第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析法.ppt

1、1,第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析法,頻率特性法是經典控制理論中對系統(tǒng)進行分析與綜合的又一重要方法。 與時域分析法和根軌跡法不同。頻率特性法不是根據系統(tǒng)的閉環(huán)極點和零點來分析系統(tǒng)的時域性能指標，而是根據系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應，即系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的頻域性能指標。 因此，從某種意義上講，頻率特性法與時域分析法和根軌跡法有著本質的不同。,頻率特性雖然是系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應，但它不僅能反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。,2,頻域性能指標與時域性能指標之間有著內在的聯(lián)系。通過這種內在聯(lián)系，可以由系統(tǒng)的頻域性能指標求出時域性能指標或反之。因此，頻率特性法與時域分析法和根

2、軌跡法又是統(tǒng)一的。,應用時域分析法和根軌跡法分析系統(tǒng)時，應先知道系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數，而頻率特性法既可以根據系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數采用解析的方法得到系統(tǒng)的頻率特性，也可以用實驗的方法測出穩(wěn)定系統(tǒng)或元件的頻率特性。,3,本章將介紹頻率特性的基本概念，典型環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的頻率特性的極坐標圖和伯德圖，奈奎斯特穩(wěn)定判據和頻域性能指標與時域性能指標之間的關系等。,實驗法對于那些不知道其內部結構和傳遞函數的系統(tǒng)，或難于用分析方法列寫動態(tài)方程的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)是很有用的。,4,第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析,5-1 頻率特性的基本概念 5-2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 5-3 開環(huán)頻率特性分析 5-4 頻域穩(wěn)定性判據 5-5 控制系

3、統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 5-6 閉環(huán)頻率特性 5-7 頻域響應和時域響應之間的關系,5,5-1頻率特性的基本概念,討論線性定常系統(tǒng)（包括開環(huán)、閉環(huán)系統(tǒng)）在正弦輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出。設圖5-1所示的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數為:,其輸入信號為:,6,系統(tǒng)的傳遞函數通常可以寫成:,由此得到輸出信號的拉氏變換:,則輸入信號的拉氏變換是:,7,對上式進行拉氏反變換得到系統(tǒng)的輸出為:,對穩(wěn)定系統(tǒng),s1,s2,.sn都具有負實部，當時間t趨于無窮大時，上式的暫態(tài)分量將衰減至零。因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為:,其中待定系數b和可按下式計算:,(5-6),(5-7),(5-8),(5-9),8,G(j)是一個復數，用模和幅角

4、可表示為:,同樣，G(-j)可以表示為:,將式(5-8)(5-9）以及式(5-10)(5-12)代入式(5-7)可得:,9,或:,稱為系統(tǒng)的頻率特性，它反映了在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應與輸入正弦信號的關系。,式中: 為穩(wěn)態(tài)輸出信號的幅值。,上式表明，線性定常系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應仍然是與正弦輸入信號同頻率的正弦信號；,輸出信號的振幅是輸入信號振幅的|G(jw)|倍；,輸出信號相對輸入信號的相移為 ；,輸出信號的振幅及相移都是角頻率的函數。,10,其中:,稱為系統(tǒng)的幅頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號作用下，輸出穩(wěn)態(tài)幅值與輸入信號幅值的比值，即系統(tǒng)的放大（或衰減）特性。,稱為系

5、統(tǒng)的相頻特性，它反映系統(tǒng)在不同頻率正弦信號的作用下，輸出信號相對輸入信號的相移。系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。,(5-16),(5-17),11,獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑有兩個:,一、解析法當已知系統(tǒng)的傳遞函數時，用代入傳遞函數可得到系統(tǒng)的頻率特性G(j)。因此，頻率特性是特定情況下的傳遞函數。它和傳遞函數一樣，反映了系統(tǒng)的內在聯(lián)系。這種通過傳遞函數確定頻率特性的方法是求取頻率特性的解析法。,二、實驗法當系統(tǒng)已經建立，尚不知道其內部結構或傳遞函數時，在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號X(t)=XSint ，測出不同頻率時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移，便可得到它的幅頻特性 和相頻特性 。這

6、種通過實驗確定系統(tǒng)頻率特性的方法是求取頻率特性的實驗法。,12,自動控制系統(tǒng)通常由若干環(huán)節(jié)構成，根據它們的基本特性，可劃分成幾種典型環(huán)節(jié)。本節(jié)將介紹典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制方法，主要介紹應用較為廣泛的極坐標圖和伯德圖。,一、典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線（極坐標圖）,以角頻率為參變量，根據系統(tǒng)的幅頻特性 和相頻特性 在復平面 上繪制出的頻率特性叫做幅相特性曲線或頻率特性的極坐標圖。它是當角頻率從0到無窮變化時，矢量 的矢端GH 在平面上描繪出的曲線。曲線是關于實軸對稱的。,5-2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性,13,放大環(huán)節(jié)的傳遞函數為:,其對應的頻率特性是:,其幅頻特性和相頻特性分別為:,頻率特性如圖5-2所示

7、。,由圖5-2可看出放大環(huán)節(jié)的幅頻特性為常數K，相頻特性等于零度，它們都與頻率無關。理想的放大環(huán)節(jié)能夠無失真和無滯后地復現(xiàn)輸入信號。,（一）放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）,14,（二）積分環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié)的傳遞函數為:,(5-22),其對應的頻率特性是:,(5-23),幅頻特性和相頻特性分別為:,頻率特性如圖5-3所示。由圖可看出，積分環(huán)節(jié)的相頻特性等于-900 ，與角頻率無關.,圖5-3 積分環(huán)節(jié)的頻率響應,15,（三）慣性環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數為:,其對應的頻率特性是:,幅頻特性和相頻特性分別是:,表明積分環(huán)節(jié)對正弦輸入信號有900的滯后作用； 其幅頻特性等于1/，是的函數，當由零變到無窮大時，輸出

