高三數(shù)學(xué)圓錐曲線創(chuàng)新題

1、談?wù)劷馕鰩缀沃械慕忸}編題組題教師的教學(xué)活動(dòng)，決不單是備課與上課。特別是數(shù)學(xué)教師，整天打交道最多的，就是數(shù)學(xué)題了。本文（或本講座）準(zhǔn)備就解析幾何的知識(shí)內(nèi)容，說(shuō)說(shuō)與解題編題組題相關(guān)的問題。解題1先看兩個(gè)例子（本文各節(jié)自成例序）例1 一直線與x軸、y軸都不平行，也不過原點(diǎn)；點(diǎn)m (x,y)在上；點(diǎn)p（2，1），q(3x+2y-1,3x-2y+1)在與垂直的直線上。求直線的方程。例2 一張白紙上僅有雙曲線的圖象，試用圓規(guī)與直尺畫出它的焦點(diǎn)。例1是一道與直線相關(guān)的題目，難道直線問題還有一般來(lái)說(shuō)做不出來(lái)的題目嗎？例2給人的感覺就是一道神秘兮兮、頭緒玄乎的難題。作為高中數(shù)學(xué)教師，具有一定的解題能力，甚至是解

2、決具有相當(dāng)難度數(shù)學(xué)問題的能力，應(yīng)該說(shuō)是必須修行與具備的功力。對(duì)于解數(shù)學(xué)題所顯現(xiàn)的能力范疇，主要是指哪些方面呢？2解題能力，不言而喻，主要就是指普通數(shù)學(xué)問題不被難倒，甚至具有相當(dāng)難度數(shù)學(xué)問題也難不倒的能力。這里指的數(shù)學(xué)問題，當(dāng)然主要是指中學(xué)數(shù)學(xué)范疇的基本初等數(shù)學(xué)問題。例2后面還要說(shuō)到，我們先看例1的解決。例1 解：設(shè)直線的方程為y=kx+b,k存在,kb0,的方程為把q代入，即有 化簡(jiǎn)，得 3(1+k)x+2(1k)y3=0. (1)由于的方程經(jīng)如此整理,變量(x,y)就是中的變量,斜率k就是中的k,故化作了與kxy+b=0。 （2） 同樣的方程。比較（1）、（2），應(yīng)有由 2k22k-33k=

3、0, (k3)(2k+1)=0。解得k=3 或k=1/2。k=3時(shí)b=3/4；k=1/2時(shí)，b=1. 的方程為 例1同一法的解題構(gòu)思并不是那么容易“想到”的。而一旦“想到”，也就不顯得稀奇。例1的解決過程給我們以什么啟示呢？1 所謂題目的難易，其實(shí)是相對(duì)的。即便是競(jìng)賽題，你熟悉了其中的門道，其命題的途徑，其解題的構(gòu)思，特別是基本的數(shù)學(xué)思想、方法、技巧，也就自而然之地融會(huì)貫通于其中，亦即不感覺到怎樣的難。否則，我國(guó)參賽隊(duì)自加入國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽以來(lái)，屢拿第一也就顯得不可理解；另一方面，即便是小學(xué)的數(shù)學(xué)題，也許也有你頗感為難的問題與時(shí)候。2 所謂熟悉，是解決不了根本問題的。如例1，高中師生對(duì)于直

4、線問題，不會(huì)不熟悉。因此，解有份量的題還得有靈感。所謂數(shù)學(xué)靈感，是對(duì)數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)題的條件與要求，理解與應(yīng)用相當(dāng)?shù)轿坏囊环N感覺。3 解所謂難題，要有一定的知識(shí)、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想與方法的積累；即要有相當(dāng)?shù)幕居?xùn)練。所以話還得說(shuō)回來(lái)，畢竟熟能生巧。見得多了，練得多了，又有相當(dāng)?shù)乃季S機(jī)敏性，解題功力一定漸長(zhǎng)。3 解題能力除了解一定難題的功力，還指一般解題思路的清晰縝密，解題方法的簡(jiǎn)明得當(dāng)，解題過程的輕松自如。走了很大的彎路，煩瑣地解出一道題，看來(lái)是成功了，也許卻失敗了。首先在理念上，要十分清醒、十分明確地感悟到，數(shù)學(xué)就是一門追求簡(jiǎn)明的科學(xué)。在教學(xué)上，要鼓勵(lì)用好方法，講究用巧方法；不主張滿足結(jié)果。應(yīng)

