數(shù)學(xué)物理方法課件:第二章復(fù)變函數(shù)的積分_第1頁
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1、第二章 復(fù)變函數(shù)的積分,21 復(fù)變函數(shù)的積分,一、定義,L,二、計算,1、復(fù)變函數(shù)積分歸結(jié)為兩個實變函數(shù)線積分,3、實變函數(shù)線積分的性質(zhì)對路積分也成立,4、長大不等式,故,對上面不等式兩邊取極限即得。,估值定理,例1,被積函數(shù)相同、起終點相同,積分路徑不同,結(jié)果不同。,例2,例3,是以a(x0,y0)點為中心,R為半徑的圓,在圓周上:,單通區(qū)域與復(fù)通區(qū)域,定義 復(fù)平面上的一個區(qū)域 B ,如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi),就稱 B為單通區(qū)域;非單通區(qū)域稱為復(fù)通區(qū)域。,單通區(qū)域:如果在區(qū)域B中作任一簡單閉合 曲線,該閉合曲線內(nèi)的每一點都屬于B,則 該區(qū)域為單通區(qū)域。,一、單通區(qū)域中的柯西定理

2、,22 柯西定理,復(fù)通區(qū)域:在區(qū)域B中,如果有一簡單閉合 曲線,該閉合曲線內(nèi)有不屬于區(qū)域B的點, 則該區(qū)域為復(fù)通區(qū)域。,例如 |z|0)是單通區(qū)域; 0r|z|R是復(fù)通區(qū)域。,復(fù)通區(qū)域,單通區(qū)域,單通區(qū)域中的柯西定理,定理 若函數(shù) 在閉單通區(qū)域 上解析, 則沿 上任一分段光滑閉合曲線 (也可以 是 的邊界)有:,證明,應(yīng)用格林公式:,柯西-黎曼方程成立,推論 若函數(shù) 在單通區(qū)域 上解析, 在閉單通區(qū)域 上連續(xù),則沿 上任一分 段光滑閉合曲線 (也可以是 的邊界)有:,推論 若函數(shù) 在單通區(qū)域 上解析, 是 上任一閉合曲線 (也可以是非簡單閉 合曲線)則有:,推論 若函數(shù) 在單通區(qū)域 上解析,

3、是 上任一起始于 點,終止于 點的簡單 曲線 ,則積分 的值不依賴于積分路 徑 ,而只由始點 和終點 的位置決定。,證明,二、復(fù)通區(qū)域中的柯西定理,境界線正方向:沿曲線進(jìn)行時 區(qū)域總在行者左側(cè)。,外境界線正方向:逆時針方向,內(nèi)境界線正方向:順時針方向,證明,作割線連接內(nèi)外境界線將復(fù)通區(qū)域變 成單通區(qū)域,推論 閉復(fù)通區(qū)域 上的單值解析函數(shù),沿 外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內(nèi) 境界線逆時針方向的積分之和。,若 是以a點為中心的圓,解,則:,在 內(nèi)以a點為中心作圓 ,構(gòu)成以 為外境 界線, 為內(nèi)境界線的復(fù)通區(qū)域。,23 原函數(shù)和不定積分,一、原函數(shù)(定義),二、不定積分,若 在單通區(qū)域B內(nèi)解析

4、,依柯西定理 其沿B內(nèi)任一路徑的積分只與起點、終點 有關(guān)。當(dāng)起點 固定,不同終點的變上 限不定積分定義了一個單值函數(shù),三、定理,推論 若 在單通區(qū)域B內(nèi)解析,則,路積分的值等于原函數(shù)的改變量 (牛頓-萊布尼茲公式),例,解,24 柯西公式,證明,所以只要證明:,是被積函數(shù)奇點。,以 為圓心, 為半徑作小圓 ,構(gòu)成以 為外境界線, 為內(nèi)境界線的復(fù)通區(qū)域。在該區(qū)域內(nèi)被積函數(shù)解析。,?,由柯西定理:,由長大不等式:,柯西公式將解析函數(shù)在閉單通區(qū)域內(nèi)任一點上的函數(shù)值用沿境界線的回路積分表示出來。,此時,對所有內(nèi)、外境界線正向積分,注意:此時積分回路沿順時針,推論3 解析函數(shù)在一個圓周上的平均值等 于它

