橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及教案

1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案 呼蘭六中王英輝教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo)：理解橢圓的定義及有關(guān)概念；明確橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，能區(qū)分橢圓的焦點(diǎn)在X軸與Y軸上的不同；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的概念，能夠根據(jù)給定的條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括的能力；注重?cái)?shù)形結(jié)合和類比等數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重掌握運(yùn)用解析法研究幾何的一般方法，注重動(dòng)手能力、探索能力的培養(yǎng)。情感目標(biāo)：鼓勵(lì)學(xué)生積極、主動(dòng)的參與教學(xué)的整個(gè)過(guò)程，激發(fā)其求知的欲望；培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神；體驗(yàn)數(shù)與形對(duì)立統(tǒng)一的辯證唯物主義思想。重點(diǎn)、難點(diǎn)及關(guān)鍵重點(diǎn)：橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用；難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；關(guān)鍵：創(chuàng)設(shè)具體的橢圓

2、的直觀情景，結(jié)合建立坐標(biāo)系的一般原則，從“對(duì)稱美”和“簡(jiǎn)潔美”出發(fā)作必要的點(diǎn)撥。教學(xué)方法啟發(fā)、探索教學(xué)手段運(yùn)用多媒體和實(shí)物投影儀輔助教學(xué)教學(xué)過(guò)程創(chuàng)設(shè)情景、引入概念師：我們都知道月亮繞地球旋轉(zhuǎn)，地球繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，那么它們旋轉(zhuǎn)的軌跡是什么呢？（ 多媒體動(dòng)態(tài)演示行星運(yùn)行的軌道）。然后請(qǐng)同學(xué)列舉一些實(shí)際生活中的橢圓形的例子。 生：天體運(yùn)行圖（月亮繞地球，地球繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)）、汽車油罐的橫截面，立體幾何中圓的直觀圖實(shí)物：圓柱形杯傾斜后杯中水的形狀。師：橢圓在實(shí)際生活中是很常見(jiàn)的，學(xué)習(xí)橢圓的有關(guān)知識(shí)也是十分必要的。那么如何統(tǒng)一地研究生活中出現(xiàn)的各種各樣的橢圓呢？這就是我們今天要探究的-橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。嘗試探究

3、、形成概念師：給你兩個(gè)圖釘，一根無(wú)彈性的細(xì)繩，一張紙板，能畫出橢圓嗎？讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圖，使其探究性學(xué)習(xí)，再提出以下問(wèn)題：思考1：在作圖過(guò)程中，有哪些物體的位置沒(méi)變？哪些物體的位置改變？有哪些量沒(méi)有變？哪些量變了。指出繩長(zhǎng)大于圖釘間的距離是畫出橢圓的關(guān)鍵。用多媒體演示從橢圓形成的過(guò)程，結(jié)合學(xué)生的作圖過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生得到橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和是常數(shù)2（大于F1F2=2c）的點(diǎn)的軌跡。兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2稱為焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離稱為焦距，記為2c。若設(shè)M為橢圓上的任意一點(diǎn)，則MF1+MF2=2。思考2：若調(diào)節(jié)兩圖釘?shù)南鄬?duì)位置，所得到的圖形有何變化？標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)師：下面我們

4、一起來(lái)推導(dǎo)橢圓的方程求曲線方程的步驟是什么？生：求曲線方程的步驟是：建立坐標(biāo)系設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：尋找動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件；把幾何條件坐標(biāo)化；化簡(jiǎn)得方程；檢驗(yàn)其完備性師：那么此題應(yīng)如何建立坐標(biāo)系呢？ (讓學(xué)生思考后回答)教師歸納大體上有如下三個(gè)方案：取一個(gè)定點(diǎn)為原點(diǎn)，以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖；以F1，F(xiàn)2所在直線為y軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，最后選定方案，如圖，推導(dǎo)出方程1)建系：以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x，y)，設(shè)兩定

5、點(diǎn)坐標(biāo)為：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，2)則M滿足：|MF1|+|MF2|=2a，4)化簡(jiǎn)a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)化簡(jiǎn)得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)師：到此我們已經(jīng)推導(dǎo)出了橢圓的方程，但此形式還不夠簡(jiǎn)潔，且x，y的系數(shù)形式不一致，為了使方程形式和諧且便于記憶和使用，引入字母b，令，且b0可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 （ab0）。教師指出(*)式就是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后說(shuō)明：1)方程中條件ab0不可缺少(結(jié)合圖形)，當(dāng)a=b0時(shí)，就化成圓心在原點(diǎn)的圓的方程，從而進(jìn)

6、一步說(shuō)明圓是橢圓的特例；(這實(shí)際上是一種極限情況)2)b的選取雖然是為了方程形式簡(jiǎn)潔與和諧，但也有實(shí)際的幾何意義，即：b2=a2-c2；3)請(qǐng)學(xué)生猜想：若用方案 (即焦點(diǎn)在y軸上)，得到的方程形式又如何呢？(啟發(fā)學(xué)生根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行猜想)（觀看電腦）4.兩種類型的橢圓方程的比較：焦點(diǎn)在X軸： F1（-c,0）、F2（c,0） 焦點(diǎn)在Y軸： F1（0,-c）、F2（0,c）【關(guān)系】（讓學(xué)生討論，歸納出這兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程有何異同）含、的分式的分母誰(shuí)大，焦點(diǎn)就在那個(gè)軸上。5.應(yīng)用概念【例1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1（4，0）、 F2（4，0），橢圓上任一點(diǎn)到F1、F2的距離之和為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，）。6練習(xí)（見(jiàn)投影）7.歸納小結(jié)定義式知識(shí)小結(jié)：學(xué)生自己小結(jié)定義 橢圓焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在軸上方法小結(jié)：用坐標(biāo)法研究曲線用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析問(wèn)題解題過(guò)程中注意數(shù)形結(jié)合的方法實(shí)際應(yīng)用：橢圓在天文學(xué)、建筑學(xué)上有廣泛的應(yīng)用。在天文學(xué)上可以精確計(jì)算彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時(shí)間；在建筑學(xué)上可以建造穩(wěn)固的橢圓形隧道拱。同時(shí)橢圓具有美化效果，給人以美的感受。 8.布置作業(yè) 板書設(shè)計(jì)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和是常數(shù)2