于函數(shù),F（u）=,在u+ 時是否存在極限.,因此由函數(shù)極,定理11.1,無窮積分收斂的充要條件是：,存在,.,為任意常數(shù)，則,若 與 都收斂，,首頁,此外，還可根據(jù)函數(shù)極限的性質與定積分的性質，導出無窮積分的一些相應性質.,證明 由于,所以,收斂,只要,u1、u2G，,便有,性質1 (線性性質),k1、k2,也收斂，且,存在,.,首頁,記,證

2、明,則,與 同斂態(tài)（即同時收斂或同時發(fā)散），且有,首頁,若f在任何有限區(qū)間a，u上可積，ab，,(2),其中右邊第一項是定積分.,證明,由于,收斂,存在.,又,其中右邊第一項是定積分，,所以,與,同斂態(tài)（即同時收斂或同時,發(fā)散），且有,.,性質2,則,當 時,首頁,說明: (1) 性質2相當于定積分的積分區(qū)間可加性; (2) 由性質2及無窮積分的收斂定義可推出,收斂的另一充要條件:,任給 0，存在Ga，當uG時，,總有,事實上，,收斂,J=,當 時,當 時,.,斂，則 亦必收斂，并有,首頁,性質3 若f 在任何有限區(qū)間a，u 上可積，且有 收,（3）,存在Ga，當u2u1G 時，總有,利用定積

3、分的絕對值不等式，又有,證明,由,收斂，,根據(jù)柯西準則（必要性），,任給,.,再由柯西準則（充分性），證得 收斂.,又因,，令u+取極限，,立刻得到不等式(3).,首頁,當,收斂時，,稱,為絕對收斂,稱收斂而不絕,對收斂者為條件收斂.,性質3指出：,絕對收斂,收斂.,但其逆命題一般不成立，,今后將舉例說明收斂的無窮積分不一定絕對收斂(本節(jié)例3中,當0p1時,條件收斂).,則當,首頁,發(fā)散）.,這一部分介紹無窮積分的絕對收斂判別法(比較準則及 其三個推論).,二、比較判別法,由于,關于上限u是單調遞增的，,因此,收斂的充要條件是,存在上界.,根據(jù)這一分析，便立,即導出下述比較判別法（請讀者自己寫

4、出證明）：,定理11.2（比較法則）,設定義在a，+上的兩個函數(shù)f 和g,都在任何有限區(qū)G(u)間a，u可積，,且滿足,收斂時，,必收斂,（或者，當,發(fā)散時，,首頁,證明,法一, 根據(jù)P55 習題2結論: 設f 為定義在上的增(減)函,數(shù).,則,存在的充要條件為f 在,上有上(下)界 .,當,收斂時,存在.,又G(u)單增,從而存在M0,使得,F(u)=,即F(u)有上界M.,又顯然F(u)單增.,故,存在,從而,必收斂.,首頁,以及,法二 利用柯西準則TH11.1,由于,收斂,根據(jù)柯西準則（必要性）,對任意,存在Ga，當u2u1G時，,總有,又,因此有,根據(jù)柯西準則（充分性）,收斂.,例1,

5、討論,的收斂性,解,由于,為收斂,（1例4），,根據(jù)比較法則，,為絕對收斂.,上述比較法則的極限形式如下：,首頁,（）當c=0時，,推論1 若f 和g都在任何a，u上可積，g(x)0,且,，,則有,（）當0c+時，,與,同斂態(tài)；,由,收斂可推知,也收斂；,（）當c=+時，,由,發(fā)散可推知,也發(fā)散.,證明,(i),對,當,時,即,從而由比較法則結合性質2知,與,同斂態(tài).,首頁,(ii) 由,對,當,時,從而,從而由比較法則結合性質2知,由,收斂可推知,也收斂.,(iii) 由,對,當,時,從而,從而由比較法則結合性質2知,由,發(fā)散可推知,也發(fā)散.,當選用,作為比較對象,時，,比較判別法及其,極限

6、形式成為如下兩個推論（稱為柯西判別法）.,+時，,（）當p1，0,+時，,首頁,推論2 設 f 定義于,（）當,，x,，且p1時,收斂；,（）當,，x,，且p1時,發(fā)散.,推論3 設f定義于,在任何有限區(qū)間a，u上可積，且,（）當p1，0,發(fā)散.,收斂；,(a0)，,且在任何有限區(qū)間a，u,上可積，則有：,，,則有：,=0），推知1）對任何實數(shù),都有,首頁,例2 討論下列無窮限積分的收斂性：,1）,； 2）,.,是同一回事.,1）由于對任何實數(shù),都是收斂的.,因此根據(jù)上述推論3（P=2，,2）由于,本例中兩個被積函數(shù)都是非負的，,=1，,因此根據(jù)上述推論3（P=,，,=1），,推知2）是發(fā)散的

7、.,解,故收斂與絕對收斂,首頁,三、狄利克雷判別法與阿貝爾判別法,這里來介紹兩個判別一般無窮積分收斂的判別法.,若F（u）=,在,g（x）在,上當x+時單調趨于0，,收斂.,由條件設,M，u,任給,由于,.,對于任何u2u1G，,定理11.3（狄利克雷判別法）,則,證明,.,0，,=0，,因此存在Ga，,當xG時，有,又因g為單調函數(shù)，,利用積分第二中值定理（定理9.10的推論），,上有界，,首頁,存在,u1，u2，使得,.,于是有,=,.,根據(jù)柯西準則，證得,收斂. ,，而 當p1時收斂，,首頁,定理11.4（阿貝爾（Abel）判別法）若,g（x）在上單調有界，則,收斂.,利用狄利克雷判別法

8、更方便地獲得證明（留作習題,例3 討論,與,（p0）的收斂性.,下面分兩種情形來討論：,（）當p1時，,這是因為,這定理同樣可用積分第二中值定理來證明，,但又可,10）。,解,這里只討論前一個無窮積分，,后者有完全相同的結論.,絕對收斂.,收斂，,故由比較法則推知,收斂.,首頁,（）當0p1時，,，而,當p0時單調趨于0 （x+），,故由狄利克雷判別法推知,當p0時總是收斂的.,另一方面，由于,，,其中,而,收斂的.所以它是條件收斂的. ,滿足狄利克雷判別條件，是收斂的，,條件收斂.,有,是發(fā)散的，,因此當0p1時該無窮積分不是絕對,這是因為對任意u1，,首頁,例4 證明下列無窮積分都是條件收斂的：,，,，,.,前兩個無窮積分經換元t=x2得到