8、幅值則由無窮大衰減至零。 在G(j)平面上，積分環(huán)節(jié)的頻率特性與負虛軸重合。,(5-29),16,(5-29),當由零至無窮大變化時，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在G(j)平面上是正實軸下方的半個圓周，證明如下：,令:,(5-30),(5-31),17,天天臺,在低頻范圍內，對輸入信號的幅值衰減較小，滯后相移也小，在高頻范圍內，幅值衰減較大，滯后相角也大，最大滯后相角為900。,慣性環(huán)節(jié)是一個低通濾波環(huán)節(jié)和相位滯后環(huán)節(jié)。,這是一個標準圓方程，其圓心坐標是 ，半徑為 。,且當由 時， 由 ，說明慣性環(huán)節(jié)的頻率特性 在平面上是實軸下方半個圓周，如圖5-4所示。,(5-32),(5-33),則有:,18,推廣

9、：當慣性環(huán)節(jié)傳遞函數的分子是常數K時，即G(j)=k/(jT+1)時，其頻率特性是圓心為:k/2,0，半徑為k/2的實軸下方半個圓周。,(四）振蕩環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數是:,其頻率特性是:,幅頻特性和相頻特性分別為:,圖5-4 慣性環(huán)節(jié)的頻率響應,(5-34),(5-35),19,振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均與阻尼比有關，不同阻尼比的頻率特性曲線如圖所示。,當阻尼比較小時，會產生諧振，諧振峰值Mr(Mr1)和諧振頻率r由幅頻特性的極值方程解出。,20,其中 稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼自然振蕩頻率，它是振蕩環(huán)節(jié)頻率特性曲線與虛軸的交點處的頻率。,圖5-5 振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應,將r代入|G(j)|

10、得到諧振峰值Mr為:,(5-40),將r代入G(j) 得到 諧振相移,為:,21,當阻尼比 時，此時振蕩環(huán)節(jié)可等效成兩個不同時間常數的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，即:,T1,T2為一大一小兩個不同的時間常數，小時間常數對應的負實極點離虛軸較遠，對瞬態(tài)響應的影響較小。,圖5-6 振蕩環(huán)節(jié)的頻率響應,振蕩環(huán)節(jié)的幅值特性曲線如圖5-6所示。,在 的范圍內，隨著的增加， 緩慢增大;,當 時，達到最大值；當 時，輸出幅值衰減很快。,22,振蕩環(huán)節(jié)為相位滯后環(huán)節(jié)，最大滯后相角是 。,（五）一階微分環(huán)節(jié),典型一階微分環(huán)節(jié)的傳函數為:,其中為微分時間常數、1為比例項因子，嚴格地說，由式（5-43）表示的是一階比例微分環(huán)節(jié)

11、的傳遞函數，由于實際的物理系統(tǒng)中理想微分環(huán)節(jié)或純微分環(huán)節(jié)（即不含比例項）是不存在的，因此用比例微分環(huán)節(jié)作為一階微分環(huán)節(jié)的典型形式。,23,頻率特性如圖5-7所示。它是一條過點(1,j0)與實軸垂直相交且位于實軸上方的直線。純微分環(huán)節(jié)的頻率特性與正虛軸重合。,圖5-7 一階微分環(huán)節(jié)的頻率響應,(5-44),24,（六）二階微分環(huán)節(jié),二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數為:,其對應的頻率特性是:,幅頻特性和相頻特性分別為:,(5-47),(5-48),(5-49),(5-50),25,二階微分環(huán)節(jié)頻率特性曲線如圖5-8所示，它是一個相位超前環(huán)節(jié)，最大超前相角為 。,（七）不穩(wěn)定環(huán)節(jié),不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的傳遞函數為:,不

12、穩(wěn)定環(huán)節(jié)有一個正實極點， 對應的頻率特性是:,圖5-8 二階微分環(huán)節(jié)頻率特性圖,(5-51),(5-52),26,幅頻特性和相頻特性分別為:,不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的頻率特性如圖5-9。比較圖5-4可知，它與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性相比，是以平面的虛軸為對稱的。,圖59不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的頻率特性,(5-53),(5-54),圖5-4 慣性環(huán)節(jié)的頻率響應,27,（八）滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數,滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數為:,其對應的頻率特性是:,幅頻特性和相頻特性分別為:,如圖5-10所示，滯后環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是一個順時針旋轉的單位圓。,圖5-10 滯后環(huán)節(jié)頻率特性圖,28,總結：各環(huán)節(jié)的頻率特性,29,總結：各環(huán)節(jié)的極坐

13、標圖,30,二、典型環(huán)節(jié)頻率特性的伯德圖,伯德（Bode）圖又叫對數頻率特性曲線，它是將幅頻特性和相頻特性分別繪制在兩個不同的坐標平面上，前者叫對數幅頻特性，后者叫對數相頻特性。,兩個坐標平面橫軸(軸)用對數分度，對數幅頻特性的縱軸用線性分度，它表示幅值的分貝數， 即L()=20lg|G(j)|(dB)；對數相頻特性的縱軸也是線性分度，它表示相角的度數，即()=G(j)(度)。,通常將這兩個圖形上下放置（幅頻特性在上，相頻特性在下），且將縱軸對齊，便于求出同一頻率的幅值和相角的大小，同時為求取系統(tǒng)相角裕度帶來方便。,31,幅頻特性,相頻特性,32,用伯德圖分析系統(tǒng)有如下優(yōu)點：,（1）將幅頻特性

14、和相頻特性分別作圖，使系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的幅值和相角與頻率之間的關系更加清晰；,(2）幅值用分貝數表示，可將串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值相乘變?yōu)橄嗉舆\算，可簡化計算；,（3）用漸近線表示幅頻特性，使作圖更為簡單方便；,（4）橫軸（軸）用對數分度，擴展了低頻段，同時也兼顧了中、高頻段，有利于系統(tǒng)的分析與綜合。,33,（一）放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）,放大環(huán)節(jié)的頻率特性為:,其幅頻特性是:,對數幅頻特性為:,(5-59),(5-60),(5-61),34,放大環(huán)節(jié)的對數幅頻特性如圖5-11所示，它是一條與角頻率無關且平行于橫軸的直線，其縱坐標為20lgK。,當有n個放大環(huán)節(jié)串聯(lián)時，即:,幅值的總分貝數為:,放大環(huán)節(jié)的相頻

