(Principle of Digital Communications)-通信原理課件Chapter3

數字通信原理(Principle of Digital Communications),第三章 模擬信號的數字編碼,學習內容,抽樣定理量化PCM的基本概念編碼DPCMM,低通和帶通信號抽樣定理,1.低通采樣定理 若采用間隔TS小于等于1/(2fM)，則頻譜不超過fM赫茲的帶限信號可由其等間隔的采樣值惟一確定。 采用頻率fS2fM稱為奈奎斯特頻率。2.采樣方式 沖激采樣xs(t) 定義沖激序列:,沖激采樣示例,抽樣和重構,沖激采樣xs(t)的傅氏變換：當fS 2fM，無混疊現象，信號可無失真恢復 當fS 2fM，有混疊現象，信號難以無失真恢復,混疊失真的一個例子：信號的波形/頻率發(fā)生變化。,2.采樣方式（續(xù)） 自然采樣xs(t) 定義采樣序列: 自然采用的傅氏變換：采樣序列確定后，cn為常數，可用濾波器無失真地恢復原信號。,自然采樣示例,自然采樣產生設備,自然采樣的譜,和理想抽樣比較一下，發(fā)現，高頻部分沒有頻率分量，包絡形狀就是sinc函數的形狀，換句話，就是PAM的帶寬大于原模擬波形帶寬,帶通抽樣定理 設帶通信號:xB(t)；頻率范圍：fLfH，帶寬：BfHfL 若抽樣頻率滿足： fS = 2B(1+M/N)， 其中N為小于等于fH/B的最大正整數，M = fH/B N，則 用帶通濾波器可無失真地恢復xB(t)。 利用帶通抽樣定理，fS被限定在2B4B范圍內。 （顯然，利用低通抽樣定理也可恢復帶通信號， 此時要求：fS 2fH）,帶通抽樣定理的證明 帶通信號經抽樣后: xS(t) = xB(t)x(t) = xB(t)n （tnTs） 抽樣信號頻譜： XS(f)= XB(f)* X（f）(1/TS)n XB(f - nfS) 要無失真地恢復xB(t)，要求各 XB(f - nfS)成分在頻 譜上無混疊。 一般地，有fH NBMB，其中N為整數，0 M 1。,帶通抽樣定理的證明(續(xù)) 如下圖所示，要使信號頻譜不發(fā)生混疊，應同時滿足： NfS 2fH = 2(NBMB) （1） (N-1)fS + B 2fHB （2）,帶通抽樣定理的證明(續(xù)) 如取滿足（1）式的最小值，有 fS = 2fH/N = 2(B + MB/N)，則 (N-1)fS = 2fH fS 因為 fS 2B，所以 (N-1)fS 2fH - 2B 從而有 (N-1)fSB 2fH B，即滿足（2）式。 即當取 fS = 2B(1 + M/N) 時，抽樣信號頻譜不會發(fā)生混疊， 因而原信號可用帶通濾波器無失真地恢復。 證畢。,標量量化,標量量化的基本原理,對抽樣序列的逐個樣值獨立地進行量化稱為標量量化。其方法是將樣值序列的最大取值范圍劃分成若干相鄰的段落，當某樣值落在某一段落內時，其輸出值就用該段落所對應的某一固定值得來表示。,量化與量化噪聲1.量化量化：將一連續(xù)的無限數集映射成離散的有限數集的過程。 如圖所示： 量化器特性： Yk = Q( Xk X Xk+1) 其中，分層電平(判決電平)：Xk 量化電平: Yk 量化間隔：qk Xk1 Xk,圖7.9.9均勻量化示意圖,3. 量化誤差（噪聲） q = X - Yk = X - Q(X), Xk 1時，可認為 之間的p(x)近似為均勻分布，則,最優(yōu)非均勻量化 設量化前的（壓縮）變換特性為：yC(x)，如下圖所示,最優(yōu)非均勻量化 設信號變化范圍： VP 1 時， 一般地有 利用上式，得 上式中，利用了均勻量化時Yq。,最優(yōu)非均勻量化（續(xù)） 可以證明，給定信號的幅度取值分布特性p(x),最佳的（壓縮） 變換特性由下式確定： 問題：在實際應用中， 信號的p(x)是一個很難確定的和變化 的函數，當發(fā)生變化時導致量化器不匹配。 不匹配的量化器可能導致性能的嚴重下降。 最優(yōu)非均勻量化通常只有理論的意義。,對數（壓縮）變換 通常量化器在小信號時信噪比會變差。 在信號p(x)未知情況下一般希望壓縮特性與信號p(x)無關， 量化信噪比為常數。 假定信號均值 mX0，信號的功率為： 量化信噪比： 顯然，當?。?即： 時 量化信噪比為常數。,對數（壓縮）變換（續(xù)） 整理得： 其中B為常數，考慮信號的正負取值范圍 ?。?