九年級數(shù)學(xué)上冊 第21章 第9課時 一元二次方程的應(yīng)用（2）導(dǎo)學(xué)案 （新版）新人教版

1、一維二次方程在第九課(2)中的應(yīng)用第一，學(xué)習(xí)目標1.將使用二次方程來解決數(shù)值問題2.將使用二次方程來解決營銷問題；3.將使用一維二次方程來解決動態(tài)幾何問題。二、知識綜述1.要用一維二次方程解決實際問題，我們通常必須經(jīng)過以下基本步驟：(1)檢查問題以找到等價關(guān)系；(2)建立元序列方程；(3)解決和測試；(4)寫下答案。2.數(shù)值問題中常用的定量關(guān)系是：兩位數(shù)字表示為：十位數(shù)字，十位數(shù)字；三位數(shù)表示為：100位、100位和10位；三個連續(xù)的整數(shù)可以表示為：x-1，x，x1；三個連續(xù)的奇數(shù)可以表示為：2x-1、2x1和2x 3；三個連續(xù)的偶數(shù)可以表示為：2x-2，2x，2x 2。第三，新知識解釋一維二

2、次方程的應(yīng)用營銷問題(“每次”問題)經(jīng)常出現(xiàn)的問題是指“單價降低時每次增加多少銷售額”或“單價增加時每次減少多少銷售額”。關(guān)鍵是找出兩個“每次”代表的個數(shù)，用未知數(shù)表示，然后根據(jù)等價關(guān)系列出方程求解。四、典型案例研究1.一維二次方程的應(yīng)用【例1】(2014年秋季冠縣學(xué)校級別末尾)，兩位數(shù)等于其一位數(shù)的平方，一位數(shù)比十位數(shù)大3。找到這個兩位數(shù)。摘要：對于數(shù)的問題，我們必須首先闡明數(shù)的表示方法：(1)如果它是一個兩位數(shù)的數(shù)字，其中一位數(shù)字設(shè)置為a，十位數(shù)字設(shè)置為b，那么這個兩位數(shù)可以表示為10ba(2)如果是三位數(shù)，一位數(shù)設(shè)置為甲，十位數(shù)設(shè)置為乙，百位數(shù)設(shè)置為丙，則該三位數(shù)可表示為100c10b甲

3、；(3)假設(shè)x是一個整數(shù)，三個連續(xù)的整數(shù)可以表示為x-1，x，x 1，三個連續(xù)的奇數(shù)可以表示為2x-1，2x1，2x 3；三個連續(xù)的偶數(shù)可以表示為2x-2、2x、2x2。練習(xí)1有一個兩位數(shù)，等于其位數(shù)乘積的三倍，它的十位數(shù)比一位數(shù)小2。找到這個兩位數(shù)的數(shù)字。連二(2015河北仿真)的魔術(shù)表演風(fēng)靡全國。小明還得知劉謙發(fā)明了一個魔盒。當任何實數(shù)對(a，b)進入時，它將得到一個新的實數(shù)：a2 b1.例如，如果你把(3，2)放進去，你會得到32 ()A.3 B. 1 C. 3或1 D. 3或12.一維二次方程在營銷問題中的應(yīng)用例2(烏魯木齊，2015)，現(xiàn)在一件商品的價格是60元，每周可以賣300件。

4、市場調(diào)查顯示，每降價1元，每周能賣出20多件。眾所周知，一種商品的購買價格是每件40元。在顧客能夠獲得利益的前提下，商家仍然希望獲得6080元的利潤。銷售單價應(yīng)該是多少？摘要：在用一維二次方程求解的營銷問題中，常用的關(guān)系式是：利潤=銷售價格-購買價格，單件利潤=銷售額=總利潤。用一元二次方程解決的每一個問題，通常是指“每一個單價降低，每一次銷售增加”或“每一個單價增加，每一次銷售減少”的問題。注意兩個“每次”。在每一類問題中，每一次漲價(降價)都會引起定價和銷售量的變化，而定價的變化會影響單件利潤。等價關(guān)系一般是單件利潤銷售額=總利潤。在每一類問題中，我們都要注意“以顧客獲得利益為前提”和“降

