高中數(shù)學(xué)必修2知識點總結(jié)第四章-圓與方程

1、第四章 圓與方程 知識點與習(xí)題1. 1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。 設(shè)M（x,y）為A上任意一點，則圓的集合可以寫作：P = M | |MA| = r 2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r； 點與圓的位置關(guān)系：當(dāng)，點在圓外; 當(dāng)=，點在圓上當(dāng)，點在圓內(nèi); （2）一般方程 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （） 當(dāng)時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為 當(dāng)時，表示一個點； 當(dāng)時，方程不表示任何圖形。（3）求圓的方程的方法：待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；

2、若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；直接法：直接根據(jù)已知條件求出圓心坐標(biāo)以及半徑長度。另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過圓心，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為 ，則有；（2） 過圓外一點的切線：設(shè)點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k， 若求得兩個不同的解，帶入所設(shè)切線的方程即可； 若求得兩個相同的解，帶入切線方程，得到一條切線；接下來驗證過該點的斜率不存在的直線（此 時，該直線一定為另一條切線）(3) 過圓上一點的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，

3、y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 兩圓的位置關(guān)系判斷條件公切線條數(shù)外離1+24條外切1+23條相交|1-2|1+22條內(nèi)切|1-2|1條內(nèi)含|1-2|0條4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差的絕對值），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。（即幾何法） 注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線5、.圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 聯(lián)立圓C1的方程與圓C2的方程得到一個二元一

4、次方程 若兩圓相交，則該二元一次方程表示：圓C1與圓C2公共弦所在的直線方程； 若兩圓相切，則該二元一次方程表示：圓C1與圓C2的公切線的方程； 若兩圓外離，則該二元一次方程表示的直線具有一個性質(zhì)：從直線上任意一點向兩個圓引切線， 得到的切線長相等（反之，亦成立）6、已知一直線與圓相交，求弦的長度 代數(shù)法：聯(lián)立圓與直線的方程求出交點坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求弦長 幾何法：半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形（勾股定理） 7、已知兩圓相交，求公共弦的長度代數(shù)法：聯(lián)立兩圓的方程求出交點坐標(biāo)；利用兩點間的距離公式求弦長幾何法：半弦長、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形（勾股定理）8、圓系與圓系方程 (1)

5、圓系:具有某種共同屬性的圓的集合，稱為圓系。 (2) 圓系方程：圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圓系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 （）若圓 C1與圓C2交于P1、P2點，那么，方程（）代表過P1、P2兩點的圓的方程。若圓 C1與圓C2交于P點（一個點），則方程（）代表過P點的圓的方程。9、直線與圓的方程的應(yīng)用用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三部曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步

6、：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論10、空間直角坐標(biāo)系1、點M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組，、分別是P、Q、R在、軸上的坐標(biāo)2、有序?qū)崝?shù)組，對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點3、空間中任意點M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M，叫做點M的橫坐標(biāo)，叫做點M的縱坐標(biāo)，叫做點M的豎坐標(biāo)。11、空間兩點間的距離公式1、空間中任意一點到點之間的距離公式一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1已知兩圓的方程是x2y21和x2y26x8y90，那么這兩個圓的位置關(guān)系是()A相離B相交C外切 D內(nèi)切解析：將圓x

7、2y26x8y90，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x3)2(y4)216.兩圓的圓心距5，又r1r25，兩圓外切答案：C2過點(2,1)的直線中，被圓x2y22x4y0截得的最長弦所在的直線方程為()A3xy50 B3xy70Cx3y50 Dx3y10解析：依題意知，所求直線通過圓心(1，2)，由直線的兩點式方程得，即3xy50.答案：A3若直線(1a)xy10與圓x2y22x0相切，則a的值為()A1，1 B2，2C1 D1解析：圓x2y22x0的圓心C(1,0)，半徑為1，依題意得1，即|a2|，平方整理得a1.答案：D4經(jīng)過圓x2y210上一點M(2，)的切線方程是()Axy100 B.x2y100C

8、xy100 D2xy100解析：點M(2，)在圓x2y210上，kOM，過點M的切線的斜率為k，故切線方程為y(x2)，即2xy100.答案：D5點M(3，3,1)關(guān)于xOz平面的對稱點是()A(3,3，1) B(3，3，1)C(3，3，1) D(3,3,1)解析：點M(3，3,1)關(guān)于xOz平面的對稱點是(3,3,1)答案：D6若點A是點B(1,2,3)關(guān)于x軸對稱的點，點C是點D(2，2,5)關(guān)于y軸對稱的點，則|AC|()A5 B.C10 D.解析：依題意得點A(1，2，3)，C(2，2，5)|AC|.答案：B7若直線ykx1與圓x2y21相交于P、Q兩點，且POQ120(其中O為坐標(biāo)原

9、點)，則k的值為()A. B.C.或 D.和解析：由題意知，圓心O(0,0)到直線ykx1的距離為，k.答案：C8與圓O1：x2y24x4y70和圓O2：x2y24x10y130都相切的直線條數(shù)是()A4 B3C2 D1解析：兩圓的方程配方得，O1：(x2)2(y2)21，O2：(x2)2(y5)216，圓心O1(2,2)，O2(2,5)，半徑r11，r24，|O1O2|5，r1r25.|O1O2|r1r2，兩圓外切，故有3條公切線答案：B9直線l將圓x2y22x4y0平分，且與直線x2y0垂直，則直線l的方程是()A2xy0 B2xy20Cx2y30 Dx2y30解析：依題意知，直線l過圓心

10、(1,2)，斜率k2，l的方程為y22(x1)，即2xy0.答案：A10圓x2y2(4m2)x2my4m24m10的圓心在直線xy40上，那么圓的面積為()A9 BC2 D由m的值而定解析：x2y2(4m2)x2my4m24m10，x(2m1)2(ym)2m2.圓心(2m1，m)，半徑r|m|.依題意知2m1m40，m1.圓的面積S12.答案：B11當(dāng)點P在圓x2y21上變動時，它與定點Q(3,0)的連結(jié)線段PQ的中點的軌跡方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y21C(2x3)24y21 D(2x3)24y21解析：設(shè)P(x1，y1)，Q(3,0)，設(shè)線段PQ中點M的坐標(biāo)為(x，y)，則x，y，x12x3，y12y.又點P(x1，y1)在圓x2y21上，(2x3)24y21.故線段PQ中點的軌跡方程為(2x3)24y21.答案：C12曲線y1與直線yk(x2)4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是()A(0，) B(，)C(， D(，解析：如圖所示，曲線y1變形為x2(y1)24(y1)，直線yk(x2)4過定點(2,4)，當(dāng)直線l與半圓相切時，有2，解得k.當(dāng)直線l過點(2,1)時，k.因此，k的取值范圍是0.故方程表示圓心為(k，2k5)，半徑為|k1|的圓設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x，y)，則消去k