復(fù)變函數(shù)第11講x

1、1,第五章 留數(shù)及其應(yīng)用,本章主要內(nèi)容：,1、孤立奇點(diǎn)及其分類 2、留數(shù)概念及其計(jì)算 3、留數(shù)在計(jì)算定積分中的應(yīng)用,2,1 孤立奇點(diǎn),1、孤立奇點(diǎn)的分類,例如,3,x,y,o,這說明奇點(diǎn)未 必是孤立的.,4,注: 若函數(shù)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，則每一奇點(diǎn)都是孤立奇點(diǎn).,2、孤立奇點(diǎn)的分類,5,2.1 可去奇點(diǎn)：展式中不含z-z0 負(fù)冪項(xiàng)，即,特點(diǎn)?,“可去” 一詞的 解釋?,6,2.2 極點(diǎn)：展式中僅含有有限多個(gè)z-z0 負(fù)冪項(xiàng)，即,特點(diǎn)?,7,2.3 本性奇點(diǎn)：展式中含有無窮多個(gè)z-z0 負(fù)冪項(xiàng),特點(diǎn)?,8,3、 函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的性質(zhì),3.1z0為 f (z) 的可去奇點(diǎn),性質(zhì)1若z0為 f (z)

2、 的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià)：,9,3.2若z0為f (z)的m (m 1) 級(jí)極點(diǎn)，則,性質(zhì)2若z0為 f (z) 的孤立奇點(diǎn)，則下列條件等價(jià) （都是m級(jí)極點(diǎn)的特征）：,10,例如：,z=1為f (z)的一個(gè)4級(jí)極點(diǎn)， z=i為f (z)的單極點(diǎn).,注意在判斷孤立奇點(diǎn)類型時(shí)，不要一看到函數(shù)的表面形式就急于作出結(jié)論. 例如,利用洛朗展式容易知道，z=0分別是它們的單極點(diǎn)，可去奇點(diǎn)，二級(jí)極點(diǎn).,11,性質(zhì)3若z0為f (z)的孤立奇點(diǎn)，則,z0為f (z)的極點(diǎn)的充要條件是,在判斷函數(shù)的極點(diǎn)時(shí)，請比較性質(zhì)2和性質(zhì)3.,4、 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,12,證明:先證明必要性.,性質(zhì)4,13,例如：,必要性證畢.,充分性請自己完成.,結(jié)論：一個(gè)不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.,14,性質(zhì)5,證明：,由于z0為f (z)的m 級(jí)零點(diǎn)，所以,15,在判斷函數(shù)的極點(diǎn)級(jí)數(shù)時(shí)，下列結(jié)論有時(shí)是非常有用的.,例如，,16,性質(zhì)6z0為 f (z) 的本性奇點(diǎn),注：在求復(fù)變函數(shù)的極限時(shí)，也有同實(shí)函數(shù)類似 的羅必塔法則.,由性質(zhì)1和性質(zhì)3，得,17,5、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài),有時(shí)在考慮解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)時(shí)，將無窮 遠(yuǎn)點(diǎn)考慮在內(nèi)會(huì)給我們處理問題帶來極大方便.,定