15、特性是:,如圖5-11所示，它是一條與角頻率無關且與軸重合的直線。,(5-62),(5-63),(5-64),35,（二）積分環(huán)節(jié),積分環(huán)節(jié)的頻率特性是:,其幅頻特性為:,對數幅頻特性是:,(5-65),(5-66),(5-67),36,設 ，則有:,可見，其對數幅頻特性是一條在=1（弧度/秒）處穿過零分貝線（軸），且以每增加十倍頻率降低20分貝的速度（-20dB/dec）變化的直線。,積分環(huán)節(jié)的相頻特性是:,是一條與無關，值為-900 且平行于軸的直線。積分環(huán)節(jié)的對數幅頻特性和相頻特性如圖5-12所示。,(5-68),(5-69),37,其對數幅頻特性為:,是一條斜率為-n20dB/dec，

16、且在=1（弧度/秒）處過零分貝線（軸）的直線。,圖5-13 兩個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的Bode圖,(5-71),(5-72),相頻特性是一條與無關，值為-n900 且與軸平行的直線。兩個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的Bode圖如圖5-13所示。,38,（三）慣性環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是:,其對數幅頻特性是:,兩條直線在 處相交， 稱為轉折頻率，由這兩條直線構成的折線稱為對數幅頻特性的漸近線。如圖5-14所示。,(5-73),(5-74),39,很明顯，距離轉折頻率 愈遠 , 愈能滿足近似條件，用漸近線表示對數幅頻特性的精度就愈高；反之，距離轉折頻率愈近，漸近線的誤差愈大。 等于轉折頻率 時，誤差最大，最大誤差為:,

17、40,時的誤差是:,時的誤差是:,誤差曲線對稱于轉折頻率 ，如圖5-15所示。由圖5-15可知，慣性環(huán)節(jié)漸近線特性與精確特性的誤差主要在交接頻率 上下十倍頻程范圍內。轉折頻率十倍頻以上的誤差極小，可忽略。經過修正后的精確對數幅頻特性如圖5-14所示。,41,慣性環(huán)節(jié)的相頻特性為:,對應的相頻特性曲線如圖5-14所示。它是一條由 至 范圍內變化的反正切函數曲線，且以 和 的交點為斜對稱.,42,（四）一階微分環(huán)節(jié),一階微分環(huán)節(jié)頻率特性為:,其對數幅頻特性是:,一階微分環(huán)節(jié)的對數幅頻特性如圖5-16所示，漸近線的轉折頻率為 ，轉折頻率處漸近特性與精確特性的誤差為 ，其誤差均為正分貝數，誤差范圍與慣

18、性環(huán)節(jié)類似。,43,比較圖5-16和5-14，可知，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對數幅頻特性和相頻特性是以橫軸（軸）為對稱的。,圖5-16 一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖,一階微分環(huán)節(jié)的相頻特性如圖5-16 所示，相角變化范圍是00至900，轉折頻率1/T處的相角為450。,44,（五）振蕩環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性是:,其對數幅頻特性為:,漸近線的第一段折線與零分貝線（軸）重合，對應的頻率范圍是0至 ；第二段折線的起點在 處，是一條斜率為-40（dB/dec）的直線，對應的頻率范圍是 至。兩段折線構成振蕩環(huán)節(jié)對數幅頻特性的漸近線，它們的轉折頻率為 。對數幅頻特性曲線的漸近線如圖5-17所示。,(5-79

19、),(5-80),45,漸近線與精確對數幅頻特性曲線的誤差分析如下：,當 時， ，它是阻尼比的函數；當=1時為-6（dB）; 當=0.5時為0(dB); 當=0.25時為+6(dB)；誤差曲線如圖5-18所示。,圖5-17 振蕩環(huán)節(jié)漸進線對數幅頻特性,圖5-18 振蕩環(huán)節(jié)對數幅頻特性誤差修正曲線,46,由圖知，振蕩環(huán)節(jié)的誤差可正可負，它們是阻尼比的函數，且以 的轉折頻率為對稱，距離轉折頻率愈遠誤差愈小。通常大于（或小于）十倍轉折頻率時，誤差可忽略不計。經過修正后的對數幅頻特性曲線如圖5-19所示。,由圖5-19可看出，振蕩環(huán)節(jié)的對數幅頻特性在轉折頻率 附近產生諧振峰值，這是該環(huán)節(jié)固有振蕩性能在

20、頻率特性上的反映。前面已經分析過，諧振頻率r和諧振峰Mr分別為:,圖5-19 振蕩環(huán)節(jié)對數幅頻率特性圖,47,其中 稱為振蕩環(huán)節(jié)的無阻尼（=0）自然振蕩頻率，它也是漸近線的轉折頻率。由式（5-81）可知，當阻尼比愈小諧振頻率r愈接近無阻尼自然振蕩頻率n，當=0時，r=n,振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性是:,(5-81),(5-82),(5-83),48,除上面三種特殊情況外，振蕩環(huán)節(jié)相頻特性還是阻尼比的函數，隨阻尼比變化，相頻特性在轉折頻率 附近的變化速率也發(fā)生變化，阻尼比越小，變化速率越大，反之愈小。但這種變化不影響整個相頻特性的大致形狀。不同阻尼比的相頻特性如圖5-20 所示。,圖5-20 振蕩環(huán)節(jié)對

21、數相頻特性圖,49,（六）二階微分環(huán)節(jié),二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性是：,其對數幅頻特性是：,相頻特性是：,二階微分環(huán)節(jié)與振蕩節(jié)的Bode圖關于軸對稱，如圖5-21。漸近線的轉折頻率為，相角變化范圍是00至+1800。,圖5-21 二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖,50,（七）不穩(wěn)定環(huán)節(jié),不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的頻率特性是:,其對數幅頻特性和相頻特性分別為:,其對數幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)相同；相頻特性與慣性環(huán)節(jié)相比是以 為對稱，相角的變化范圍是 至 。Bode如圖5-22所示,圖5-22 不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的Bode圖,51,(八）滯后環(huán)節(jié),滯后環(huán)節(jié)的頻率特性是:,滯后環(huán)節(jié)伯德圖如圖5-23所示。其對數幅頻特性與無關，是一條與