即變換特性為對數壓縮特性。 考慮當X-0時，對數函數取值趨于無窮大，一般作線性修 正：- A率壓擴器和率壓擴器。,對數（壓縮）變換（續(xù)） A率壓擴器 率壓擴器。,率量化的Matlab實現,function y,a=mulaw(x,mu)%MULAW mu-law nonlinearity for nonuniform PCM% Y=MULAW(X,MU).% X=input vector. a=max(abs(x);y=(log(1+mu*abs(x/a)./log(1+mu).*signum(x);,function x=invmulaw(y,mu)%INVMULAW the inverse of mu-law nonlinearity%X=INVMULAW(Y,MU) Y=normalized output of the mu-law nonlinearity. x=(1+mu).(abs(y)-1)./mu).*signum(y);,對數（壓縮）變換（續(xù)） 率壓擴器A率壓擴器,歸一化A率壓擴器當 0 = X 1/A, C(X)=AX/(1+lnA), 直線； 當 1/A = X = 1, C(X)=1+ln(AX)/(1+lnA), “對數”曲線； A取不同值時，曲線的變化規(guī)律如下圖所示。 對國際標準A律特性， 取 A87.56 。,A率壓擴器（續(xù)） 歸一化（Xmax/VP = 1）的量化噪聲功率值： 與信號的分布特性有關。 在小信號段，（歸一化信號值滿足：X = 1/A ) Y = C(X) = 87.6/( 1 + ln(87.6)X YdB 20lg87.6/( 1 + ln(87.6)X = 24 + 20lg(X) （dB） A律變換對小信號有24dB的增益。,8-bit PCM系統(tǒng)有無壓擴的輸出SNR比較,A律對數壓縮特性的十三折線法近似實際電路無法輸出光滑的曲線 將A律變換特性近似地用13段折線(包括X負半軸)表示： 其中X取值 01/128與 1/1281/64 段斜率相同， 連成一段。,13折線法的Matlab程序,%demo for u and A law for quantize，filename: a_u_law.m%u=255 y=ln(1+ux)/ln(1+u)%A=87.6 y=Ax/(1+lnA) (0x1/A) y=(1+lnAx)/(1+lnA)clear allclose alldx=0.01;x=-1:dx:1;u=255;A=87.6; %u Lawyu=sign(x).*log(1+u*abs(x)/log(1+u);%A Lawfor i=1:length(x) if abs(x(i)=0 ,function out= pcm_decode(in,v)%decode the input pcm code %in : input the pcm code 8bit/sample%v: quantized leveln=length(in); in = reshape(in,8,n/8);slot(1) = 0;slot(2) = 32;slot(3) = 64;slot(4) = 128;slot(5) = 256;slot(6) = 512;slot(7) = 1024;slot(8) = 2048; step(1) = 2;step(2) = 2;step(3) = 4;step(4) = 8;step(5) = 16;step(6) = 32;step(7) = 64;step(8) = 128; for i=1:n/8 ss = 2*in(i,1)-1; tmp= in(i,2)*4+in(i,3)*2+in(i,4)+1; st = slot(tmp); dt = (in(i,5)*8+in(i,6)*4+in(i,7)*2+in(i,8)*step(tmp) + 0.5*step(tmp); out(i)=ss*(st+dt)/4096*v;end,PCM,脈沖編碼調制（PCM，pulse code modulation）是將模擬信號變換成二進制信號的最基本和最常用的方法，主要包括抽樣、量化和編碼3個過程。