5、在該圓周圓心上的值。,證明,!,!,柯西公式的應(yīng)用,例,解,例,閉合曲線 為:,解,(1)封閉曲線為圓,例,閉合曲線 為:,解,(2)封閉曲線為圓,例,閉合曲線 為:,解,(3)封閉曲線為圓,第三章 復(fù)變函數(shù)的冪級數(shù)展開,31 復(fù)數(shù)項級數(shù),一、復(fù)數(shù)項級數(shù)及其斂散性,推論 若級數(shù) 絕對收斂,則一定收斂。,注意:條件收斂的級數(shù)未必絕對收斂; 絕對收斂的級數(shù)一定收斂。,可將級數(shù)斂散性判斷轉(zhuǎn)化成對正項級數(shù)斂 散性判斷。,例 判別級數(shù) 的斂散性。,解,發(fā)散,發(fā)散,二、復(fù)變項級數(shù)及其斂散性,復(fù)變項級數(shù)的斂散性與復(fù)變數(shù) 的取值有關(guān),定義(收斂點、發(fā)散點),定義(收斂域),復(fù)變項級數(shù)和 是收斂域上的一個復(fù) 變

6、函數(shù),稱為和函數(shù)。,定理(收斂判據(jù)),一致收斂的復(fù)變項級數(shù)性質(zhì),絕對且一致收斂判定定理,32 冪級數(shù),(各項都是冪函數(shù)的復(fù)變項級數(shù)),二、冪級數(shù)的斂散性定理,證明,冪級數(shù)在 z1 點收斂,一定存在常數(shù)M,使,即:冪級數(shù)絕對一致收斂。,則有,定理1指出:冪級數(shù)存在一個收斂半徑 R,推論 如果冪級數(shù)收斂半徑為 R ,則:,證明,絕對收斂,由達(dá)朗貝爾判別法,冪級數(shù)發(fā)散!,是其收斂半徑。,又,絕對收斂,由科西判別法,冪級數(shù)發(fā)散!,是其收斂半徑。,解,解,它們收斂半徑相同,存在,三、冪級數(shù)的性質(zhì),1冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對一致收斂。,2冪級數(shù)可進(jìn)行加、減、乘、除運算。,設(shè),(收斂半徑R1),(收斂半徑R2)

7、,(2),(3),3冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項求導(dǎo)任意多階而 不改變所得新級數(shù)的收斂半徑。,設(shè),4冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可逐項積分而不改變 所得新級數(shù)的收斂半徑。,設(shè),驗證,證明,取,取,取,證明,設(shè),由柯西公式得,33 解析函數(shù)的泰勒(Taylor)級數(shù)展開,證明,在圓 內(nèi)作包含 z 且與 同心的小圓,由柯西公式:,推論 函數(shù) 以它任一解析點 z0 為中 心的泰勒級數(shù)展開是唯一的。,推論 函數(shù) 在區(qū)域B內(nèi)解析的充要條件 是: 在區(qū)域B內(nèi)任一點 z0 處可以展 開成以 z0 為中心的泰勒級數(shù)。,顯然,若,則:,是唯一的。,例1 在 z0=0 鄰域上展開,解,例2 在 z0=0 鄰域上展開,解,例3 在

8、z0=0 鄰域上展開 和,解,解,例4 在 z0=1 鄰域上展開,解,z0=1不是支點 ,按單值函數(shù)展開,例5 在 z0=0 鄰域上展開,解,z0=0不是支點(-1),按單值函數(shù)展開,泰勒級數(shù)展開基本方法:,定理 若 在 內(nèi)解析,且在實軸 (-R,R)上取實值;則 在 z0=0點 的冪級數(shù)的系數(shù)一定是實數(shù)。,證明,當(dāng) ak(z)中 z 沿實軸方向趨于0時:ak=bk,基本初等函數(shù) 均滿足條件(在實軸上取實值)。,泰勒級數(shù)展開的其它方法:可以通過已知冪級數(shù)的運算及性質(zhì)得到f(z)的泰勒級數(shù)。,例6 在 z0=i 鄰域上展開,解,解,34 解析延拓,一、解析函數(shù)四個等價條件,若函數(shù)f(z)在區(qū)域B