5、追求思考在路子上，思維在點(diǎn)子上，思索在力度上。 比如拋物線上任意四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能否做到一組對(duì)角相等。如果這樣說(shuō)明：如圖1-1，對(duì)于等腰三角形oab，比較弦ab上的圓周角，當(dāng)c離a較近時(shí)，顯然co；c在相當(dāng)遠(yuǎn)的地方，c接近于0。其間必有點(diǎn)使c=o。但有學(xué)生這樣說(shuō)明：如圖1-2，作任意弦ac的垂直平分線交拋物線于d、b，則四邊形abcd為箏形，a=c。顯然更簡(jiǎn)明直觀。既然如此，就宜采用此法。筆者決不是排斥同一問題的不同解法，而是說(shuō)應(yīng)追求相對(duì)更好更為切合的方法。4 解題能力不光是解難題，巧解題，還注意功力體現(xiàn)于速度上。數(shù)學(xué)解題是應(yīng)檢測(cè)敏捷性的。這樣，就更要求理解、應(yīng)用、解決的基本功要扎實(shí)，特別是一

6、步步的驗(yàn)算與推理，保持連貫與正確應(yīng)力求過硬。在教學(xué)中要訓(xùn)練學(xué)生的認(rèn)真、耐心、完備的心理素質(zhì)，克服看題不細(xì)，做題不精，毛糙，不規(guī)范，不知檢查、反饋、整理等毛病。5 正因?yàn)榻忸}能力是一種顯現(xiàn)綜合素質(zhì)的能力，所以怕做難題，或只做難題都是偏頗的。不講過程，忽視規(guī)范與完備更相當(dāng)有害。到了高年級(jí)，更應(yīng)講究對(duì)解題能力的辯證理解。既不為一個(gè)小步驟的失誤耿耿于懷，要看到大的方面；又不能眼高手低，總是不以為然。讀題與做題相結(jié)合。講究質(zhì)量、講究效率正是高年級(jí)特別是畢業(yè)班學(xué)生追求的目標(biāo)；也是解題能力努力的一種境界。因此，主次概念、重輕概念、急緩概念，平中思變、穩(wěn)中求奇，都是高境界以理性指導(dǎo)解題的基本策略。由于年齡、閱

7、歷的特點(diǎn)，即便是高中學(xué)生，對(duì)題目及其解決的理解辨析能力是頗需訓(xùn)練的；相當(dāng)關(guān)鍵的，是上述大小意識(shí)。 編題1 編題的意義、前提和準(zhǔn)則當(dāng)一名稱職的數(shù)學(xué)教師，光有即便是出色的解題能力還不怎么樣。必須要有不錯(cuò)的編題能力，才能稱之為可以。從解題到編題，不能只看作層次差異，首先取決于你職業(yè)熱愛與敏感激發(fā)的興趣與動(dòng)力。許多教師只會(huì)解題，但絕對(duì)產(chǎn)生不了編題的激情，原因固然很多,總之對(duì)數(shù)學(xué)（教學(xué)）本職的認(rèn)識(shí)與感悟也就差了一截。你想成功編題，編出好題，首先你必須熟悉與研究課程標(biāo)準(zhǔn)、考綱考點(diǎn)、考題特別是高考題的分布特點(diǎn)、命題方向與價(jià)值取向。這個(gè)問題本身就具有復(fù)雜性。從命題者（小組）本人（自身）到廣大師生，對(duì)上述最基本