,脈沖編碼調制,PAM,PAM脈沖幅度調制是一個工程術語，用來描述模擬波形到脈沖信號的轉換過程，脈沖信號的幅度表示模擬信息有兩種類型的PAM信號：自然抽樣產生和瞬時抽樣產生的平頂脈沖PAM信號,PAM: (a) 輸入信號; (b)抽樣脈沖; (c) PAM信號,脈沖調制: (a)模擬信號; (b)抽樣脈沖; (c) PWM; (d) PPM; (e) PAM; (f) PCM,PWM信號及其頻譜的Matlab代碼,clear all;% be safeN=20000;% FFT sizeN_samp=200;% 200 samples per periodf=1;% frequencybeta = 0.7;% modulation indexperiod = N/N_samp;% sample period (Ts)Max_width = beta*N/N_samp;% maximum widthy=zeros(1,N);% initializefor n=1:N_samp x=sin(2*pi*f*(n-1)/N_samp); width=(period/2)+round(Max_width/2)*x); for k=1:Max_width nn=(n-1)*period+k; if kwidth y(nn)=1;% pulse amplitude end endendymm = y-mean(y);% remove meanz=(1/N)*fft(ymm,N);% compute FFTsubplot(211)stem(0:999,abs(z(1:1000),.k)xlabel(Frequency - Hz.)ylabel(Amplitude)subplot(212)stem(180:220,abs(z(181:221),.k)xlabel(Frequency - Hz.)ylabel(Amplitude),編碼,而把量化后的信號電平值變換成二進制碼組的過程稱為編碼，其逆過程稱為解碼或譯碼。常見的二進制編碼有三種，即：自然二進制碼NBC（Natrual Binary Code）、折疊二進制碼FBC（Folded Binary Code）、格雷二進制碼RBC（Gray or Reflected Binary Code）。PCM通信通常采用折疊碼。,A律正輸入值編碼表,A律對數壓縮特性的十三折線法近似（續(xù)） a）A律PCM編碼規(guī)則：采用8位編碼 M1M2M3M4M5M6M7M8， M1 M2M3M4 M5M6M7M8 極性碼： 段落碼： 電平碼： 0：負極性信號； 表示信號處于那 表示段內16級均勻 1：正極性信號。 一段折線上。 量化電平值。 b）最小量化間距 7位均勻量化：min 1/27 1/128; 13折線法： min (1/27)(1/24) = 1/2048; min / min = 24 = 16，對小信號,SNR改善24dB(20lg16)。,A律對數壓縮特性的十三折線法近似（續(xù)） 13折線法的有關參數：段落號： 1（000） 1（001） 2（010） 3（011） 4（100） 5（101） 6（110） 7（111）（X）0 1/27 1/26 1/25 1/24 1/23 1/22 1/21 1/27 1/26 1/25 1/24 1/23 1/22 1/21 1量化臺階： 2 2 4 8 16 32 64 128 起始電平： 0 32 64 128 256 512 1024 2048終止電平： 32 64 128 256 512 1024 2048 4096,A律對數壓縮特性的十三折線法近似（續(xù)）例：設輸入信號幅度：X 1250*(min/2) 信號值為正，符號為?。? 因為 1024 X Y(實際值) - 線性PCM； 線性PCM - Y(實際值) - 對數PCM。 因為對數PCM最大值共有4096個單位，采用線性PCM表示時， 連符號位共需13位。,變換方法(續(xù)前)（2）查表換算 符號位：當X 0時，1；當X 0時， 0； “*”表示變換時可取0或1（變換誤差）； 1X1表示取X絕對值。 