22、軸重合的零分貝線。滯后相角由式（5-92）計算，分別與滯后時間常數和角頻率成正比。,其對數幅頻特性和相頻特性分別為:,圖5-23 滯后環(huán)節(jié)的Bode圖,52,總結：各環(huán)節(jié)的頻率特性,L()=20lg|G(j)|(dB) 從0變化,()=G(j)(度) 從0變化,對數幅頻特性:,相頻特性:,53,總結：各環(huán)節(jié)的BOde圖,54,總結：各環(huán)節(jié)的BOde圖,55,5-3開環(huán)頻率特性分析,系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性在系統(tǒng)的分析與綜合中有很重要的意義，本節(jié)將通過一些示例介紹系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性（包括它的極坐標和伯德圖）的繪制方法和步驟。,自動控制系統(tǒng)通常由若干環(huán)節(jié)組成，根據它們的基本特性，可以把系統(tǒng)分解成一些典型

23、環(huán)節(jié)的串聯(lián)，再按照串聯(lián)的規(guī)律將這些典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合起來得到整個系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。因此，將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式是繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的基本步驟。,56,一、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標圖的步驟,1.將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式；,2.典型環(huán)節(jié)幅頻特性相乘得到系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性;,3.典型環(huán)節(jié)相頻特性相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性；,4.如幅頻特性有漸近線，則根據開環(huán)頻率特性表達式的實部和虛部，求出漸近線；,5.最后在G(j)H(j)平面上繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖。,57,二、繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性伯德圖的步驟,1.將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數寫成典型環(huán)節(jié)乘

24、積（即串聯(lián)）的形式；,2.如果存在轉折頻率，在軸上標出轉折頻率的坐標位置；,3.由各串聯(lián)環(huán)節(jié)的對數幅頻特性疊加后得到系統(tǒng)開環(huán)對數幅頻特性的漸近線；,4.修正誤差，畫出比較精確的對數幅頻特性；,5.畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性，將它們相加后得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性。,58,例5-1已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為:,它由一個放大環(huán)節(jié)和兩個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對應的頻率特性是:,幅頻特性和相頻特性分別為:,59,（1）極坐標圖,60,（2)伯德圖,（a）對數幅頻特性,由開環(huán)傳遞函數知，對數幅頻特性的漸近線有兩個轉折頻率,在縱坐標上找到20lgK的點A，過A點作平行于橫軸的直線AB，這條平行線對應放大環(huán)節(jié)的幅頻特

25、性；,和 ，且 ，將它們在軸上標出（圖5-25）；,在轉折頻率 處作軸的垂線（虛線）交平行線AB于B點，以B為起點作斜率為-20dB/dec的斜線BC，C點對應轉折頻率 ，折線ABC對應放大環(huán)節(jié)K和慣性環(huán)節(jié)的 疊加；,圖5-25 開環(huán)系統(tǒng)Bode圖,61,以C為起點，作斜率為-40dB/dec的斜線CD，折線ABCD即為系統(tǒng)開環(huán)對數幅頻特性的漸近線。,（b）對數相頻特性,在圖5-25上分別畫出三個環(huán)節(jié)的相頻特性曲線，（1）為放大環(huán)節(jié)，（2）為慣性環(huán)節(jié)1和（3）為慣性環(huán)節(jié)2 ，然后將它們在縱軸方向上相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性曲線（4）。,例5-2試繪制傳遞函數為:,的對數幅頻特性。,(5-93),

26、(5-94),62,解：有n個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，對數幅頻特性應是一條過橫軸上=1且斜率為-n20dB/dec的直線。 式(5-93）和（5-94 ）中分別含有一個和兩個積分環(huán)節(jié)（串聯(lián)），當不考慮KV和Ka的影響時，它們的對數幅頻特性應是過=1 且斜率分別為-0dB/dec和-40dB/dec的直線，如圖5-26和圖5-27中虛線所示。 考慮到KV和Ka的作用，上述兩條直線應分別在縱軸方向上平移20lgKv和20lgKa分貝（如圖中實線所示），即=1所對應的坐標值應分別為20lgKv和20lgKa分貝。設對數幅頻特性與零分貝線（橫軸）的交點頻率值分別為v和a，則有:,和:,(5-93),(5-94)

27、,63,由上面兩式分別得到:,通過上面的分析，在繪制傳遞函數為式（5-93）和（5-94）的對數幅頻特性時，可用下述兩種方法之一進行。,(5-93),(5-94),64,方法一：對于式（5-93），先過橫軸上=1點作橫軸的垂直線，過縱軸上20lgKv點作橫軸的平行線，這兩條直線交于A點，然后過A點作斜率為-20dB/dec的直線即為所求的對數幅頻特性（圖5-26）；對于式（5-94），過橫軸上=1點作橫軸的垂線過縱軸上20lgKa 點作橫軸的平行線，這兩條直線交于A點，然后過A點作斜率為-40dB/dec的直線即為所求的對數幅頻特性（圖5-27）。,方法二：對于式（5-93），先根據式（5-9

28、7）在橫軸上找到頻率為V點，過該點作斜率為-20dB/dec的直線即為所求的對數幅頻特性（圖5-26）；對于式（5-94），根據式（5-98）在橫軸上找到頻率為a的點，過該點作斜率為-40dB/dec的直線即為所求的對數幅頻特性（圖5-27）。,(5-93),(5-94),65,反之，通過對數幅頻特性，也可以用上述兩種方法的逆過程，求出式（5-93）和式（5-94）中的開環(huán)放大系數Kv和Ka。,對于含有一個或兩個積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)（含有兩個以上積分環(huán)節(jié)的實際系統(tǒng)很少見），由于頻率特性的低頻段形狀主要由積分環(huán)節(jié)決定，因此，在繪制其對數幅頻特性或通過對數幅頻特性求系統(tǒng)的開環(huán)放大系數時，可用上述兩種方法

29、中的一個進行。這在下面的示例中將得到進一步應用。,66,例5-3 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為,試繪制該系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖和伯德圖。,解:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數可寫成:,它由一個放大環(huán)節(jié)、一個積分環(huán)節(jié)和一個振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，對應的頻率特性表達式為:,67,（1）極坐標圖,由于系統(tǒng)含有一積分環(huán)節(jié)，當0時，系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性|G(j)H(j)|。為使頻率特性曲線比較精確，還須求出它的漸近線。由系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性可得:,當0時有:,即漸近線是一條與實軸交點為2KvT且垂直于實軸的直線，圖5-28繪制出該系統(tǒng)在不同阻尼比的漸近線（虛線) 及對應開環(huán)頻率特性的極坐標圖。,68,圖528 例53極坐標圖,

