第六章 散射.ppt

1、散射,具有確定動量的粒子從遠處而來，通過另一個粒子（稱為散射中心）附近，相互作用后而發(fā)生偏轉，又向遠處而去，這就是散射。量子力學中，散射又稱碰撞。在碰撞過程中，如果兩粒子內(nèi)部狀態(tài)均未發(fā)生改變，則稱為彈性散射；反之，稱為非彈性散射。 我們僅限于討論彈性散射。 為方便起見，采用質心坐標系，并假定散射中心的質量遠大于入射粒子的質量，即由碰撞引起的散射中心的運動可以略去。這樣，入射粒子發(fā)生彈性散射后，只有運動方向發(fā)生改變，動量大小并未發(fā)生改變。 另外，入射粒子與散射中心的相互作用只發(fā)生在很小的空間區(qū)域內(nèi)，在這小區(qū)域外，入射粒子（初態(tài)）及散射粒子（末態(tài)）均處于自由粒子狀態(tài)。,散射過程實際上是由于空間小區(qū)

2、域中的相互作用導致的粒子從一個自由態(tài)到另一自由態(tài)的躍遷。但是，這種躍遷的初末態(tài)能量是相同的，并且組成連續(xù)譜。本講主要討論的仍屬于躍遷概率問題，而中心問題是散射截面。散射截面的計算，主要通過兩種近似方法：分波法和玻恩近似法。 1 散射截面 1、1 入射 設自由粒子流沿著 軸向散射中心入射。首先，我們定義：單位時間內(nèi)穿過垂直于入射方向的單位面積的入射粒子數(shù)為入射粒子流強度，記為 。從波動理論出發(fā)，入射波取為 其中 ， 是約化質量， 是入射粒子動量， 是入射粒子的速度,（1）,入射波的概率流密度,其數(shù)量大小即給出入射粒子流強度， 。由此可見， 描述的是單位體積內(nèi)只有一個入射粒子的情況。 1.2 散射

3、 入射粒子流受散射中心的作用而偏離原來的運動方 向，沿著不同的散射角 射出，單位時間內(nèi)散射到 方向上的面積元 上的粒子數(shù) 應由下面關系,（2）,（3）,式中 是比例系數(shù)，與入射粒子的能量、散射中心的性質及粒子出射的方向 有關。,實際上由 可以看出 （1） 表明單位時間內(nèi)沿不同角度 出射粒子數(shù) 目的多少，或出射粒子的概率的大小，所以稱它為 角分布。 （2）從量綱看， 具有面積的量綱，因此又稱它為 方向上的微分散射截面，而把 稱為總散射面積。,（4）,“截面”一詞，可作如下解釋：,按著（3）式，在入射粒子流中，每單位時間穿過與入射 方向垂直的 面積的粒子數(shù)，即為單位時間被散射到立體角 中去的粒子數(shù)

4、 ，而單位時間被散射的總粒子數(shù) 則等于單位時間穿過垂直于入射方向的面積 的入射粒子數(shù)。因此，對于入射粒子流來說，散射體的作用等效于一塊橫截面積，凡是打在這塊面積上的粒子，都被散射到各個方向上去。 及 都是可由實驗測定的量，需要討論的問題是：如何從薛定諤方程的解來計算散射截面，以便與實驗值相比較，從而來研究粒子間相互作用的性質及其它問題。所以說，散射截面是散射理論的核心問題。下面討論散射截面與散射粒子的波函數(shù)之間的關系。,受散射中心作用后，入射粒子將改變方向，動量不再守恒，從而出現(xiàn)散射波。而實驗上觀測都是在遠離散射中心的地方進行的，因此散射波應該是球面波,其中 是沿 方向向外傳播的散射波的振幅，

5、稱為 散射振幅。由上式可得散射波的概率流密度 它的數(shù)值即為單位時間內(nèi)穿過 方向上的單位面積的 粒子數(shù),（5）,（6）,因此穿過 面積的粒子數(shù)是,與（3）比較，可得 即散射截面可由散射波的散射振幅決定。問題又轉化為對 散射波的研究。,（7）,2.分波法,2.1薛定諤方程及其邊界條件 若入射粒子與散射中心之間的相互作用勢能用中心力 場 表示，并假定 ，則體系的薛定諤方程寫為 令 ， ，且在中心力場情況下，勢 能只與 大小有關，所以,（8）,（9）,如前所述，實驗上觀測散射粒子都是在遠離散射中心的地方進行，所以我們總是關注波函數(shù)在 時的漸進行為。,而在無窮遠處，不但有平面波存在，而且有散射波存在，

6、所以滿足（9）式的波函數(shù)應具有如下的漸進行為（邊界條 件） 綜上所述，中心力場中的散射問題，歸結為按不同的勢能 函數(shù)求解薛定諤方程（9）式，并使其解得的波函數(shù)漸進行 為滿足（10）式，這樣就得到散射振幅亦得到散射截 面。,（10）,2.2薛定諤方程的漸近解,對于中心力場問題，我們已知對于確定的能量 ，方程 （9）的一般解可寫為 若選取粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸，則 中心力場的散射問題具有軸對稱性，波函數(shù)及散射振幅都與 無關，即 ，所以有 式中的 ，對應的各項稱為 分波，每一個分 波 都是方程（9）的解。,（11）,其中勒讓德多項式 為已知，所以我們只需討論滿足的徑向方程,令 得 滿