5、低庫存壓力”等陳述，這些都是選擇答案的重要信息。連3 (2015淮安)水果店的張阿義以每斤2元的價格買了一個水果，然后以每斤4元的價格賣掉，每天可以賣100斤。經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種水果每降價0.1元，每天可以多賣20斤。為了保證每天至少賣出260斤，張阿姨決定降價。(1)如果每斤水果的價格降低X元，則每天的銷售量為每斤(exp例3 (2015年春壽縣月檢)如圖ABC，B=90，AB=6，BC=8。點P以1厘米/秒的速度從點A沿著AB移動到點B，而點Q以2厘米/秒的速度從點B沿著BC移動到點C。如果點P和Q分別從A和BC移動，(1)幾秒鐘后，PBQ面積等于8cm2。(2)PBQ面積是否等于10cm

6、2？如果是，此時請求移動時間；如果沒有，請解釋原因。摘要：動態(tài)幾何問題是指圖形中的移動點、移動線和移動圖的問題。要解決這些問題，就要搞清楚圖形的變化過程，正確分析變量與其他量的關(guān)系，并在運動中看靜態(tài)，有靜態(tài)制動。不變量在動態(tài)幾何問題中經(jīng)常被關(guān)注，并且方程模型經(jīng)常被建立以在找到特定位置或值時解決它們。連4(2015年春季慈溪月考)如圖所示，一個2.5米長的梯子AB斜靠在垂直的墻AC上，從B到墻C的距離為0.7米。如果梯子的頂端沿著墻壁滑下0.4米，那么B點向外移動多少米？(1)請完成小明對“思考問題”的回答：解決方案：設(shè)定點b將向外移動x米，即BB1=x。然后B1C=x 0.7和A1C=ACAA

7、1=0.4=2當A1B1=2.5時，在RtA1B1C中，方程式由B1C2 A1C2=A1B12獲得。X1=，x2=，點b將向外移動米。(2)在解決了“思維問題”之后，蕭琮提出了以下問題：梯子頂部從A點滑下墻壁的距離是否等于梯子頂部從B點向外移動的距離？為什么？請回答小聰提出的這個問題。第五，課后測驗首先，選擇題1.如果兩個數(shù)的差是4，乘積是45，那么這兩個數(shù)是()A.5和9 B. 9和5 C.5和5或9 d . 5和9或9和52.(2014年鄂城區(qū)校級模擬)西瓜經(jīng)營者以2元/公斤的價格購買一批小西瓜，以3元/公斤的價格出售，每天可銷售200公斤。為了促進銷售，經(jīng)營者們決定降低價格。經(jīng)過調(diào)查，發(fā)

8、現(xiàn)這種小西瓜每降價0.3元/公斤，每天可以多賣40公斤。此外，固定成本如日租金為24元。為了減少庫存，A.0.2或0.3 B.0.4 C.0.3 D.0.23.如圖所示，房間地板上的圖案鑲嵌著相同大小的黑白方塊。在圖中，第一個黑色形狀由3個正方形組成，第二個黑色形狀由7個正方形組成，因此組成第12個黑色形狀的正方形數(shù)量為()A.44 B.45 C.46 D.47第二，填空4.(2014年秋季婁底學(xué)校結(jié)束時)如果兩個連續(xù)的偶數(shù)的乘積是224，那么這兩個數(shù)的和就是_ _ _ _ _。5.(2015年東西湖區(qū)校級模擬)商場某商品平均每天銷售30件，每件利潤50元。為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)?/p>