8、、最重要問題的理解與看法都不盡相同；另一方面，光是對(duì)這些揣摩亦非上策，甚至不明智，陷入誤區(qū)，或?qū)е赂泻Ω鼑?yán)重的后果。“陣而后戰(zhàn)，兵家之常；運(yùn)用之妙，存乎一心”。根本的問題還在于對(duì)知識(shí)的理解與掌握，對(duì)基本技能顯現(xiàn)的基礎(chǔ)與功力。一方面，歷年的高考題，高考的命題方向與取向，其特點(diǎn)甚至規(guī)律不能不研究，特別是強(qiáng)調(diào)能力、創(chuàng)意的今天；另一方面，又不能絕對(duì)化，還是著眼于基礎(chǔ)訓(xùn)練與解題能力的提高。但畢竟說(shuō)明了，你想編題，你必須先大量做題；先充分關(guān)注、了解、研究、整理與數(shù)學(xué)問題，特別是典型數(shù)學(xué)題例相關(guān)的問題。在充分積淀的基礎(chǔ)上，然后盡情發(fā)揮你的潛質(zhì)，經(jīng)過歷練與提升，于是，能編出題目，能編出好題目的成功前景會(huì)對(duì)你

9、形成召喚。2 編題的幾個(gè)主要成因你有了編題的內(nèi)在要求，嘗試著去做，體會(huì)、經(jīng)驗(yàn)、愉悅自然會(huì)蘊(yùn)含其中。就本文來(lái)說(shuō)，當(dāng)然也是最實(shí)質(zhì)、最主要的地方。本人想就此僅對(duì)解析幾何知識(shí)內(nèi)容所自編、改編的數(shù)學(xué)問題述之一二，拋磚以引玉。1 “借題”以發(fā)揮如前已述，要想編好題，必先解好題，只是在做題時(shí)，多存著幾分研究、探討的心。我們知道，摩仿往往是創(chuàng)新的前奏。先想想人家這題目是怎樣形成的，要解決什么問題。由此有何可深掘之處，因之培養(yǎng)感覺。舉例如下：例1 在標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓、雙曲線中，m是過x軸焦點(diǎn)、斜率為k1的弦的中點(diǎn)，mo的斜率為k2, 則成立e2=1+k1k2。在拋物線中，有類似結(jié)論嗎？有圓錐曲線的同一關(guān)系式嗎？1

10、這是蒲榮飛提到的一個(gè)數(shù)學(xué)問題，其實(shí)并不難解決。筆者否定了這個(gè)結(jié)論。得到的結(jié)果是：拋物線然而，這個(gè)結(jié)果的關(guān)系式太好，這樣，一個(gè)數(shù)學(xué)問題隨之產(chǎn)生：題1 已知拋物線y2=2px (p0) 的焦點(diǎn)弦ab的斜率為a，ab的中點(diǎn)為m，om的斜率為k。 把k表示為a的函數(shù)。 求k的取值范圍。你看，多好的一道難度適中、題味雋永的題！題2 b是已知橢圓 的上頂點(diǎn)，過a（0，1/3）的直線交橢圓于p、q，試判斷bpq是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形且證明之。本題的編擬是基于以下的結(jié)果：結(jié)論1 在橢圓中，長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)a為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接三角形apq中，弦pq過定點(diǎn)m；短軸上頂點(diǎn)b為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接三角形bpq中，

11、弦pq過定點(diǎn)m。所取符號(hào)由圖形很易確定。由結(jié)論1，a（0，-2/9）時(shí)，bpq恰為直角三角形；a繼續(xù)上移，則bpq就是鈍角三角形了。需要說(shuō)明的是，對(duì)于bpq，只有b可能為非銳角。另外，在雙曲線中，也有類似結(jié)論：結(jié)論2 在雙曲線中，自實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)a，作互相垂直的兩直線交雙曲線于p、q，則pq所在直線過定點(diǎn)m。端點(diǎn)與定點(diǎn)相應(yīng)值的符號(hào)相同。2、3這種以圓錐曲線頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)直角三角形過定點(diǎn)，對(duì)于拋物線而言，結(jié)果就更為我們所熟知了：結(jié)論3 過拋物線y2=2px (p0)的頂點(diǎn)o作互相垂直的弦op、oq，則弦pq過定點(diǎn)m(2p,0)。當(dāng)然，借題以擬題必須要有一定的解題意味，從一個(gè)題改變一兩個(gè)數(shù)據(jù)

