三重積分的計(jì)算方法與例題

1、.三重積分的計(jì)算方法：三重積分的計(jì)算是化為三次積分進(jìn)行的。其實(shí)質(zhì)是計(jì)算一個(gè)定積分（一重積分）和一個(gè)二重積分。從順序看：z2如果先做定積分f ( x, y, z)dz ，再做二重積分F ( x, y)d ，就是“投z1D影法 ”，也即“先一后二”。步驟為：找 及在 xoy 面投影域 D。多 D 上一點(diǎn)（ x,y）“穿線”確定 z 的積分限，完成了“先一”這一步（定積分）；進(jìn)而按二重積分的計(jì)算步驟計(jì)算投影域D 上的二重積分，完成“后二”這一步。z2f (x, y, z)dvf (x, y, z)dzdDz1c2如果先做二重積分f ( x, y, z)d再做定積分F (z)dz ，就是“ 截面D z

2、c1法”，也即“先二后一” 。步驟為：確定位于平面 zc1與 zc2 之間，即 zc1 , c2 ，過(guò) z 作平行于 xoy 面的平面截，截面 D z 。區(qū)域 D z 的邊界曲面都是 z 的函數(shù)。計(jì)算區(qū)域 D z 上的二重積分f ( x, y, z)d ，完成D zc2了“先二”這一步（二重積分） ；進(jìn)而計(jì)算定積分F ( z) dz ，完成“后c1c2一”這一步。f ( x, y, z)dv f ( x, y, z)d dzc1D z當(dāng)被積函數(shù) f（z）僅為 z 的函數(shù)（與 x,y 無(wú)關(guān)），且 D z 的面積 ( z) 容易求出時(shí)，“截面法”尤為方便。為了簡(jiǎn)化積分的計(jì)算，還有如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)

3、系計(jì)算的問(wèn)題。可以按以下幾點(diǎn)考慮： 將積分區(qū)域投影到 xoy 面，得投影區(qū)域 D( 平面 )（1） D 是 X 型或 Y 型，可選擇直角坐標(biāo)系計(jì)算 （當(dāng)?shù)倪吔缜?面中有較多的平面時(shí)，常用直角坐標(biāo)系計(jì)算）（2） D 是圓域（或其部分），且被積函數(shù)形如f (x 2y 2 ), f ( y ) 時(shí)，x可選擇柱面坐標(biāo)系計(jì)算（當(dāng)為圓柱體或圓錐體時(shí)，常用柱面坐標(biāo)計(jì)算）（ 3） 是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如 f (x 2 y 2 z2 ) 時(shí)，可選擇球面坐標(biāo)系計(jì)算以上是一般常見(jiàn)的三重積分的計(jì)算方法。對(duì)向其它坐標(biāo)面投影或不易作出的情形不贅述。三重積分的計(jì)算方法小結(jié)：1.對(duì)三重積分，采用“投影法” 還是“截

4、面法”，要視積分域及被積函數(shù) f(x,y,z)的情況選取。一般地， 投影法（先一后二）：較直觀易掌握；截面法（先二后一）：D z 是在 z 處的截面，其邊界曲線方程易寫錯(cuò)，故較難一些。特殊地，對(duì) D z 積分時(shí)， f(x,y,z)與 x,y 無(wú)關(guān)，可直接計(jì)算 SD z 。因而中只要 za,b , 且 f(x,y,z) 僅含 z 時(shí)，選取“截面法”更佳。2.對(duì)坐標(biāo)系的選取，當(dāng)為柱體，錐體，或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數(shù)為僅含z 或 zf (x 2y 2 ) 時(shí)，可考慮用柱面坐標(biāo) 計(jì)算。三重積分的計(jì)算方法例題：補(bǔ)例 1：計(jì)算三重積分Izdxdydz，其中為平面 xyz1

5、 與三個(gè)坐標(biāo)面x0, y0, z0 圍成的閉區(qū)域。解 1“投影法”1.畫出及在 xoy 面投影域 D.2. “穿線” 0z1xy.X 型0x1D：y1x00x1： 0y1x0z1xy3.計(jì)算11 x1 x y11 x1111Izdxdydzdxdyzdzdx(1 x y) 2 dy(1 x) 2 y (1 x) y 2y 3 10x dx0000022 031 1 (1 x) 3 dx1 x3 x 2x3 1x 4 1016 062424解 2“截面法” 1.畫出。2. z 0,1過(guò)點(diǎn) z 作垂直于 z 軸的平面截得 D z 。Dz 是兩直角邊為 x,y 的直角三角形，x1z, y1z3.計(jì)算