9、降價措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品的平均日銷售量要多2件。根據(jù)這一規(guī)則，當每件商品的價格降低_ _ _ _ _ _ _ _時，商場的日利潤可達2100元。第三，回答問題6.(古城縣模擬，2015)如何用40厘米長的繩子圍起一個面積為96平方厘米的長方形？你能形成一個面積為102平方厘米的長方形嗎？如果可以，解釋一下周圍的方法；如果沒有，請解釋原因。7.(2015年春末，江陰市)一名大學(xué)生利用暑假的社會實踐，參與了一家網(wǎng)店的運營。這家網(wǎng)店以每件20元的價格購買了900種新產(chǎn)品。在第一周，300件產(chǎn)品以每件35元的價格出售，在第二周，300件產(chǎn)品仍然可以以每件35元的價格出售。然而，為了適當?shù)卦黾愉N售

10、量，商店決定降低銷售價格(根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低1元，可以多銷售50種產(chǎn)品)。(1)如果第二周降價，賣出1元，第一周和第二周的利潤分別是多少？(2)如果在第二周單價降低了X元，在銷售一周之后，商店將清理剩余的商品，并以每件15元的價格出售。如果這批貨計劃盈利9500元，第二周每種商品的單價應(yīng)該降低多少元？8.(江西模擬，2014)直角邊AB=BC=10cm厘米等腰三角形ABC，點P和Q同時從點A和C開始，它們都以1厘米/秒的相同速度做直線運動.已知P沿射線AB運動，Q沿BC的延長線運動，PQ與直線AC在點d相交.假設(shè)點P的運動時間為T，PCQ的面積為s .(1)找出s相對于t的函數(shù)關(guān)系；(2

11、)當p點移動幾秒鐘時，SPCQ=SABC？(3)如果在e點使用PEAC，當p點和q點移動時，線段DE的長度會改變嗎？證明你的結(jié)論。9.(汕頭市2015年春季分等期)如圖所示，長方形ABCD(長方形的對邊相等，每個角為90)，AB=6厘米，AD=2厘米，點P和點Q同時從點A和點C開始移動，點P以2厘米/秒的速度移動到點B的終點，點Q以1厘米/秒的速度移動到點D，當一點到達終點時，(1)當t=1秒時，四邊形BCQP的面積是多少？(2)當t的值是多少時，點P和點Q之間的距離是3厘米嗎？(3)當t=以點p、q和d為頂點的三角形是等腰三角形時(直接寫出答案)探索答案的典型例子：示例1分析讓這兩位數(shù)字的單

12、個數(shù)字是x，然后十位數(shù)字是(x3)，然后這兩位數(shù)字是10(x3x，然后等式可以根據(jù)等于其單個數(shù)字的平方的兩位數(shù)字來求解。解決方法：讓這兩個數(shù)字的單個數(shù)字是x，那么十個數(shù)字是(x3).根據(jù)問題的意思，得到10(x3) x=x2原始方程可以簡化為x211x 30=0。x1=5,x2=6，當x=5時，x3=2，兩位數(shù)是25；當x=6時，x3=3，兩位數(shù)是36。甲：兩位數(shù)是25或36。評論：本課題主要考察一元二次方程的應(yīng)用。解決問題的關(guān)鍵是理解題目的含義，根據(jù)題目給出的條件找出合適的等價關(guān)系，列出方程，然后求解。練習(xí)1。分析假設(shè)這兩位數(shù)字的單個數(shù)字是X，那么十位數(shù)字是(x-2)，那么這兩位數(shù)字是10(

13、x-2) x，那么根據(jù)這兩位數(shù)字等于其數(shù)字乘積的三倍，等式可以被公式化和求解。解決方法：讓這兩個數(shù)字的單個數(shù)字是X，那么十個數(shù)字是(x-2)。根據(jù)問題的含義，10(x-2) x=3x(x-2)，原始方程可以簡化為3x2-17x 20=0，因式分解給出(3x-5)(x-4)=0。解是x1=，x2=4。因為x是一個整數(shù)，x=不符合問題的意思，x=4。10(x-2) x=24，所以這個兩位數(shù)是24。評論：本主題研究一維二次方程應(yīng)用中的數(shù)值問題。注：在獲得解決方案后，應(yīng)測試其實際意義，不符合問題含義的解決方案應(yīng)丟棄。練習(xí)2?！痉治觥扛鶕?jù)相應(yīng)的運算方法和順序，讓m為2的二次方程的結(jié)果，然后以列的形式進行