12、形成另一個(gè)題并無(wú)趣味。但從重要的特點(diǎn)和結(jié)論出發(fā)，把需要考查的知識(shí)串聯(lián)其中，情況就大不相同。如題2，對(duì)bpq的形狀判斷，可由與0的比較解決之?；话阕帜附Y(jié)論為特殊數(shù)據(jù)推算，正符合考查的要求。2 貫徹以“目標(biāo)”有時(shí)我們確定一個(gè)問題的考查方向，又希望結(jié)合相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)給出考題，這時(shí)只要問題背景設(shè)置得當(dāng)，深入而細(xì)致的思考設(shè)計(jì)，由量變積累到質(zhì)變飛躍，好題目可以逐步成形完善。比如筆者希望編擬一道圓錐曲線里的數(shù)列題，殫精竭慮，思之再三，終于擬成一題：題3 如圖3，p1，p2，p3是拋物線y=x2上x=1,2,3,上的點(diǎn)，求3 反用以陳題有的陳題具有一定的典型特征，加強(qiáng)認(rèn)知可以鞏固知識(shí)，亦同時(shí)強(qiáng)化解題能力。本著

13、強(qiáng)主枝、去次蔓的解題精神，對(duì)這樣的題改造變衍以形成新題是一種對(duì)路的思索。請(qǐng)看題4 如圖4，已知拋物線y2=2px (p0 )上任意一點(diǎn)a(x0,y0)，a關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為b，b向右平移2p個(gè)單位至m，又過a作拋物線的弦ap、aq且apaq，試問p、m、q三點(diǎn)是否在一條直線上？（在一條直線上）其原題是，前面我們?cè)f(shuō)到結(jié)論3，拋物線上的弦opoq時(shí)，pq過定點(diǎn)m (2p,0)。其實(shí)直角頂點(diǎn)不一定是拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)它任意時(shí)，如為a (x0,y0)，則pq過定點(diǎn)m(x0+2p，-y0)。此即題4的相反結(jié)論。但有意義的是，證明pq過定點(diǎn)m，不如證明已知m時(shí)，p、m、q在一條直線上更有做頭。不妨按證明之，

14、更符合解析幾何結(jié)合向量知識(shí)的解題意蘊(yùn)。只是拋物線設(shè)做參數(shù)形式： 更方便于解決。提到結(jié)論3，筆者也有題在編：題5 在射線oq上取長(zhǎng)度為2p的線段op，一動(dòng)點(diǎn)m滿足建立適當(dāng)?shù)钠矫孀鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程，并說(shuō)明曲線名稱。延長(zhǎng)mp到n，使onom，證明點(diǎn)n也在以（1）取消范圍限制后點(diǎn)m的軌跡上。其中（1）的解就是拋物線段y2=2px。(y2p)可見陳題反用是一個(gè)很好的擬題途徑。只是反用時(shí)要經(jīng)過匠心設(shè)計(jì)，周三打磨，應(yīng)使因之?dāng)M出的題看不出，或想不到與原題有什么因果聯(lián)系。只有這樣，才能使編擬的題上質(zhì)量上檔次。再看一例：題6 已知p（p，0）是平面直角坐標(biāo)系x軸上的一點(diǎn)（p0），m、n兩點(diǎn)在y軸上，且|m

