高中數(shù)學函數(shù)的極值典型例題

1、利用導數(shù)求函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1；2；3分析：按照求極值的基本方法，首先從方程求出在函數(shù)定義域內(nèi)所有可能的極值點，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點處是否取得極值解：1函數(shù)定義域為R令，得當或時，函數(shù)在和上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在（2，2）上是減函數(shù)當時，函數(shù)有極大值，當時，函數(shù)有極小值2函數(shù)定義域為R令，得或當或時，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù)當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值3函數(shù)的定義域為R令，得當或時，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在（1，1）上是增函數(shù)當時，函數(shù)取得極小值，當時，函數(shù)取得極大值說明：思維的周密性是解決問題的基礎，在解題過程中，

2、要全面、系統(tǒng)地考慮問題，注意各種條件 綜合運用，方可實現(xiàn)解題的正確性解答本題時應注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導數(shù)的符號相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值反映在解題上，錯誤判斷極值點或漏掉極值點是學生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤復雜函數(shù)的極值例 求下列函數(shù)的極值：1 ；2分析：利用求導的方法，先確定可能取到極值的點，然后依據(jù)極值的定義判定在函數(shù)的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點”，除了確定其導數(shù)為零的點外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導的點這兩類點就是函數(shù)在定義內(nèi)可能取到極值的全部“可疑點”解：1令，解得，但也可能是極值點當或時，函數(shù)在和上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在（0，2）上是減函數(shù)當時，函

3、數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值2令，得當或時，函數(shù)在和上是減函數(shù)；當或時，函數(shù)在和上是增函數(shù)當和時，函數(shù)有極小值0，當時，函數(shù)有極大值說明：在確定極值時，只討論滿足的點附近的導數(shù)的符號變化情況，確定極值是不全面的在函數(shù)定義域內(nèi)不可導的點處也可能存在極值本題1中處，2中及處函數(shù)都不可導，但在這些點處左右兩側(cè)異號，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)在這些點處仍取得極值從定義分析，極值與可導無關(guān)根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值例 已知在時取得極值，且1試求常數(shù)a、b、c的值；2試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由分析：考察函數(shù)是實數(shù)域上的可導函數(shù)，可先求導確定可能的極值點，再通過極值點與導數(shù)的關(guān)系，即極值點必為的根建立起由極值點所確定的相關(guān)等式，運用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值解：1解法一：是函數(shù)的極值點，是方程，即的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得又， （3）由（1）、（2）、（3）解得解法二：由得， （1） （2）又， （3）解（1）、（2）、（3）得2，當或時，當時，函數(shù)在和上是增函數(shù)，在（1，1）上是減函數(shù)當時，函數(shù)取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值說明：解題的成功要靠正確思路的選擇本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化，在轉(zhuǎn)化的過程中充分運用了已知條件確定了解題的大方向可見出路在于