30、69,（2）伯德圖,（a）對數幅頻特性,由開環(huán)頻率特性表達式知，對數幅頻特性的漸近線有一個轉折頻率（對應振蕩環(huán)節(jié)），將它在圖5-29的橫軸上標出。,圖5-29 例5-3 Bode圖,該系統(tǒng)還含有一個積分節(jié)和放大環(huán)節(jié)，參照例5-2，對數幅頻特性的低頻段主要由積分環(huán)節(jié)和放大環(huán)節(jié)決定。,當轉折頻率時，對數幅頻特性如圖5-29所示，斜率為-20dB/dec的折線段在頻率為處穿過零分貝線直到振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率處轉折為斜率為-60dB/dec的線段。當轉折頻率為時，對數幅頻特性如圖5-30所示.,70,(b) 對數相頻特性,在圖5-29上分別畫出 積分環(huán)節(jié)相頻特性（1）; 振蕩環(huán)節(jié)相頻特性（2）; 然后將

31、它們在縱軸方向上相加便得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性曲線（3）。,圖5-30 例5-3對數幅頻特性,斜率為-20dB/dec的折線段的延長線(圖中虛線)與橫軸交點頻率應為v，從轉折頻率 開始，對數頻特性轉折成斜率為-60dB/dec的直線。,71,作業(yè)：,P210 5-3 5-4,72,第三章已經介紹，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)特征方程根的性質唯一確定。 對于三階以下系統(tǒng)，解出特征根就能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。三階以上的高階系統(tǒng)，求解特征根通常都很困難，前面介紹了兩種判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，基于特征方程的根與系數關系的勞斯判據和根軌跡法。,奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據（簡稱奈氏判據）是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的又一

32、重要方法。它是將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 與復變函數 位于S平面右半部的零、極點數目聯(lián)系起來的一種判據。奈氏判據是一種圖解法，它依據的是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。由于系統(tǒng)的開環(huán)特性可用解析法或實驗法獲得，因此，應用奈氏判據分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性兼有方便和實用的優(yōu)點。奈氏判據還有助于建立相對穩(wěn)定性的概念。,5-4頻域穩(wěn)定性判據,73,幅角定理又稱映射定理，它是建立在復變函數理論基礎上的。由于奈氏判據是以幅角定理為依據的，因此有必要先簡要地介紹幅角定理。,設有一復變函數:,稱之為輔助函數，其中 是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞 函數通?？蓪懗扇缦滦问?,式中是系統(tǒng)的開環(huán)極點，將式（5-106）代入式（5-105）得,（5-106）

33、,比較式（5-107）和式（5-106）可知，,輔助函數 的零點即閉環(huán)傳遞函數 的極點，即系統(tǒng)特征方程 的根。因此，如果輔助函數 的零點都具有負的實部，即都位于S平面左半部，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)便不穩(wěn)定。,(5-105),(5-107),一、幅角定理,74,(一)平面與(S)平面的映射關系,例如，當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為:,則其輔助函數是:,則:,除奇點 和 外，在S平面上任取一點，如,75,如圖537所示，在F(s)平面上有點F(s1)=0.95-j0.15 與S平面上的點s1對應,F(s1)就叫做s1=1+j2在F(s)平面上的映射點。,圖5-37 S平面上的點在F(s)平面上的映射,7

34、6,如圖538所示，如果解析點s1在S平面上沿封閉曲線 （ 不經過F(s)的奇點）按順時針方向連續(xù)變化一周，那么輔助函數F(s)在平面F(s)上的映射也是一條封閉曲線 ,但其變化方向可以是順時針的，也可以是逆時針的，這要依據輔助函數F(s)的性質而定。,圖5-38 S平面到F(s)平面的映射,77,設F(s)在S平面上，除有限個奇點外，為單值的連續(xù)正則函數s ，若在S平面上任選一封閉曲線s，并使s不通過F(s)的奇點，則S平面上的封閉曲線s 映射到F(s)平面上也是一條封閉曲線F。當解析點s按順時針方向沿s 變化一周時，則F(s)在平面上，F(xiàn)曲線按逆時針方向旋轉的周數N（每旋轉2弧度為一周），

35、或F按逆時針方向包圍F(s)平面原點的次數，等于封閉曲線s內包含F(xiàn)(s)的極點數P與零點數Z之差。即,式中，若N0，則F按逆時針方向繞F(s)平面坐標原點N周；若N0，則F按順時針繞F(s)平面坐標原點N周；且若N=0，則F不包圍F(s)平面坐標原點。,在圖5-38中,在S平面上有三個極點P1、P2 、P3和三個零點Z1、Z2、Z3。被s 曲線包圍的零點有Z1、Z2兩個，即Z=2，包圍的極點只有P2，即P=1，由式（5-108）得,說明s 映射到F(s)平面上的封閉曲線F順時針繞F(s)平面原點一周。,由幅角定理，我們可以確定輔助函數F(s)被封閉曲線s 所包圍的極點數P與零點數Z的差值P-Z

36、。,（二）幅角定理（映射定理）,78,前面已經指出，F(xiàn)(s)的極點數等于開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)的極點數，因此當F(s)從平面上確定了封閉曲線F的旋轉周數N以后，則在S 平面上封閉曲線s 包含的零點數Z（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點數）便可簡單地由下式計算出來:,Z=P-N （5-109）,封閉曲線s和F的形狀是無關緊要的，因為它不影響上述結論。,(關于幅角定理的數學證明請讀者參考有關書籍，這里僅從幾何圖形上簡單說明。),設有輔助函數為:,其零、極點在S平面上的分布如圖5-39 所示，在S平面上作一封閉曲線s, s不通過上述零、極點，在封閉曲線s上任取一點s1, 其對應的輔助函數F(S1)的幅角應為:

37、,(5-110),(5-111),79,當解析點s1沿封閉曲線s按順時針方向旋轉一周后再回到s1點，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，所有位于封閉曲線s 外面的輔助函數的零、極點 指向s1的向量轉過的角度都為0，而位于封閉曲線s 內的輔助函數的零、極點指向s1的向量都按順時針方向轉過2 弧度（一周）。,由此得到幅角定理表達式為:,(5-113),這樣，對圖5-39（a），Z=1，P=0，即N=1，F(xiàn)(S1)繞F(S)平面原點順時針旋轉一周； 對圖5-39（b），Z=0，P=1，即N=1，F(xiàn)(S1)繞F(S)平面原點逆時針旋轉一周；,80,對圖5-39（b），Z=0，P=1，即N=1，F(xiàn)(S1)繞F(S)平面原點

38、逆時針旋轉一周；,81,對圖5-39（c），Z=1，P=1，即N=0，F(xiàn)(S1)不包圍F(S)平面原點。將上述分析推廣到一般情況則有:,(5-112),82,83,為了分析反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只須判斷是否存在S平面右半部的閉環(huán)極點。為此，在S平面上作一條完整的封閉曲線s，使它包圍S平面右半部且按順時針環(huán)繞。如圖5-40所示，該曲線包括S平面的整個虛軸（由 到 及右半平面上以原點為圓心，半徑為無窮大的半圓弧組成的封閉軌跡。這一封閉無窮大半圓稱作奈氏軌跡。顯然，由奈氏軌跡包圍的極點數P和零點數Z，就是F(s)位于S平面右半部的極點數和零點數。,二、基于輔助函數F(s)的奈氏判據,84,前面已經指

39、出，輔助函數的極點等于系統(tǒng)的開環(huán)極點，零點等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點。因此，如果奈氏軌跡中包圍的零點數Z=0，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，此時由映射到平面上的封閉曲線F逆時針繞坐標原點的周數應為:,圖5-40 Nyquist軌跡,85,若輔助函數F(s)的解析點s沿奈氏軌跡s 按順時針連續(xù)環(huán)繞一周，它在F(s)平面上的映射F按逆時針方向環(huán)繞其原點P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。,通常情況下，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即S平面右半部的開環(huán)極點數P=0。此時系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是不包圍F(s)平面坐標原點，即N=0。,由此得到應用幅角定理分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據如下：,86,圖541,上式意味著將F(s)平面的縱軸向右平移一個

40、單位后構成的平面即為GH平面（如圖5-41）。平面的坐標原點是GH 平面的 點。因此，F(xiàn)繞F(s)平面原點的周數等效于 繞GH平面 點的周數。,(5-115),三、基于開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)的奈氏判據,87,由分析，得到基于開環(huán)傳遞函數 的奈氏判 據如下：,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏軌跡映射在GH平面上的封閉曲線 逆時針包圍(-1,j0)點P周，其中P為開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)在S平面右半部的極點數。,當G(s)H(s)在S平面右半部沒有極點時，即P=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 在GH平面上不包圍(-1,j0)點。,88,圖5-42 Nyquist軌跡,（1）當s在S平面

41、負虛軸上變化時，,在GH平面上的映射如圖5-43中曲線（1）。,下面分兩種情況來研究與之間的關系。,1、當(s)H(s)在S平面虛軸上（包括原點）無極點時，奈氏軌跡可分成三個部分如圖5-42所示， （1） ，s沿負虛軸變化； （2） ，s沿正虛軸變化； （3） ，s沿以原點為圓心，半徑為無窮大 的右半圓弧變化，其中 ， 對應 由順時針繞。,四、基于開環(huán)頻率特性G(j)H(j)的奈氏判據,89,圖5-43 s在GH平面上的映射,（2）當s在S平面正虛軸上變化時，,如圖5-43中的曲線(2)，這正是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。由于正負虛軸在S平面上以實軸為對稱，它們在GH平面上的映射曲線(1),(2)兩部

42、分也對稱于實軸。,90,當s過平面原點時，s=j0，它在GH平面上的映射為:,（3）當s在s的第三部分上的變化時，,即S平面的原點在GH平面上的映射為常數K（K為系統(tǒng)開環(huán)放大系數）。,（5-118）,當n=m時:,（5-119）,（5-120）,91,奈氏軌跡的第三部分（無窮大半圓弧）在GH平面上的映射為常數K，如圖543（a）所示。,當nm時,奈氏軌跡s 在GH平面上的映射稱為奈奎斯特曲線或奈氏曲線。,s的第三部分在GH平面上的映射是它的坐標原點（圖543（b）。,（5-121）,92,第（4）部分的定義是：,2、當 在S平面的虛軸上（包括原點）有極點時，由于奈氏軌跡不能經過開環(huán)極點，s必須

43、避開虛軸上的所有開環(huán)極點。增加第4部分曲線，如圖5-44所示。其中(1)(2)和(3)部分的定義與圖5-44相同.,表明s沿以原點為圓心，半徑為無窮小的右半圓弧上逆時針變化（ ）。這樣，s 既繞過了原點上的極點，又包圍了整個右半S平面，如果在虛軸上還有其它極點，亦可采用同樣的方法，將s 繞過這些虛軸上的極點。,其中v稱為無差度，即系統(tǒng)中含積分環(huán)節(jié)的個數或位于原點的開環(huán)點數。當時 ，,93,式(5-123)表明，s的第（4）部分無窮小半圓弧在GH平面上的映射為順時針旋轉的無窮大圓弧，旋轉的弧度為 弧度。圖5-45(a),(b)分別表示當v=1和v=2時系統(tǒng)的奈氏曲線，其中虛線部分是s的無窮小半圓

44、弧在GH平面上的映射。,圖5-44 虛軸上有開環(huán)極點時的奈氏軌跡,圖5-45 時的奈氏曲線,94,從上面的分析可知，奈氏曲線 實際上是系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標圖的擴展。當已知系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)后，根據它的極坐標圖和系統(tǒng)的性質（是否含有積分環(huán)節(jié)、開環(huán)傳遞函數中分子分母的最高階次等）便可方便地在GH平面上繪制出奈氏曲線 。由此我們得到基于開環(huán)頻率特性的奈氏判據如下：,奈奎斯特穩(wěn)定判據:,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,GH平面上的開環(huán)頻率特性,當 由 變換到時，按逆時針方向包圍(-1,j0)點周。,當位于S平面右半部的開環(huán)極點數P=0時，即當開環(huán)傳遞函數的全部極點均位于S平面左半部（包

