第二節(jié)中心極限定理.ppt

1、在概率論中，我們已經(jīng)知道正態(tài)分布居 于頭等重要的地位，許多隨機(jī)變量都遵循 正態(tài)分布。自從高斯指出測量誤差服從正 態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然 界中極為常見。并且大量實(shí)驗(yàn)觀察也表明如果一個量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大， 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布。,第二節(jié) 中心極限定理,問題的引出,高斯,(1). 具有有限方差的一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的 和經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后是以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限的， 這就是獨(dú)立同分布的中心極限定理 或 稱為 林德貝爾格-勒維中心極限定理。當(dāng)同分布 為二項(xiàng)分布時就得出該定理的特例，即為： 棣莫弗-拉普拉斯定理，它也

2、是二項(xiàng)分布的 正態(tài)近似。,這僅僅是經(jīng)驗(yàn)之談呢，還是確有理論依據(jù)呢？對于這樣一個重要問題，在長達(dá)兩個世紀(jì)內(nèi)一直成為概率論研究的中心問題。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過卓越工作建立了一系列定理，解決了這一問題，并指出:,(2). 對“由大量微小的獨(dú)立的隨機(jī)因素”（不要求同分 布）引起并累積成的變量，當(dāng)隨機(jī)因素個數(shù)趨于 無窮時以正態(tài)分布為極限。這就是李雅普諾夫中 心極限定理。,比如：一臺機(jī)床已經(jīng)調(diào)試良好，操作正常。但由 于機(jī)床的微小震動、工具的微小變形、原材料質(zhì) 量上的微小差異、工作操作上的微小偏差等等數(shù) 不清的隨機(jī)因素，它們每一個因素在總的影響中 所起的作用都是微小的。而綜合起來在產(chǎn)品質(zhì)量 上就形成一定的誤差，這誤

3、差近似服從正態(tài)分布。,在一定條件下，大量的隨機(jī)變量之和的概率分布以正態(tài)分布為極限的定理稱為中心極限定理。,在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理。故：,研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題。當(dāng) n 無限增大時，這個和的極限分布是什么？在什 么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？,研究的問題：,在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生 的總影響：,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著 許多隨機(jī)因素的影響：,中心極限定理的客觀背景,如，瞄準(zhǔn)時的誤差，空氣阻力所產(chǎn)生的誤 差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.,而所要研究的是：這些隨機(jī)因素的總影響。,一. 獨(dú)立同分布中

4、心極限定理,定理1.,設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立且服從同 一分布，其數(shù)學(xué)期望與方差:,（林德貝爾格-勒維(LevyLindberg)定理）,則隨機(jī)變量之和,的標(biāo)準(zhǔn)化變量：,的分布函數(shù) 對于任意 滿足:,證： (略) 它要用到特征函數(shù)和傅利葉變換等等。,注:,定理1 表明，當(dāng) n 充分大時，n 個具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布。,雖然在一般情況下，很難求出 X1+ X2 + + Xn 的分布的確切形式，但當(dāng) n 很大時，可以求 出其近似分布。,定理1 表達(dá)了正態(tài)分布在概率論中的特殊地位:,盡管 分布是任意的，但只要 n 充分大后，其樣本平均值 的分布卻是近似服從正態(tài)分布的：,

5、或,這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ),二. 李雅普諾夫定理,定理2.,設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，它們 具有數(shù)學(xué)期望和方差為：,( Liapunov 中心極限定理),記,若存在正數(shù),使得當(dāng),的分布函數(shù) 對于任意 滿足:,證明：（略）,注:,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,由此，,定理2再次表達(dá)了正態(tài)分布在概率論中的,特殊地位：,無論各個隨機(jī)變量 服從什么分,布，只要滿足定理2的條件，那么它們的和當(dāng) n 充分大時就近似服從正態(tài)分布。,三. 棣莫弗-拉普拉斯定理,定理3.,（De Moiverelaplace 中心極限定理）,設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為 的二項(xiàng)分布，則對任意 恒有:,證明:,服從

6、參數(shù)為 的二項(xiàng)分布,若隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且服從 同一(01)分布，,則,見教材P125例6 的結(jié)論,由此 是 n 個相互獨(dú)立，服從同一 (0-1) 分布的 之和。即：,其中 的分布律為：,由定理1得：,注:,定理3表明，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布， 當(dāng) n 充分大時可以用正態(tài)分布來計(jì)算二項(xiàng)分 布的概率。,在第二章中已介紹當(dāng) 時，二項(xiàng)分布以 泊松分布為極限分布；而在本章中二項(xiàng)分布又 以正態(tài)分布為極限分布。這兩者的區(qū)別是：,在泊松定理中要求,在中心極限定理中要求,所以在實(shí)際計(jì)算中，如果 n 很大但 np或 nq 不大 ( 即 p 很小或 q =1-p 很小 )，那么應(yīng)該用泊 松定理去近似；如果

7、 n，np 或 nq 都較大，那么應(yīng)該用中心極限定理去近似。,中心極限定理的直觀圖示,例: 20個服從（01）分布 的隨機(jī)變量的和的分布,X1 f ( x),X1 +X2 g ( x ),X1 +X2+X3 h ( x ),例: 幾個在( 0, 1 )上服從均勻分 布的隨機(jī)變量的和的分布。,例1.,抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個則 認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受。,解:,設(shè)應(yīng)檢查產(chǎn)品個數(shù)為 n ，其中次品數(shù)為 X，則,現(xiàn)要求 n ，使得：,求：應(yīng)該檢查多少個產(chǎn)品，可使次品率為 10% 的一 批次品不能接受的概率達(dá)到 0. 9?,由 定 理 3,近似服從N( 0, 1 ),由3準(zhǔn)則， 為 1,

8、要,只要：,即要：,此時由于：,必定有：,只要：,所以要：,因?yàn)?即,查表得:,故,結(jié)論：應(yīng)檢查 146 個產(chǎn)品時，可使這批產(chǎn)品不被接受的概 率為0. 9,例 2.,計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時，把每個加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計(jì)算。設(shè)所有的取數(shù)誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都在區(qū)間 -0.5, 0.5 上服從均勻分布。,求:,現(xiàn)有1200個數(shù)相加，誤差總和的絕對值小于 10 的概率。,(2) 應(yīng)有多少個數(shù)相加時可使誤差總和的絕對值小 于10 的概率大于0. 9,解:,設(shè) 為各個加數(shù)的取數(shù)誤差,則這是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其所有加 數(shù)的誤差總和為：,從而：,(1).,這里:,(2).,由 定 理 1,近似服從N ( 0, 1 ),只要:,查表得:,解得:,所以要,例3.,在人壽保險(xiǎn)公司里，有16000名同一年齡的人參加人壽保險(xiǎn)。一年里這些人的死亡率為0.1%；參加保險(xiǎn)的人在一年的第一天交付保險(xiǎn)費(fèi)3元，死亡時家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元。,求:,(1). 保險(xiǎn)公司因開展這項(xiàng)業(yè)務(wù)獲利不少于10000 元的概率,(2). 保險(xiǎn)公司因開展這項(xiàng)業(yè)務(wù)虧本的概率,解:,由題意，死亡人數(shù),這里，,保險(xiǎn)公司一年內(nèi)這項(xiàng)保險(xiǎn)收入是：,獲利不少于10000元，即賠償不大于 38000(元)， 即一 年內(nèi)至多有 （人）死亡,即該公司獲利不少于 10000(元)的概率為 0.7734.,(1).,所以:,公司