湖南城市學(xué)院-隨機(jī)過(guò)程講稿.ppt

1、1,4.1,4.2 高斯隨機(jī)過(guò)程,4.3 高斯隨機(jī)過(guò)程的線性變換,4.4 常用時(shí)間序列模型,第四章 白噪聲與高斯隨機(jī)過(guò)程,數(shù)字化技術(shù)的應(yīng)用和發(fā)展使得隨機(jī)序列的分析變得日益廣泛和重要，并由平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在時(shí)間軸上的 取樣引出平穩(wěn)離散隨機(jī)信號(hào)或時(shí)間序列的概念。對(duì)于這類(lèi)隨機(jī)序列，主要采用相關(guān)函數(shù)和功率譜進(jìn)行分析。對(duì)于平穩(wěn)離散時(shí)間信號(hào)，還常用時(shí)間序列描述方法進(jìn)行研究，由此提出時(shí)間序列模型法。它是采用各種隨機(jī)差分方程表示時(shí)間序列信號(hào)的模型。在許多情況下，一個(gè)平穩(wěn)離散隨機(jī)信號(hào)可以視為白噪聲序列通過(guò)某一離散時(shí)間線性系統(tǒng)所產(chǎn)生的。,2/40,4.4常用時(shí)間序列模型,在時(shí)間序列信號(hào)模型分析中，自回歸(AR)模型、

2、滑動(dòng)平均(MA)模型和自回歸滑動(dòng)平均(ARMA)模型是三種最常見(jiàn)的標(biāo)準(zhǔn)線性模型，它們均由白噪聲序列通過(guò)離散時(shí)間線性系統(tǒng)而產(chǎn)生。而實(shí)際應(yīng)用中許多平穩(wěn)時(shí)間序列往往可由這些模型近似表示，使得有關(guān)的分析變得更為簡(jiǎn)單，也為平穩(wěn)隨機(jī)序列的分析和產(chǎn)生提供了有效方法。另外，這些線性模型都具有連續(xù)功率譜形狀，在參數(shù)譜估計(jì)方面顯示出極大的優(yōu)點(diǎn)。除非特別說(shuō)明，本章只討論具有連續(xù)譜特性的平穩(wěn)時(shí)間序列。,3/40,其中W(n)為零均值的平穩(wěn)白噪聲，其方差為 ，ak(k=1,2,N)為常數(shù)。上式就成為N階自回歸模型。實(shí)際上X(n)可以看作平穩(wěn)白噪聲通過(guò)離散線性系統(tǒng)后的響應(yīng)。,4.4.1 自回歸模型（Auto Regres

3、sive Model, AR）,設(shè)隨機(jī)序列X(n)可以用如下差分方程來(lái)描述：,1. 一階 AR模型,當(dāng)上述式子中的N=1時(shí)，稱(chēng)為一階AR模型，如果令a=-a1，則有,（1）,（2）,式(2)是一個(gè)一階差分方程，假設(shè)X(0)=0，根據(jù)差分方程的遞推方法可得：,（1）數(shù)學(xué)期望：,如果 ,由上式可以看出， 的均值有可能不滿(mǎn)足平穩(wěn)性，即可能不滿(mǎn)足一階平穩(wěn)。然而，如果系數(shù) ，當(dāng) 較大時(shí)，則有,在此情況下， 是一階漸進(jìn)平穩(wěn)的。,由于 是均值為零的白噪聲，所以有：,（2）自相關(guān)函數(shù)：,顯然，當(dāng) 時(shí)， 并不滿(mǎn)足自相關(guān)平穩(wěn)性，但是，當(dāng) 并且 足夠大時(shí)，X(n)是趨于平穩(wěn)的，即有：,對(duì)于實(shí)隨機(jī)序列，由于 對(duì)于 對(duì)

4、稱(chēng)分布，有,對(duì)于 ，不難推得，當(dāng) 為正數(shù)時(shí)， 恒為正，且呈指數(shù)衰減。當(dāng) 為負(fù)數(shù)時(shí)， 正負(fù)相間指數(shù)衰減。,根據(jù) 可得 的方差為：,說(shuō)明平穩(wěn)隨機(jī)序列 的方差 比白噪聲方差 大。 最后討論一階AR模型的功率譜。對(duì)(2)式兩邊取z變換，可得其傳遞函數(shù)為：,從系統(tǒng)傳遞函數(shù)表達(dá)式可以得，一階AR模型只有一個(gè)極點(diǎn)z=a，離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是所有極點(diǎn)都位于單位圓內(nèi)，即 ，因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件與漸近平穩(wěn)的條件是一致的。,（3）系統(tǒng)輸出功率譜為：,令 ，有,2. 二階 AR模型,當(dāng)上述式子中的N=2時(shí)，稱(chēng)為二階AR模型，即,（3）,式中 和 均為實(shí)常數(shù)， 。 上式二階差分方程的特征多項(xiàng)式為：,為了推導(dǎo)方便，定義后向