根據線性PCM與對數PCM間的關系，可列表如下： 信號取值范圍 線性PCM 對數PCM 當 1X1 32時， 0000000WXYZ1 000WXYZ 當 32 = 1X1 64時, 0000001WXYZ1 001WXYZ當 64 = 1X1 128時, 000001WXYZ1* 010WXYZ當128 = 1X1 256時, 00001WXYZ1* 011WXYZ當256 = 1X1 512時, 0001WXYZ1* 100WXYZ當512 = 1X1 1024時, 001WXYZ1* 101WXYZ當1024 = 1X1 2048時, 01WXYZ1* 110WXYZ當2048 = 1X1 4096時, 1WXYZ1* 111WXYZ,預測編碼器原理圖,相關信源的限失真編碼,預測編碼,線性預測編碼器原理圖,實現預測編碼要進一步考慮以下三方面問題：,(1) 預測誤差準則的選?。?2) 預測函數的選??；(3) 預測器輸入數據的選取。,DPCM系統(tǒng)原理圖,線性預測的三種基本類型（DPCM）,差分編碼(DPCM)的基本原理 (1) 編碼器與解碼器 定義：x(n):抽樣信號；xe(n):預測信號；xr(n):重建信號； d(n)x(n)-xe(n):差分信號；dq(n):差分信號量化值； I(n): dq(n)的編碼值。 編碼器,量化器,預測器,編碼,x(n),xe(n),d(n),dq(n),xr(n),I(n),解碼器 DPCM系統(tǒng)的誤差e(n) e(n) = x(n)-xr(n) = xe(n)+d(n)-xe(n)+xq(n) = d(n)-dq(n) e(n)只與量化過程有關，也稱e(n)為量化誤差。,解碼,預測器,I(n),dq(n),xe(n),xr(n),DPCM系統(tǒng)的優(yōu)點 當抽樣后的時間序列x(n)具有較強的相關性時，一般有 |d(n)|=|x(n)-xe(n)| 1,若SNRq不變，總的SNR將增加。,信號預測 (1) 極點預測器,量化器,預測器,編碼,x(n),xe(n),d(n),dq(n),xr(n),I(n),解碼,預測器,I(n),dq(n),xe(n),xr(n),(1) 極點預測器（續(xù)前） xe(n) = i=1N aixr(n-i), ai為預測系數； 預測：利用過去值來估計（當前）未來值。 dq(n) d(n) = x(n) - xe(n) = x(n)- i=1N aixr(n-i) xr(n)- i=1N aixr(n-i) 等式兩邊取 Z 變換： dq(Z) （1- i=1N aiZi）Xr(Z) 若定義：H(Z) = Xr(Z)/dq(Z) H(Z) = 1/（1- i=1N aiZi） H(Z)只有極點“極點預測器”（）。,(2) 零點預測器 若取： xe(n) = i=1N bidq(n-i), bi為預測系數； xr(n) = dq(n) xe(n) = dq(n) i=1N bidq(n-i) 等式兩邊取 Z 變換： Xr(Z) （1+ i=1N biZi）dq(Z) 若定義：H(Z) = Xr(Z)/dq(Z) H(Z) = （1 + i=1N biZi） H(Z)只有零點“零點預測器”。,量化器,（1+i=1N biZi）,編碼器,x(n),xe(n),d(n),dq(n),I(n),解碼,I(n),dq(n),xe(n),xr(n),（1+i=1N biZi）,預測器,(2) 零點預測器（續(xù)前） 基于零點預測器的DPCM編碼解碼系統(tǒng),(3) 零極點預測器 若?。?xe(n)= i=1N aixr(n-i)j=1M bjdq(n-j), ai,bj為預測系數； 由：xr(n) = xe(n) + dq(n) - xe(n) = xr(n) - dq(n) 即：xr(n)-dq(n) xe(n) i=1N aixr(n-i)j=1M bjdq(n-j) 又由：H(Z) = Xr(Z)/dq(Z) = 1+j=1M bjZ-j/1-j=1N aiZ-i H(Z)包含零點和極點“零極點預測器”。