15、n|=2p。過m、n、p三點(diǎn)作一個(gè)圓。 求圓心c的軌跡方程。（y2=2px，拋物線） 設(shè)op的垂直平分線交曲線c于a、b兩點(diǎn)，求曲線c關(guān)于以ab為對(duì)稱軸的曲線c的方程。（y2=-2p(x-p)）對(duì)兩條曲線以ab為準(zhǔn)，ab的左邊取曲線c的部分曲線段；ab的右邊取曲線c的部分曲線段，包括ab形成一個(gè)圖形。讓這個(gè)圖形以ab的中垂線為軸，即繞著ab的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體。以此幾何體模擬為某植物的種子，且使ab成水平線放置（形如上下凸起的圍棋子）。如果ab=2cm，且這樣的種子上下、前后、左右整齊堆放于一內(nèi)壁為10104的盒子內(nèi)，搭載于神舟*號(hào)宇宙飛船進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)，則一個(gè)這樣的盒子共可搭載多少枚這

16、樣的植物種子？(100枚) 這樣的題有多濃的品位。其實(shí)題6（1）的原題就是，已知拋物線y2=2px (p0)，點(diǎn)p (p,0)，c是拋物線上任意一點(diǎn)，以|cp|為半徑的圓被y軸所截，則弦長(zhǎng)為定值2p。但題6當(dāng)然已面目全非。如果改p (p,0)為p (a,0)，使不向拋物線處聯(lián)想，則更有意思。只是本題還有（2）、（3），讓做題者知道是拋物線也好。題6還可展現(xiàn)得更充分些。筆者另加（4）為附加題：附加題：如果改變放置方式，能否增多放入的種子？如不能增多，請(qǐng)給予證明；如能夠增多，可增多多少（說(shuō)明：放置時(shí)，線段ab只能按水平或垂直方向）？（水平但錯(cuò)位放置時(shí)，可放置553+442=107，多放置7枚。垂直

17、不合。） 4 改變于條件我們編題，切不能為編題而編題，如果說(shuō)，要對(duì)一道題加以改造形成新題，那一定要顯現(xiàn)有舊題變動(dòng)的原因，新題成立的新意。否則，還不如不改。試看下例：例1 已知p是橢圓外一點(diǎn)，過p作兩切線1、2，f1是焦點(diǎn)f1 關(guān)于1 的對(duì)稱點(diǎn)，f2是焦點(diǎn)f2關(guān)于2的對(duì)稱點(diǎn)。如圖6-1，證明pf1f2pf1f2。 應(yīng)該說(shuō)，這是一個(gè)蠻不錯(cuò)的題，但圓錐曲線的切線問題現(xiàn)在的平面解析幾何教學(xué)已經(jīng)淡出；又題目的解決雖然會(huì)用到橢圓的相關(guān)性質(zhì)（如光學(xué)性質(zhì)），但離教學(xué)較遠(yuǎn)，要證明的問題也過于平面幾何化。那么，怎么進(jìn)行變化與改造呢？筆者擬成為題7 如圖6-2，f1、f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，p、q是橢圓上直線f1f2

18、上方的任意兩點(diǎn)，連f2p并延長(zhǎng)至a，使pa=pf1；連f1q并延長(zhǎng)至b，使qb=qf2。m是af1中點(diǎn)，n是f2b中點(diǎn)。直線1過m、p，直線2過n、q，12=c。證明 c到af2的距離等于c到f1b的距離。經(jīng)這樣一改，雖然mp、nq仍是橢圓的切線，卻不涉及切線概念；而對(duì)稱條件卻使垂直平分線的概念強(qiáng)化，比原題更容易引發(fā)1、2上的點(diǎn)到a、f1的距離及f2、b的距離分別相等；又結(jié)果按點(diǎn)到直線的距離給出，更切合解析幾何的知識(shí)點(diǎn)。而饒有余味的竟是，證明c到af2及f1b的距離相等應(yīng)轉(zhuǎn)化為證明全等三角形caf2與cf1b的兩條高相等。雖然證明的過程大致相仿，但|af2|=|f1b|=2a的定義應(yīng)用之關(guān)鍵比