45、括原點和虛軸）時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是奈氏曲線 不包圍GH平面的(-1,j0)點。,（二）基于G(j)H(j)的奈氏判據,95,應用奈氏判據分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時,可能會遇到下列三種情況：,(iii) 如果系統(tǒng)的奈氏曲線 順時針包圍(-1,j0)點（N0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定（Z=P-N0）。,(i)當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)的全部極點都位于S平面左半部 時(P=0),如果系統(tǒng)的奈氏曲線 不包圍GH平面的(-1,j0)點(N=0)，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（z=p-N=0），否則是不穩(wěn)定的；,(ii)當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數 有p個位于S平面右半部的極點時，如果系統(tǒng)的奈氏曲線 逆時針包圍(-1,j

46、0)點的周數等于位于S平面右半部的開環(huán)極點數（N=P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的；,綜上，奈氏曲線 是否包圍GH平面的（-1,j0)點是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據當然還須考慮是否存在S平面右半部的開環(huán)極點和曲線 包圍點(-1,j0)的方向。當曲線 恰好通過GH平面的(-1,j0)點（注意不是包圍），此時如果系統(tǒng)無位于S平面右半部的開環(huán)極點，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,96,例5-6 試用奈氏判據分析例5-1系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解: 該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為:,其對應的頻率特性是:,五、奈氏判據的應用,97,上述結論可從圖5-47所示的根軌跡圖得到證明，從圖5-47可知，無論

47、K為何值根軌跡都在S平面左半部，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。,圖5-46 例5-6奈氏曲線,圖5-47 例5-6根軌跡圖,98,例5-7 試用奈氏判據分析例5-3系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解: 該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為:,其對應的頻率特性是:,系統(tǒng)的奈氏曲線如圖5-48所示。 由于系統(tǒng)含有一個積分環(huán)節(jié)（v=1），當對應奈氏曲線為順時針環(huán)繞坐標原點的無窮大半圓（圖5-48中虛線所示）。,99,開環(huán)傳遞函數無右半S平面的極點，即P=0，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于奈氏曲線與負實軸的交點坐標值 的大小，當 時， 不包圍 點，即N=0圖5-48(a)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當 時,奈氏曲線 順時針包圍點 兩周，即 ,圖5-48（b），系統(tǒng)不穩(wěn)

48、定。,圖5-48 例5-7奈氏曲線,100,已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為,試用奈氏判據分析當時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解:系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性是:,其幅頻特性和相頻特性分別是:,例5-8:,101,當 時， ,當由0變至+時， 由變至0，由 在第III象限內變化為 ，其對應的奈氏曲線 如 圖5-50（a）所示，圖中虛線表示的順時針旋轉的無窮大圓弧是開環(huán)零重極點在GH 平面上的映射。由于奈氏曲線左端無窮遠處是開口的，它沒有包圍(-1,j0)點(N=0),系統(tǒng)無S平面右半部的開環(huán)極點（P=0），由奈氏判據知，當 時，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,102,(b)當 時， ，系統(tǒng)的相頻特性 與角頻率 無關，幅頻特性 ，

49、 , 當 由變至 時，由 變至0 。如圖5-50（b）所示，除無窮大圓弧外，奈氏曲線是穿過(-1,j0)點且與負實軸重合的，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,當 時，系統(tǒng)的根軌跡如圖5-51（b）所示。由于兩條根軌跡位于S平面的虛軸上，系統(tǒng)是等幅振蕩的臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,103,（c）當 時， ,當由0變至 時， 由由變至0， 由 在第II象限內變化后再次變?yōu)?，其對應的奈氏曲線如圖5-50（c）所示。由于奈氏曲線左端是封口的，它順時針包圍了(-1,j0) 點兩周(N=2)，由奈氏判據知，當 時，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當 時，系統(tǒng)的根軌跡如圖5-51（c）所示。由于有兩條根軌跡全部位于S平面右半部，無論K為何值，

50、該系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。,104,圖5-50 例5-8系統(tǒng)的奈氏曲線,圖5-51 例5-8系統(tǒng)的根軌跡圖,105,根據對數頻率特性圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,考慮s平面上單位圓與對數坐標平面的關系：,s平面上的單位圓,單位圓內,單位圓外,負實軸,順時針繞(-1,j0)點,逆時針繞(-1,j0)點,利用對數頻率特性圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈氏判據為:,0dB線,0dB線以下,0dB線以上,線,由上至下穿越線（負穿越）,由下至上穿越線（正穿越）,在對數幅頻特性大于零的頻段內，相頻特性曲線穿越 線的次數 ，滿足 ，則系統(tǒng)穩(wěn)定。,106,穩(wěn)定性判斷,一、極坐標判斷穩(wěn)定性： 1、曲線穿越單位圓時，相角大于- 系統(tǒng)穩(wěn)定；

51、2、曲線穿越單位圓時，相角等于- 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定； 3、曲線穿越單位圓時，相角小于- 系統(tǒng)不穩(wěn)定。 二、Bode圖判斷穩(wěn)定性： 1、L()=0db時,相位()-系統(tǒng)穩(wěn)定； 2、L()=0db時,相位()=-系統(tǒng)臨界穩(wěn)定； 3、()=-時,幅值L()0db系統(tǒng)不穩(wěn)定。,107,利用對數頻率特性圖判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的奈氏判據為:,在對數幅頻特性大于零的頻段內，相頻特性曲線穿越 線的次數 ，滿足 ，則系統(tǒng)穩(wěn)定。,108,一、相對穩(wěn)定性,在工程應用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會引起系統(tǒng)參數的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數時，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要