7、足的方程 這里， 的函數(shù)形式尚依賴于 的具體形式，考查 處的漸進形式，則上式簡化為,（12）,（13）,（14）,其一般解為,因此， 的漸進形式是 為了與入射波進行方便的比較,引入 及 將（15）式代入（11）式，得出散射波的漸近解為 2.3散射波與入射波的比較 因為平面波 可以按著數(shù)理方程中的展開公式展開成 一系列球面波的疊加,（15）,（16）,式中球貝塞耳函數(shù) 的漸近式為,所以入射波的漸近式為 （17）式與（16）式比較可以看出，入射波被散射后，第 個分波 變成了 ， 角度部分 保持不變，徑向部分多了一個相角 ， 相角 稱為第 分波的相移。,（17）,入射波展開后，散射波函數(shù)的邊界條件變

8、為,2.4 散射截面 薛定諤方程的漸近解（16）式一定滿足波函數(shù)的邊界條 件（18）式，即,（18）,（19）,由此可解出散射振幅,微分散射截面的表達式為 由此可以看出：求散射振幅 的問題歸結為求相移 ，而 的獲得需要根據(jù) 的具體情況解徑向方程求 ，然 后取其漸近解，并寫成,（20）,（21）,即可得到第 個分波的相移 。由于每個分波都將產(chǎn)生相移，所以，必須尋找各個分波的相移來計算散射截面，這種方法叫作分波法。,最后，利用勒讓德函數(shù)的正交性，可得出總散射截面為,（22）,（23）,（24）,光學定理,2.5分波法的適用范圍,分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問題，從原則上講，分波法是求解散射問題

9、的普遍方法。但實際上，順次計算級數(shù)中的各項是相當復雜的，有時也是不可能的。所以只能在一定條件下計算級數(shù)中的前幾項，達到一定的精確度即可。 分波法適用的條件寫成 ，而 的分波不必考 慮， 愈小，則需計算的項數(shù)愈少，當 時， ，只需計算一個相移 就足夠了。 足夠小意味著入射粒子的動能較低，所以分波法適用于低能散射。,例一 求粒子受勢能 散射的微分散射截面。,解： 把 代入徑向方程，得 令 ，得 的方程為 式中 ，這是一個貝塞耳方程，其解為 考慮到 時波函數(shù)應為有限值，則 ，故,考慮到 的漸近行為,故有 與 相比較，得 當 很小時，上式展開并略去高次項得,將結果代入 ，并考慮到 ，所以,（1）對 分

10、波， ， 所以,（2）一般情況，利用勒讓德函數(shù)的母函數(shù)，可得,所以,3 玻恩近似,如果入射粒子的動能比粒子與散射中心的相互作用勢能 大得多，以致勢能 可以看作是微擾時，體系的哈密頓 算符可以寫成 式中 是自由粒子的哈密頓算符。從微擾角度出發(fā)，粒子 的散射相當于在常微擾 的作用下，從動量 的初態(tài)躍 遷到動量為 的末態(tài)，在彈性散射情況下， 即彈性散射只改變粒子的運動方向，不改變其動量的大小。,（25）,（26）,由常微擾躍遷概率公式,式中 是微擾矩陣元， 是動量大小為 ，在 方向 上立體角 內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度。上式在數(shù)量上即表示單位 時間內(nèi)躍遷到立體角 內(nèi)的粒子數(shù) ，由（3）式 比較后可得微分散射截

11、面 式中的微擾矩陣元 ，入射粒子流強度 及態(tài)密度 的具體表達形式取決于體系的初態(tài)與末態(tài)的具體情況。我們 這里的初末態(tài)是具有確定動量 和 的自由粒子，設其 波函數(shù)分別為,（27）,式中 為歸一化體積， 表示單位體積內(nèi)具有確定動量的粒子數(shù)（即狀態(tài)數(shù)），所以入射粒子流強度,微擾矩陣元為 而在動量表象的波函數(shù),（28a）,（28b）,可見在動量空間中具有確定動量 的狀態(tài)數(shù)變?yōu)?個，于是在 范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)應為 ，用球坐標表示 即沿 方向的立體角 內(nèi)的末狀態(tài)密度 而 ， 代入上式得,（28c）,將（28a），（28b），（28c）代入（27)式，得,式中絕對值號內(nèi)留有負號是因為用格林函數(shù)法算出的散射振 幅 有一負號，引進矢量 若入射波矢與散射波矢間的夾角（即散射角）為 ，則 的數(shù)值為,（29）,（30）,（31）,我們?nèi)?的方向為球坐標的極軸方向， 為方位角，則可簡化積分為,因而散射截面為 上式即為玻恩近似表達式。若勢能已知，計算積分后即可求 出微分散射截面。,（32）,所以應用玻恩近似法計算微分散射截面時，主要難點在于給出 的具體形式后，如何計算積分 ，下面給出幾種常見的較復雜的作用勢能及對應的積分公式,式中,玻恩近似法只適用于粒子的高能散射，這里不作過多討論，它與分波法（適用于粒子的低能散射）相互補充，作為散射問題的兩種主要近似方法。,例一