19、原題容易想到，因此也比原題便于證明。這就使問題的改編圓滿成功。例2 ab是拋物線y2=2px (p0)的焦點(diǎn)弦，m是準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)。如圖7，ap平行于準(zhǔn)線，如果mbab，證明|ap|=bp|。如例1一樣，證明的要求太平面幾何化。引發(fā)的思考不妨取ab中點(diǎn)n，證明mbnp（即著眼于等腰pab的中線、ab上的高線、apb的平分線np的三線合一）。但事實(shí)上，延長(zhǎng)ap交拋物線于q，q與a關(guān)于拋物線為軸對(duì)稱。既然|pa|=|pb|=|pq|，不如說(shuō)明abq為直角三角形。由此原題改編為題8 ab是拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦，m是準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，a關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是q，如圖7，如果mbba，求證m、b、q

20、在一條直線上。這樣改動(dòng)，解析幾何、垂直關(guān)系、三點(diǎn)共線，題目的意蘊(yùn)濃多了，證明方法的選擇也更自由了。特別是向量法，與教學(xué)熱點(diǎn)貼得更緊。5 挖潛以推廣解析幾何中的橢圓與雙曲線呈對(duì)偶關(guān)系，圓錐曲線又把有心曲線橢圓與雙曲線及無(wú)心曲線拋物線囊括為整體的知識(shí)域。因此，橢圓的命題也許雙曲線中有對(duì)偶關(guān)系；能夠在圓錐曲線之其一成立的命題，在其他曲線中也能成立嗎？事實(shí)表明，圓錐曲線中的命題或性質(zhì)、相關(guān)結(jié)論等等，思索研究的潛力或余地大得很。前面提到的拋物線、橢圓、雙曲線的頂點(diǎn)弦op、oq，opoq，pq總過定點(diǎn)，就是一例。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，題7，題8都有挖潛結(jié)果或?qū)ε冀Y(jié)論：題9 如圖8，f1，f2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，q，p

21、是雙曲線上的點(diǎn)，且pf1q，延長(zhǎng)pf1至a，使pa=pf2；延長(zhǎng)qf2至b，使qf1=qb。 取af2中點(diǎn)m，過m、p作直線1；取f1b中點(diǎn)n，過n、q作直線2。12=c。證明 c到aq的距離與c到qb的距離相等。（先證cf1acbf2） 題10 ab是圓錐曲線的焦點(diǎn)弦（如圖7，圖9-1，圖9-2），m是準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，弦aq平行于準(zhǔn)線，如果bmba，證明m、b、q在一條直線上。有趣的是，本人發(fā)現(xiàn)且證明題10之后不久，就看到有關(guān)雜志上更理想的結(jié)果。4其實(shí)在題10中，即便去掉bmba的條件，三點(diǎn)共線的結(jié)論依然成立。6 拓展于結(jié)論同其他知識(shí)域一樣，解析幾何知識(shí)域，由于數(shù)形結(jié)合最緊密，因此，圖形、

22、線條之間的特征與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)往往更豐富。如上所述自編、改變數(shù)學(xué)題的過程，其中就蘊(yùn)含著很多的特征規(guī)律與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。我校本年級(jí)組內(nèi)同仁曾提議解決拋物線的找出焦點(diǎn)尺規(guī)作圖問題。本人進(jìn)一步探索，且一舉解決所有圓錐曲線用尺規(guī)作出焦點(diǎn)的問題。解決過程就用到相關(guān)解析幾何題的特征規(guī)律與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這就是題11 用直尺、圓規(guī)作出僅有圓錐曲線圖形（其中拋物線給定頂點(diǎn)）的曲線焦點(diǎn)。解：作法如下：（1）對(duì)于拋物線，以o為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交拋物線于a、b，連ab(中點(diǎn)為m)；作ab的垂直平分線，此即x軸；過o作y軸（即以o為圓心，作任意長(zhǎng)為半徑形成線段的垂直平分線）；作任意弦op、oq，使opoq；連pq交ox軸于n，