,(3) 零極點預測器（續(xù)前） 編碼器,量化器,零點預測器,編碼,x(n),xe(n),d(n),dq(n),xr(n),I(n),極點預測器,j=1N bjZj,零點預測器,極點預測器,i=1N aiZi,(3) 零極點預測器（續(xù)前） 解碼器,零點預測器,解碼,xe(n),dq(n),xr(n),I(n),極點預測器,極點預測器系數ai的確定 (1) Ed2最小(最佳預測)條件下極點預測器系數的求解 Ed2(n) = Ex(n)-xe(n)2 = Ex(n)-i=1N aixr(n-i)2 Ex(n)-i=1N aix(n-i)2 令 Ed2/am= -2Ex(n)-i=1N aix(n-i)x(n-m)=0 (*) m = 1,2,3,N 設x(n)廣義平穩(wěn)的隨機序列，則相關函數R(n,n-i)滿足 R(n,n-i) = Ex(n)x(n-i) = R(i) (*)式變?yōu)椋?R(1)=a1R(0)+a2R(1)+aNR(N-1) R(2)=a1R(1)+a2R(0)+aNR(N-2) R(N)=a1R(N-1)+a2R(N-2)+aNR(0) (*1),（1） Ed2最小條件下極點預測器系數的求解(續(xù)前) (*1)式的矩陣形式：解得（假定R(i)為非奇異矩陣）：記為： aopt = Rxx-1rxx,2.最小均方預測誤差Ed2下預測值xe,opt(n)的物理意義 最佳預測值 xe,opt(n) = i=1N ai,optx(n-i)與預測誤差d(n)正交。 （在統(tǒng)計平均意義上），即有： Ed(n)xe,opt(n) = Ex(n)-i=1N ai,optx(n-i)xe,opt(n)=0 (*3) x(n) d(n) xe,opt(n) 注：利用關系式aopt = Rxx-1rxx可證明上式。,極點預測器的最佳預測增益 1. 最佳預測增益 因為： Ed2min = Ex(n)-i=1N ai,optx(n-i)2 = Ex(n)-i=1N ai,optx(n-i)x(n)- - Ex(n)-i=1N ai,optx(n-i) i=1N ai,optx(n-i) 利用最佳預測的性質(*3)式)，右式第二項為零，所以有 Ed2minEx2(n)-Ei=1N ai,optx(n-i)x(n) = Ex2(n)- i=1N ai,optR(i) 由預測增益定義及上式： Gp,opt = Ex2(n)/Ed2(n)min = 1/(1- i=1N ai,optR(i)/Ex2(n) = 1/(1- i=1N ai,optR(i)/R(0),8. 最佳預測增益“飽和”特性 當N 2 時，Gp,opt趨于飽和，所以預測器階數通常取25。,5,10,0,4,8,12,Gp,opt,平均值,自適應預測,線性預測需已知自相關函數,ADPCM編碼器,用自適應預測和量化提高DPCM性能,ADPCM解碼器,PCM原理框圖,線性預測的基本類型（ PCM與噪聲反饋NFC ）,PCM與DPCM的主要區(qū)別有兩點：一是線性預測器輸入的原始數據來源不一樣，PCM是直接從輸入信號xl中選取，而DPCM則是從量化器輸出端ul反饋回來；另一點是量化器所處的位置不一樣，在PCM中，量化器處于反饋環(huán)外，屬于開環(huán)型，而在DPCM中，量化器處于反饋環(huán)內，屬于閉環(huán)型。,噪聲反饋（NFC)原理圖,增量調制,最簡單的DPCM是增量調制，又稱為M。這時差值的量化級最簡單，定為兩級，也就是當差值為正時，輸出“1”，差值為負時，輸出“0”，且每個差值只需1 bit。顯然，為了減少量化失真必須增加取樣率，使它遠大于奈奎斯特取樣率，即遠大于2fm，其中fm為信源信號的上限頻。譯碼時作相反變換，即規(guī)定一個增量值，當收到“1”時，在前一瞬間信號值上加上一個值；收到“0”時，在前一瞬間信號值減去一個值。,概述 (1) 增量調制（M）：一種信源編碼方式；(2) M 調制的特點：每次抽樣只輸出1bit反映輸入信 號波形變換的編碼信號，簡單可靠；(3) M 調制編碼的基本思想：用一階梯波逼近一個連 續(xù)信號；(4) M 調制利用高采樣率保證采樣數據的相關性足夠高，使得 使用簡單的預測器時也可獲得較小的預測誤差；(5) M 調制的特點是接收處理時不需要碼字的幀同步；(6) M 調制的主要應用：軍用通信系統(tǒng)。,簡單增量調制(M)原理 (1) 編碼器與解碼器 定義符號：x(t):輸入模擬信號；x(n): x(t)信號的抽樣值； xl(t):重建(本地譯碼)信號； xl(n):重建信號的樣值； d(t):差值信號；d(n):差值信號樣值； C(n):判決信號輸出。 