6、111Izdxdydzzdxdy dzzdxdydzzSD z dz100Dz0D z0z( 1 xy)dz1z 11(1 z)(1 z)dz1 (z 2z2z3 )dz12022 024補(bǔ)例 2：計(jì)算x2y 2 dv ，其中是 x 2y2z2 和 z=1 圍成的閉區(qū)域。解 1“投影法”畫出及在面投影域zx22 y 2xoyD.由 z1消去 z，1.得 x2y 21 即 D： x2y 212. “穿線”x 2y 2z1，.X 型D：1x11x2y1x 21x1:1x2y1x2x2y 2z13.計(jì)算x 2y 2 dv11x1x 2y2 dz11x2x2y 2 (1x 2y 2 )dydxdydx

7、11x2x2y211x26注：可用柱坐標(biāo)計(jì)算。解 2“截面法”1.畫出 。 2.z0,1 過(guò)點(diǎn) z 作垂直于 z 軸的平面截得 Dz ：x2y2z2D z ：020rz02用柱坐標(biāo)計(jì)算:0rz0z13.計(jì)算112z1 1 r 3 0z dz21x 2y 2 dvx2y 2 dxdy dzdr 2 dr dz2z3 dz0 D z0 0003306補(bǔ)例 3：化三重積分 If ( x, y, z) dxdydz為三次積分，其中：zx 22 y2 及 z2 x 2 所圍成的閉區(qū)域。解： 1.畫出及在 xoy 面上的投影域 D.zx 22 y2由 z2x 2消去 z，得 x2y 21即 D：x 2y2

8、1.2.“穿線” x22 y2z 2 x21 x1X 型 D：1x2y1 x21x1：1x2y1x2x22 y 2z2x 211x22x23計(jì)算 If ( x, y, z) dxdydzdxdyf ( x, y, z)dz11x2x22 y 2注：當(dāng) f (x, y, z) 為已知的解析式時(shí)可用柱坐標(biāo)計(jì)算。補(bǔ)例 4：計(jì)算zdv ，其中為 z6x2y 2及 zx2y 2 所圍成的閉區(qū)域。解 1“投影法”1.畫出 及在 xoy 面投影域 D， 用柱坐標(biāo)計(jì)算xr cos由 yr sin化的邊界曲面方程為： z=6-r2，z=rzz解z 6r 2 得r2D： r2 即 022.z r0r202“穿線”

9、rz6 r 2: 0r2rz6r 26r 2226 r 221 z2 r6 r 23計(jì)算zdvzdzrdrddrdrzdz2rdrDr00r022292r (6 r 2 ) 2r 2 dr(36r13r 2r 5 )dr。003解 2“截面法”1.畫出 。如圖：由 z 6r 2 及 zr 圍成。2.z0,6 0,2 2,612.1 由 z=r 與 z=2 圍成； z 0,2 ， D z ： r z021 ： 0rz0z22 由 z=2 與 z=6r 2 圍成；z 2,6 ， D z ： r6z022 ： 0r6z2z6263.計(jì)算zdv=zdvzdvzrdrddzzrdrddz120Dz12D

10、 z226262692zSDz1 dzzSDz2dz z( z2 ) dzz( 6z) 2 dzz3 dz(6z z2 ) dz0202023注：被積函數(shù) z 是柱坐標(biāo)中的第三個(gè)變量，不能用第二個(gè)坐標(biāo)r 代換。補(bǔ)例 5：計(jì)算( x2y2 )dv ，其中由不等式 0ax 2y 2z2A ，z0 所確定。xcossin解：用球坐標(biāo)計(jì)算。由ysinsin得的邊界曲面的球坐標(biāo)方程： aAzcosP，連結(jié) OP=，其與 z 軸正向的夾角為，OP=。P 在 xoy 面的投影為 P ，連結(jié) OP ，其與 x 軸正向的夾角為 。： aA ， 0， 02222A21(x 2y2 )dvdd ( 2 sin 2 ) 2 sin d = 2sin 35 aA d00a05= 2 ( A522 ( A524 ( A5a 5 ) sin 3 da 5 )1a 5 )50