23、由熟知的結(jié)論，n為定點(diǎn)，|on|=2p；在x軸上取on的1/4點(diǎn)，如圖10-1，即f，|of|=p/2。（2）對(duì)于橢圓，先作兩平行弦，及兩平行弦的中點(diǎn)連線，如法炮制平行弦的中點(diǎn)連線；兩中點(diǎn)連線交于o，此即橢圓中心；以o為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，再作弦pq，作pq的垂直平分線x軸；過o作y軸；對(duì)x軸、y軸上的頂點(diǎn)a、b，顯然|oa|=a，|ob|=b，以b為圓心，oa長(zhǎng)為半徑作弧交x軸于f，如圖10-2， （3）對(duì)于雙曲線，作法同于（2），作得o點(diǎn)，x軸、y軸；頂點(diǎn)a；以o為圓心，oa為半徑作圓；作任意半徑oq并延長(zhǎng)至任意雙曲線形內(nèi)m點(diǎn)；以m為圓心，mq為半徑作圓與圓o相切，交x軸于f，f即焦點(diǎn)

24、。如圖10-3，設(shè)p為圓m與雙曲線的交點(diǎn)，則|pf|pf|=2a，即|mo|mf|=a，即|om|=|mq|+a，為兩半徑之和。說(shuō)明 10 前蘇聯(lián)有競(jìng)賽題：在坐標(biāo)平面oxy上畫了函數(shù)y=x2的圖象，然后擦去坐標(biāo)軸，僅留下一條拋物線，怎樣用圓規(guī)和直尺重新作出坐標(biāo)軸和長(zhǎng)度單位。 其實(shí)拋物線不給出頂點(diǎn)也可以作出坐標(biāo)系：兩條平行弦的中點(diǎn)連線m平行于y軸，作m的垂線交拋物線于ab，ab的垂直平分線就是y軸20 “找”出橢圓的中心，曾是上海2004年的春季高考題。這樣，本文開始“1解題”中提到的例2，由是在此處給予了解決。雙曲線上長(zhǎng)軸為直徑的圓與焦點(diǎn)及雙曲線上任意一點(diǎn)線段長(zhǎng)為直徑的圓相外切，居然在此作圖題

25、中能得以應(yīng)用。利用4，題11不僅可作出圓錐曲線的焦點(diǎn)，還可進(jìn)一步作出圓錐曲線的準(zhǔn)線。出于對(duì)篇幅的考慮，這樣那樣的編題成因不再舉例。事實(shí)上，各種因素也是綜合起作用的。但對(duì)于編題、改題的的話題，還是有必要簡(jiǎn)略地總結(jié)一下：10不能為編題、改題而編題、改題。20編題也好，改題也好，都要具有創(chuàng)意，具有新意，具有解題意蘊(yùn)。尤其是改題，決不能只是數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單變動(dòng)。要盡量看不出它就是某某題。否則便無(wú)意義。30編題、改題都要有明確的檢測(cè)方向。要有適宜的解題對(duì)應(yīng)背景。比如是用于競(jìng)賽，用于高考（或模擬考），用于測(cè)驗(yàn)或練習(xí)。不同的用題場(chǎng)合，顯現(xiàn)不同的特色。40編題、改題要指明出處或緣由（對(duì)于編書中的用題，由于題廣量大，

26、編輯許可時(shí)可不必一一標(biāo)明）。 組題所謂組題，就是針對(duì)總復(fù)習(xí)、一學(xué)期、某階段、一個(gè)知識(shí)域所整合的一份考試卷或練習(xí)卷。從國(guó)家來(lái)說(shuō)，高考卷就是最講究的組題卷。一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)年級(jí)組一個(gè)學(xué)習(xí)段的考試卷的擬成，往往最正常的途徑就是在各種相關(guān)資料中找出若干認(rèn)為切合的題，按定型定量的方式列序付印而已。盡管組題最好能最多具有編題、改題的成份，但基于時(shí)間、精力的現(xiàn)實(shí)，一般這么做的情況并不多。即便如此，決不等于說(shuō)，組題可以不講究，組題沒什么要求。對(duì)于這些，并不是所有教師都有很好的認(rèn)識(shí)，都有正確的認(rèn)識(shí)。即便是較高層次的組題者，甚至所謂專家，也未必觀點(diǎn)、理念都十分到位。筆者對(duì)此說(shuō)一些淺見，欠妥不當(dāng)之處歡迎批評(píng)指正。組題

