2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷與解答(B卷)

1、2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試（B卷）一、填空題：本大題共8個(gè)小題,每小題8分,共64分.1.在等比數(shù)列中，則的值為 .2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的值為 .3.設(shè)是定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則的值為 .4.在中，若，且三條邊成等比數(shù)列，則的值為 .5.在正四面體中，分別在棱上，滿足，且與平面平行，則的面積為 .6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集，在中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)兩兩之間距離均不超過2的概率為 .7.設(shè)為非零實(shí)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，二次曲線的焦距為4，則的值為 .8.若正整數(shù)滿足，則數(shù)組的個(gè)數(shù)為 .二、解答題 （本大題共3小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2、） 9.設(shè)不等式對(duì)所有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列、的公差均是，并且存在正整數(shù)，使得是整數(shù)，求的最小值.11.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線，經(jīng)過上一點(diǎn)作一條傾斜角為的直線，與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求的取值范圍.2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試（B卷）一、（本題滿分40分）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，令，證明：二、（本題滿分40分）給定正整數(shù)，證明：存在正整數(shù)，使得可將正整數(shù)集分拆為個(gè)互不相交的子集，每個(gè)子集中均不存在4個(gè)數(shù)（可以相同），滿足.三、（本題滿分50分）如圖，點(diǎn)是銳角的外接圓上弧的中點(diǎn)，直線與圓過點(diǎn)的切線分別相交于點(diǎn)，與的交點(diǎn)

3、為，與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，求證：平分線段.四、（本題滿分50分）設(shè)，集合，求的元素個(gè)數(shù)的最大值.一試試卷答案1.答案：解：數(shù)列的公比為，故.2.答案：解：設(shè)，由條件得，比較兩邊實(shí)虛部可得，解得：，故，進(jìn)而.3.答案：解：由條件知，兩式相加消去，可知：，即.4.答案：解：由正弦定理知，又，于是，從而由余弦定理得：.5.答案：解：由條件知，平行于，因?yàn)檎拿骟w的各個(gè)面是全等的正三角形，故，.由余弦定理得，同理有.作等腰底邊上的高，則，故，于是.6.答案：解：注意中共有9個(gè)點(diǎn)，故在中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)的方式數(shù)為種，當(dāng)取出的三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2時(shí)，有如下三種情況：（1）三點(diǎn)在一橫線或一縱線上，有6種

4、情況，（2）三點(diǎn)是邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，有種情況，（3）三點(diǎn)是邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，其中，直角頂點(diǎn)位于的有4個(gè)，直角頂點(diǎn)位于，的各有一個(gè)，共有8種情況.綜上可知，選出三點(diǎn)兩兩之間距離不超過2的情況數(shù)為，進(jìn)而所求概率為.7.答案：解：二次曲線方程可寫成，顯然必須，故二次曲線為雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，注意到焦距，可知，又，所以.8.答案：574解：由條件知，當(dāng)時(shí)，有，對(duì)于每個(gè)這樣的正整數(shù)，由知，相應(yīng)的的個(gè)數(shù)為，從而這樣的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，由，知，進(jìn)而，故，此時(shí)共有2組.綜上所述，滿足條件的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為.9.解：設(shè)，則，于是對(duì)所有成立，由于，對(duì)給定實(shí)數(shù)，設(shè)，則是關(guān)于的一次

5、函數(shù)或常值函數(shù)，注意，因此等價(jià)于，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.10.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則所以數(shù)列也是等差數(shù)列.（2）由已知條件及（1）的結(jié)果知：，因?yàn)?，故，這樣若正整數(shù)滿足，則.記，則，且是一個(gè)非零的整數(shù)，故，從而.又當(dāng)時(shí)，有，綜上所述，的最小值為.11.解：設(shè)，則直線的方程為，代入曲線的方程得，化簡(jiǎn)可得：，由于與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故關(guān)于的方程的判別式為正，計(jì)算得，因此有，設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，由知，因此，結(jié)合的傾斜角為可知，由可知，故，從而由得：注1：利用的圓心到的距離小于的半徑，列出不等式，同樣可以求得中的范圍.注2：更簡(jiǎn)便的計(jì)算的方式是利用圓冪定理，事實(shí)上，的圓心為，半徑為，故.加試試卷答案一、證明：當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立以下設(shè)，不妨設(shè)不異號(hào)，即，那么有因此二、證明：取，令，設(shè)，則，故，而，所以在中不存在4個(gè)數(shù)，滿足三、證明：首先證明，即證連接，因?yàn)?，所以?由題設(shè)，是圓的切線，所以，又（注意是弧的中點(diǎn)），于是由知 因?yàn)?，所以，于?而 由，得 ，即又，故設(shè)邊的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以由塞瓦定理知，三線共點(diǎn)，交點(diǎn)即為，故由可得平分線段四、解：考慮一組滿足條件的正整數(shù)對(duì)，設(shè)中取值為的數(shù)有個(gè)，根據(jù)的定義，當(dāng)時(shí)，因此至少有個(gè)不在