52、求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性問題。,5-5 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,109,假定系統(tǒng)的開環(huán)放大系統(tǒng)由于系統(tǒng)參數的改變比原來增加了百分之五十，則圖5-52（a）中的A點移動到A點，仍在點(-1,j0)右側，系統(tǒng)還是穩(wěn)定的；而圖5-52(b)中的B點則移到(-1,j0)點的左側（B點），系統(tǒng)便不穩(wěn)定了。可見，前者較能適應系統(tǒng)參數的變化，即它的相對穩(wěn)定性比后者好。,例如，圖5-52（a）和（b）所示的兩個最小相位系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線（實線）沒有包圍(-1,j0)點，由奈氏判據知它們都是穩(wěn)定的系統(tǒng)，但圖5-52（a ）所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負實軸的交點A 距離(-1,j

53、0)點較遠，圖5-52（b）所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負實軸的交點B 距離點(-1,j0)較近。,110,圖5-52 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性,111,通常用穩(wěn)定裕度來衡量系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，其中包括系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。,圖5-53 最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度,二、穩(wěn)定裕度,112,如圖5-53所示，把GH平面上的單位圓與系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的交點頻率 稱為幅值穿越頻率或剪切頻率，它滿足:,(5-124),所謂相角裕度是指幅值穿越頻率所對應的相移 與 角的差值，即:,(5-125),對于最小相位系統(tǒng)，如果相角裕度 ，系統(tǒng)是穩(wěn)定的 (圖5-53(a)，,且 值愈大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性愈好。如

54、果相角裕度 ，系統(tǒng)則不穩(wěn)定(圖5-53(b)。當 時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線穿過(-1,j0)點，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,相角裕度的含義:,使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時開環(huán)頻率特性,的相角 減小（對應穩(wěn)定系統(tǒng)）或增加（對應不穩(wěn)定系統(tǒng)）的數值。,（一）相角裕度,113,如圖5-53所示，我們把系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線與GH平面負實軸的交點頻率稱為相位穿越頻率 ,顯然它應滿足,(5-126),所謂幅值裕度Kg是指相位穿越頻率所對應的開環(huán)幅頻特性的倒數值，即:,(5-127),對于最小相位系統(tǒng)，當幅值裕度Kg1( ），系統(tǒng)是穩(wěn)定的(圖5-53(a)，且Kg值愈大,系統(tǒng)的相對穩(wěn)定 性愈好。如果幅值裕度 ，(

55、 ),系統(tǒng)則不穩(wěn)定( 圖5-53(b)。當Kg=1時，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線穿過點(-1,j0)。是臨界穩(wěn)定狀態(tài)?？梢?，求出系統(tǒng)的幅值裕度Kg 后，便可根據Kg值的大小來分析最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度。,（二）幅值裕度,114,幅值裕度也可以用分貝數來表示，,分貝,(5-128),因此，可根據系統(tǒng)的幅值裕度大于、等于或小于零分貝來判斷最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。,必須指出，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞不能僅從相角裕度或幅角裕度的大小來判斷，必須同時考慮相角裕度和幅角裕度。這從圖5-54（a）和（b）所示的兩個系統(tǒng)可以得到直觀的說明，對于一般系統(tǒng)，通常要求相角裕度 ，幅值裕度 （6分貝）。

56、,115,圖5-54 穩(wěn)定裕度的比較,圖5-54（a）所示系統(tǒng)的幅值裕度大，但相角裕度小,圖5-54（b）所示系統(tǒng)的相角裕度大，但幅值裕度小,116,通常有三種求解系統(tǒng)相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、極坐標圖法和伯德圖法。下面通過實例進行說明。,（一）解析法,根據系統(tǒng)的開環(huán)頻率的開環(huán)頻率特性，由式(5-124)和式(5-125)求出相角裕度；由式(5-126)和式(5-127)求出幅值裕度，如果幅值裕度用分貝數表示，則由式(5-128)求出,例5-9 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為:,試求出該系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度。,解:系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為:,其幅頻特性和相頻特性分別是:,三、相角裕

57、度和幅值裕度的求解方法,117,由式（5-124）令得:,由式（5-125）得:,由式（5126）得，令得:,由式（5127）,118,（二）極坐標圖法,在GH平面上作出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的極坐標圖，并作一單位圓，由單位圓與開環(huán)頻率特性的交點與坐標原點的連線與負實軸的夾角求出相角裕度；由開環(huán)頻率特性與負軸交點處的幅值的倒數得到幅值裕度Kg。,圖5-55 例5-9極坐標圖,在上例中，先作出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線如圖5-55所示，作單位圓交開環(huán)頻率特性曲線于A點，連接OA，射線OA與負實軸的夾角即為系統(tǒng)的相角裕度 。開環(huán)頻率特性曲線與負實軸的交點坐標為(0.8,j0),由此得到系統(tǒng)的幅值裕度:,1

58、19,（三）伯德圖法,零分貝線的差值，即為幅值裕度Kg的分貝數。當 對應的幅頻特性位于零分貝線下方時， ，反之，當 對應的幅頻特性位于零分貝線上方時， 。,例5-9的伯德圖如圖5-56所示。從圖中，可直接得到幅值穿越頻率 , 相角穿越頻率 ，相角裕度 ，幅值裕度,圖5-56 例5-9題Bode圖,120,比較上述三種解法可知：,解析法:比較精確，但計算步驟復雜，而且對于三階以上的高階系統(tǒng)，用解析法是很困難的。,圖解法:以極坐標圖和伯德圖為基礎的圖解法，避免了繁鎖的計算，具有簡便、直觀的優(yōu)點，對于高階系統(tǒng)尤為方便。不過圖解法是一種近似方法，所得結果有一定誤差，誤差的大小視作圖的準確性而定。伯德圖

59、法和極坐標法雖然都是圖解法，但前者不僅可直接從伯德圖上獲得相角裕度 和幅值裕度 ，而且還可直接得到相應的幅值穿越頻率 和相位穿越頻率 。同時伯德圖較極坐標圖方便，因此在工程實踐中得到更為廣泛的應用。,121,前面已經介紹，求出系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度可以定量分析系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。下面通過示例進一步說明。,例5-10 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為,試分析穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關系。,解: 該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的極坐標圖分別如圖5-57(a) （當 時）和圖5-57(b)(當 時)所示.由圖5-57(a)可知，當 時，系統(tǒng)的相角裕度 ，由圖5-57(b)可知，當時，系統(tǒng)的相角裕度 。系統(tǒng)的幅值裕度 用解析法求解如下：,系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為:,四、穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)的