編碼器 實現方法 原理電路,判決器,積分器,脈沖發(fā)生器,x(t),d(t),xl(t),C(n),抽樣定時,Q ,Z-1,數碼形成,x(n),d(n),xl(n),C(n),dq(n),x(n),系統(tǒng)原理圖,增量調制(M)實現過程 判決輸出: 量化輸出: 編碼輸出: d(t)=x(t)-xl(t) = 0 ; d(n) = 0, dq(n)=+ ; C(n) = 1 ; d(t)=x(t)-xl(t) 0 ; d(n) 0 d(k)=1;else d(k)=-1;end %if xtilde(k)=xhat(k)+d(k)*dels; xhat(k+1)=xtilde(k); end %k,量化噪聲與過載噪聲(續(xù)前) （臨界）無過載失真的最大跟蹤斜率：/Ts = fs 例：對正弦信號：x(t)=Amaxcost |dx(t)/dt|=Amax ，不產生過載失真要求： fs = Amax 。 (b) 量化噪聲 由：e(t)=x(t)-xl(t)， 在無過載的情況下，可認為e(t)在(-，+)內均勻分布，量化噪聲：,(3) 量化噪聲與過載噪聲(續(xù)前) 若將e(t)近似看作一個功率均勻分布在0fS頻帶內的信號， 則功率密度譜為： 設接收端低通濾波器的帶寬為：fB，則接收端收到的總的 噪聲功率為：,(4) 正弦信號臨界過載時的SNRmax 由臨界過載條件： fs = Amax , 正弦信號功率：SA2max/2 信噪比： 因為 30lg29，所以抽樣頻率fS每提高一倍，SNRmax提高 9dB； 20lg26，所以信號頻率f每提高一倍，SNRmax減少 6dB。 對語音信號， fS 通常要比PCM情況下的采樣頻率高幾倍。,Signal-to-noise ratio out of a DM system as a function of step size.,數字壓擴自適應增量調制 (1) 簡單增量調制的缺陷 取值太小，容易產生過載失真； 取值太大，量化噪聲增大。 (2) 數字自適應壓擴式 M 基本原理 自動跟蹤輸入信號的變化，當連“0”或連“1”數目變化時，動 態(tài)調節(jié)的大??； 編碼器,判決器,積分器,脈沖調幅器,x(t),d(t),xl(t),C(n),抽樣定時,極性控制,平滑電路,連碼檢測,2. 數字自適應壓擴式 M 基本原理（續(xù)前） 連碼檢測電路：檢測連“0”或連“1”數目，獲取自適應改變的 信息。 平滑(積分)電路：將檢測輸出的數字信號平滑后控制調幅器； 極性控制：決定脈沖的極性 “0” 對應負脈沖； “1” 對應正脈沖。 調幅器：動態(tài)確定的幅度大小。 判決器與積分器：作用與普通的M中的相應部件功能相同。,極性控制,積分器,脈沖調幅器,C(n),x(n),平滑電路,連碼檢測,2. 數字自適應壓擴式 M 基本原理（續(xù)前） 解碼器：,低通濾波器,自適應DM,(3) 數字自適應壓擴式 M 信噪比改善 信號幅度的下降對信噪比的影響遠較簡單增量調制時小。,自適應DM Matlab代碼,%From Haykin book% adaptive delta modulation for sinwave% Generating sin wave(omitted)% Adaptive Delta Modulationd(1:n)=1;for k=2:nif (x(k)-xhat(k-1) 0 )d(k)=1;else d(k)=-1;end %ifif k=2 xhat(k)=d(k)*mindels+xhat(k-1);endif (xhat(k)-xhat(k-1) 0) if (d(k-1) = -1 endendend,增量總和(-)調制 (1) 簡單增量調制的缺陷 臨界過載條件： fs = Amax 與信號頻率 有關； 信號頻率越高，越容易產生過載； (2) 增量總和(-)M 基本原理 編碼時，對信號作“積分”變換：A() A()/j 臨界過載條件： （A()/j） A()， 僅由信號幅度確定，與信號頻率“無關”。 解碼時，對信號作相反的（“微分”）變換，恢復原信號。,(3) 增量總和(-)M 原理電路 編碼器 解碼器 積分與微分的作用相互抵消，兩部分電路可省略。,判決器,積分器,脈沖發(fā)生器,x(t),d(t),xl(t),C(n),抽樣定時,積分器,C,C,積分器,脈沖發(fā)生器,低通濾波器,C(n),x(t),微分器