5、差分算子：,于是，二階AR模型成為：,（4）,式中 和 為二階AR模型特征多項(xiàng)式的根，即,方程（4）的解由兩部分組成，即由奇次解和特解組成。,由（4）式可知，其中必然有一個(gè)特解為：,根據(jù)模型差分方程，零輸入下得齊次方程,奇次解為：,式中 和 是待定系數(shù)，由初始條件確定。 所以二階AR模型的解：,（5）,當(dāng) 時(shí)，(5)式右邊齊次解隨 的增大而趨于零，而特解部分具有有限方差，在均方意義下收斂，隨 的增大而漸近收斂于特解公式的平穩(wěn)結(jié)果。 實(shí)際上，二階模型的平穩(wěn)條件與其系數(shù) 和 是有關(guān)的，這可通過(guò) 和 平面表示。,(1)當(dāng)特征根為復(fù)數(shù)時(shí)：,特征方程,根據(jù)平穩(wěn)條件的要求，系數(shù) 和 必須滿(mǎn)足：,(2)當(dāng)特

6、征根為實(shí)數(shù)時(shí)：,特征方程的函數(shù)為：,由（6）式可知，特征函數(shù)是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線。而且：,（6）,根據(jù)平穩(wěn)條件 ，因此有：,另外，還要求：,-1,1,r,f(r),于是，可得：,這就是保證二階AR模型平穩(wěn)的條件，可用系數(shù)分布圖說(shuō)明。圖中示出了二階系數(shù)欠阻尼、過(guò)阻尼和臨界阻尼三種情況的系數(shù)區(qū)域分布，分別對(duì)應(yīng)于以下三種情況： （1）欠阻尼：出現(xiàn) 和 一對(duì)共軛復(fù)根。 （2）過(guò)阻尼：出現(xiàn) 和 不同的實(shí)根。 （3）臨界阻尼：出現(xiàn) 和 相同的實(shí)根。,以及,綜合（1）和（2）式分析，得到以下三個(gè)條件：,在（7）式中W(n)是白噪聲序列，它的取值在任意兩個(gè)時(shí)刻是不相關(guān)的，而X(n)是W(n)的線性組合，所以

7、有,當(dāng)X(n)是平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，現(xiàn)在討論其自相關(guān)函數(shù)：,用 代入到方程（3）中可得：,對(duì)上式兩邊同時(shí)乘以X(n)，并取數(shù)學(xué)期望可得：,（7）,（8）,根據(jù)（7）和（8）式可得：,以及,由此解得：,對(duì)于 時(shí)，有,（9）,方程（9）具有如下形式的通解：,式中 和 為特征方程 的根。B1，B2是常數(shù)，由邊界條件來(lái)決定的。其中，特征根為：,對(duì)于特征根，顯然有：,（10）,為了確定B1，B2，在式（10）中，令m=0,m=1，則有：,（11）,根據(jù)前面推到可知： ，代入到（11）式中得：,將式（11）中的RX(0)變形可得：,（12）,（13）,將式（12）減去式（13）可得：,于是可得：,將式（11）中的

8、RX(0)變形可得：,（14）,將式（12）減去式（14）可得：,將B1和B2的值代入到（10）可得：,最后，分析二階AR模型的功率譜密度。 對(duì)（3）兩邊取Z變換，容易知道其傳遞函數(shù)為：,于是， 的功率譜為：,三. N階AR模型 定義如下隨機(jī)差分方程為 階AR模型,式中 為實(shí)常數(shù)，且 。 對(duì)上式兩邊取 變換，可得：,于是可得到N階AR模型的傳遞函數(shù)：,（15）,根據(jù)它的特征多項(xiàng)式可解出 個(gè) 的極點(diǎn) 于是，該模型的傳遞函數(shù)可寫(xiě)為：,所以，AR模型的傳遞函數(shù)只有極點(diǎn)，除原點(diǎn)外沒(méi)有任何零點(diǎn)，屬于全極點(diǎn)模型，對(duì)應(yīng)于全極點(diǎn)濾波器，具有無(wú)限沖激響應(yīng)(IIR)。因此，模型傳遞函數(shù)的性質(zhì)完全取決于 個(gè)極點(diǎn)在 平面上的分布情況?？梢宰C明，如果所有 個(gè)極點(diǎn)均滿(mǎn)足 ，那么，AR模型信號(hào)滿(mǎn)足漸近平穩(wěn)性。,條件 意味著有界輸入通過(guò)線性系統(tǒng)導(dǎo)致有界輸出，系統(tǒng) 是穩(wěn)定的，這說(shuō)明模型傳遞函數(shù)的穩(wěn)定性與模型的平穩(wěn)性是等價(jià)的。 根據(jù)AR模型的傳遞函數(shù)， 階AR模型的功率譜密度為：,可見(jiàn)AR模型的功率譜由各模型系數(shù) 確定。,由于,對(duì)（15）式兩邊同時(shí)乘以X(n-m)，并取數(shù)學(xué)期望可得：,于是有：,（16）,N 階AR模型的自相關(guān)函數(shù)：,