9、內(nèi)滿足下面條件之一,函數(shù)f(z)就是區(qū)域B內(nèi)的一個解析函數(shù)。,(1)f(z)在區(qū)域B內(nèi)確定,且處處可導(dǎo)。,(2)f(z)= u + iv 在區(qū)域B內(nèi)連續(xù),u,v 對x、y 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足C-R方程:,(3)f(z)在區(qū)域B內(nèi)連續(xù),且對B內(nèi)任一 逐段光滑閉合曲線C都有,(4)對區(qū)域B內(nèi)任一點,都存在一個鄰域, 在此鄰域內(nèi)f(z)可展為泰勒級數(shù)。,二、解析延拓(定義),設(shè)復(fù)變函數(shù)f(z)是區(qū)域 b 上的解析函 數(shù),而復(fù)變函數(shù)F(z)在區(qū)域 B上解析。 若(1)b 是被B所包含的B的子區(qū)域, (2)在子區(qū)域 b 內(nèi)f(z)= F(z); 則稱F(z)是f(z)的解析延拓。,例,F(z)是 f(

10、z)的解析延拓,在,三、解析延拓的唯一性定理,定理 設(shè) f(z)是區(qū)域 b 上的解析函數(shù),則 用任何一種方法將f(z)延拓到含有b的較大 區(qū)域 B上所得到的解析函數(shù)F(z)是唯一的 。,35 洛朗(Laurent)級數(shù)展開,函數(shù) f(z) 在區(qū)域 B上有奇點時,不能展為泰勒 級數(shù);可在除去奇點的環(huán)域上展為洛朗級數(shù)。,一、洛朗級數(shù),二、洛朗級數(shù)的收斂域、收斂環(huán),洛朗級數(shù)處處發(fā)散,收斂:,收斂域:,三、洛朗級數(shù)展開,證明,對C1:,對C2:,代入積分,令:,第二項 變?yōu)椋?根據(jù)柯西定理,說明,(1)f(z)在 z0 點可以展成洛朗級數(shù)的條件是 在以z0 為中心的環(huán)域 中單值解析。 z0 可以是f(

11、z)的奇點,也可以不是f(z)的奇點。,(2)展開系數(shù),四、在孤立奇點上的洛朗級數(shù)展開,定義(孤立奇點) 若 f(z)在點 z0 的去 心鄰域 內(nèi)解析,但在z0點不解析, 則稱z0為 f(z)的孤立奇點。,五、洛朗級數(shù)展開方法(舉例),例1 在 z = 0 的鄰域展開,解,解,例2 求 (1)在 z = 1鄰域;,(2)在 環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開。,有二個孤立奇點:,(1)在 z = 1鄰域,(2)在 環(huán)域內(nèi):,函數(shù)無奇點,解,例3 求 (1)在 z = 1鄰域;,(2)在 環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)展開。,有二個孤立奇點:,(1)在 z = 1鄰域,(2)在 環(huán)域內(nèi),函數(shù)無奇點,例4 在 z = 0 鄰

12、域展開,解,將,例5 在 z = 1 鄰域展開,解,例6 設(shè) x 是實參數(shù), 在 z = 0 鄰域展開,解,改寫求和指標(biāo),m階貝塞爾函數(shù),36 孤立奇點的分類,一、有限孤立奇點的分類,根據(jù)主要部分可能出現(xiàn)的情況,將孤 立奇點分成三類:,(1)可去奇點:沒有主要部分,例,z=0 為f(z)的可去奇點。,就可去掉奇點。,只要重新定義f(z),對可去奇點有:,(2)極點:主要部分中只有有限項負(fù)冪項,例,z0=1 是f(z)的一階極點(單極點),(3)本性奇點:主要部分有無限多項負(fù)冪項,z0 稱為f(z)的本性奇點。,例,z0=0 是f(z)的本性奇點。,二、各類奇點的判定,(1)可去奇點的判定,定理 f(z)的孤立奇點 z0是可去奇點的充 要條件是:,z0是f(z)的可去奇點,例,z=0 為f(z)的可去奇點,(2)極點的判定,定理 f(z)的孤立奇點 z0是極點的充要 條件是:,z0是f(z)的極點,z0是f(z)的m階極點,在z0點解析,z0是f(z)的m階極點,推論 f(z)的孤立奇點 z0是m階極點的 充要條件是:,定理 f(z)的孤立奇點 z0是本性奇點的 充要條件是: 不存在。,(3)本性奇點的判定,例,不存在,z0=0是 的本性奇點,解,是f(z)的奇點,解,無限多項負(fù)冪項,三、

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