14、求值。解決方案：從問題的含義來看：m2 (2m)1=2，m22m3=0，(m3)(m 1)=0，M1=3，m2= 1。因此，d .點評：考察一維二次方程的應(yīng)用；理解新定義的操作方法是解決這個問題的關(guān)鍵。例2分析讓價格降低X元，顯示銷售價格和銷售量，并列出方程進行求解。解決方案：如果價格降低x元，價格將是(60x)元，銷售量將是(300 20)件。根據(jù)問題的意思，(60x40)(300 20x)=6080。X1=1，x2=4，顧客得到好處，所以取x=4，價格是60-4=56元。答：銷售單價應(yīng)該定為56元。注釋：本主題檢查一維二次方程的應(yīng)用，從主題中找出關(guān)鍵描述符，并找出等價關(guān)系。準確地列出方程是

15、解決問題的關(guān)鍵。在這個話題上，我們應(yīng)該注意判斷解決方案是否符合問題的含義，而拋棄不符合問題含義的解決方案。練習(xí)3?！痉治觥?1)銷售量=原始銷售量-減少的銷售量，按此公式計算；(2)根據(jù)每斤銷量利潤=總利潤，方程可以求解。解決方法：(1)如果這種水果每斤降價X元，日銷售量為100 20=100 200斤；(2)根據(jù)問題的含義：(42x)(100 200倍)=300，X=或x=1。每天至少售出260公斤。x=1.張阿姨要把每斤的價格降低1元。評論：這個問題檢驗理解問題含義的能力。第一個問題是找出每公斤的利潤和總銷售量，以便獲利。第二個問題是根據(jù)銷售價格和銷售量之間的關(guān)系，以利潤為等價關(guān)系求解方程

16、。例3分析 (1)讓x秒過去，PBQ面積等于8cm2.首先用含有x的代數(shù)表達式表示BP和BQ的長度，然后代入三角形面積公式，列出方程，然后計算時間；(2)讓PBQ的面積等于10cm2。y秒后。根據(jù)三角形的面積公式，列出了y的二次方程，并根據(jù)=b24ac.公式進行了判斷解決方法：(1)讓x秒過去，PBQ面積等于8cm2.* AP=1 x=x，BQ=2x，BP=ABAP=6x，SPBQ=BPBQ=(6x)2x=8，x26x 8=0，解決方法是x=2或4，也就是說，2秒或4秒后，PBQ的面積等于8cm2。(2)y秒后，PBQ面積等于10cm2，SPBQ=(6y)2y=10，即，y2-6y10=0，因

17、為=B2 4ac=36 410= 4 0，因此，PBQ的面積將不等于10cm2.評論：本主題研究一維二次方程的應(yīng)用。關(guān)鍵是用代數(shù)表達式隨時間精確表示BP和BQ的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式列出一維二次方程，求解并作出判斷。練習(xí)4。分析 (1)根據(jù)畢達哥拉斯定理，設(shè)定點b將向外移動x米，即BB1=x，B1C=x 0.7，A1c=AC AA1= 0.4=2。在RtA1B1C中，B1C2 A1C2=A1B12是由勾股定理得到的，根據(jù)(2)讓梯子的頂端從A向下滑動X米，B點也向外移動X米。根據(jù)畢達哥拉斯定理，(x 0.7)2 (2.4x)2=2.52)可以求解。解決方法：(1)設(shè)定點b向外移動x米，即BB1=x。那么B1C=x 0.7，a1c=AC aa1=