27、的目的必須端正。不論是哪類試卷，都要重視試卷的內(nèi)容與考試的要求及方向相對(duì)應(yīng)；且這樣的要求及方向，還得與時(shí)俱進(jìn)，宏觀上與培養(yǎng)訓(xùn)練素質(zhì)能力掛鉤，突出創(chuàng)意、新意；微觀上與當(dāng)前教學(xué)狀況掛鉤。立足基礎(chǔ)知識(shí)基本機(jī)能的強(qiáng)化與鞏固。以上海而論，自主命題，尤其是近數(shù)年來(lái)，高考試卷的質(zhì)量越來(lái)越被社會(huì)所肯定，應(yīng)是試卷評(píng)價(jià)考察追求的方向。現(xiàn)在各相關(guān)學(xué)校的各類考試，筆者以為這方面的差距還很明顯。由于自編、改編題客觀上很少，于是組題時(shí)，拼命在各類資料中搜索，首先生怕有關(guān)題被別人做到猜到。這其實(shí)是個(gè)誤區(qū)。考查的目的是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)、特別是基礎(chǔ)知識(shí)重要知識(shí)關(guān)鍵知識(shí)的理解、掌握與鞏固。不在于相關(guān)題平時(shí)練習(xí)的多少，是否被做過。由

28、于組題者極力求異，往往使考題偏離方向，在主次重輕上失衡。比如有一次的高二期末試卷的第12題（填空題）：連接拋物線上任意四點(diǎn)的四邊形?？赡苁莀（填寫所有的正確選項(xiàng)的序號(hào)）。 （*）菱形 三條邊相等的四邊形 梯形平行四邊形 有一組對(duì)邊相等的四邊形一般來(lái)說(shuō)，如果安排12道填空題，題12雖然是小題，地位卻舉足輕重。這道題檢驗(yàn)拋物線什么樣的知識(shí)內(nèi)容呢？知識(shí)點(diǎn)的解決用到什么樣的解題思路與方向呢？組題的輕重配置必須得當(dāng)?，F(xiàn)在有些題組，大題不像大題，小題不像小題：大題按選擇填空給出也可以，小題有時(shí)比大題求解還費(fèi)時(shí)費(fèi)力。小題的結(jié)果設(shè)置，由于題目措詞與要求不當(dāng)，給解答的評(píng)判帶來(lái)麻煩與不公。比如有些不等式的求解問曰

29、：不等式的解集是_。對(duì)于2x3， x(2,3)，xx|2x3。第一種解答判錯(cuò)，顯然抹殺了與不會(huì)解、解不出、解錯(cuò)了的區(qū)別。這些顯然都是偏向。小題應(yīng)以檢驗(yàn)對(duì)知識(shí)的把握為準(zhǔn)，盡量不出現(xiàn)解答過于對(duì)應(yīng)不上知識(shí)點(diǎn)，過于對(duì)應(yīng)不上解題思路的問題。由于對(duì)知識(shí)理解掌握的深刻熟練的程度差別而形成解題的用時(shí)用力的程度差別是正常的；由于思索茫然導(dǎo)致的用時(shí)用力的程度差別是不正常的。如剛才提到的題（*），就是一道作為試題的壞題：也許花上相當(dāng)?shù)臅r(shí)間腦力還不得要領(lǐng)；又五種選擇思考，一個(gè)搞錯(cuò)前功盡棄。即便做對(duì)了，也不知如是做有什么意義。必須端正一個(gè)思想，試題的著重點(diǎn)還在于大題?，F(xiàn)在的高考得分分布，22道題6道大題，150分中選擇填空64分，大題86分，基本上還是科學(xué)合理的。再基于上述的基