2019_2020學年高中數學第2章空間向量與立體幾何章末復習課學案北師大版.docx

第2章 空間向量與立體幾何1空間向量的概念與運算(1)空間向量有關概念與平面向量的有關概念類似(2)空間向量的運算包括加、減、數乘及數量積運算，加法、減法、數乘運算稱為線性運算，結果仍為向量，加減算法可運用平行四邊形法則與三角形法則進行運算；數量積運算結果為實數2空間向量的坐標運算設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)(R)；aba1b1a2b2a3b3；aba1b1a2b2a3b30；aba1b1，a2b2，a3b3(R)；|a|2aa|a|(向量模與向量之間的轉化)；cosa，b；設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)，|3空間中點、線、面位置關系的向量表示設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為，v，則線線平行l(wèi)mabakb，kR線面平行l(wèi)aa0面面平行vkv，kR線線垂直lmabab0線面垂直laak，kR面面垂直vv0線線夾角l，m的夾角為，cos 線面夾角l，的夾角為，sin 面面夾角，的夾角為，cos 4.空間距離的計算(1)點到直線的距離若直線l的方向向量為s，s0，點P是直線l上的點，點A是直線外任一點，則點A到直線l的距離d(2)點到平面的距離若n0為平面的單位法向量，點P是平面內一點，點A是平面外一點，則點A到該平面的距離d|空間向量及其運算【例1】(1)如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結論：0；0；0；0，其中正確結論的序號是_(2)如圖，在平行六面體A1B1C1D1ABCD中，M分成的比為，N分成的比為2，設a，b，c，試用a、b、c表示.(1)容易推出：0，所以正確；又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正確，其余三個都不正確，故正確結論的序號是.(2)連接AN，則.由已知ABCD是平行四邊形，故ab，又M分成的比為，故(ab)由已知，N分成的比為2，故(c2b)，于是(ab)(c2b)(abc)向量的表示與運算的關鍵是熟練掌握向量加減運算的平行四邊形法則、三角形法則及各運算公式，理解向量運算法則、運算律及其幾何意義1(1)已知a(2，1，3)，b(0，1，2)，則2a3b_；(ab)(ab)_(2)如圖所示，已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且PMMC21，N為PD中點，則滿足xyz的實數x_，y_，z_(1)(4，1，0)9(2)(1)2a3b(4，2，6)(0，3，6)(4，1，0)(ab)(ab)a2b24190149.(2)在PD上取一點F，使PFFD21，連接MF，則，()，x，y，z.利用空間向量解決位置關系問題【例2】正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中點，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3，若PQAE，求的值思路探究建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用0求解的值解以D為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略)，設正方體棱長為1，則A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)由題意，可設點P的坐標為(a，a，1)，因為3，所以3(a1，a1，0)(a，a，0)，所以3a3a，解得a，所以點P的坐標為.由題意可設點Q的坐標為(b，b，0)，因為PQAE，所以0，所以0，即0，解得b，所以點Q的坐標為，因為，所以(1，1，0)，所以1，故4.1.(變條件)若本例中的PQAE改為B1QEQ，其它條件不變，結果如何？解以D為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，點Q的坐標為(c，c，0)，因為B1QEQ，所以0，所以(c1，c1，1)0，即c(c1)c(c1)0，4c24c10，解得c，所以點Q的坐標為，所以點Q是線段BD的中點，所以2，故2.2.(變條件)本例中若G是A1D的中點，點H在平面xOy上，且GHBD1，試判斷點H的位置解以D為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，因為G是A1D的中點，所以點G的坐標為，因為點H在平面xOy上，設點H的坐標為(m，n，0)，因為(m，n，0)，(0，0，1)(1，1，0)(1，1，1)，且GH，所以，解得m1，n.所以點H的坐標為，所以H為線段AB的中點用空間向量判斷空間中的位置關系的常用方法1線線平行證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量2線線垂直證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直，則abab0.3線面平行用向量證明線面平行的方法主要有：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明可在平面內找到一個向量與直線的方向向量是共線向量；利用共面向量定理，即證明可在平面內找到兩不共線向量線性表示直線的方向向量4線面垂直用向量證明線面垂直的方法主要有：證明直線的方向向量與平面的法向量平行；利用線面垂直的判定定理轉化為線線垂直問題5面面平行證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；轉化為線面平行、線線平行問題6面面垂直證明兩個平面的法向量互相垂直；轉化為線面垂直、線線垂直問題利用空間向量求空間角【例3】如圖所示四棱錐PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PAAD2，點M，N分別在棱PD，PC上，且PC平面AMN.(1)求AM與PD的夾角；(2)求二面角PAMN的余弦值；(3)求直線CD與平面AMN夾角的余弦值思路探究易觀察知PA、AB、AD兩兩垂直，以A為原點建立直角坐標系，用向量法求解解建立如圖所示的空間直角坐標系A(0，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，B(2，0，0)，(2，2，2) (0，2，2)設M(x1，y1，z1)，(x1，y1，z12)(0，2，2)，x10，y12，z122，M(0，2，22)PC平面AMN，0，(2，2，2)(0，2，22)042(22)0，M(0，1，1)設N(x2，y2，z2)，t，(x2，y2，z22)t(2，2，2)，x22t，y22t，z22t2，N(2t，2t，22t)，0，(2t，2t，22t)(2，2，2)0，4t4t2(22t)0，t，N.(1)cos ，0，AM與PD夾角為90.(2)AB平面PAD，PC平面AMN，分別是平面PAD，平面AMN的法向量，二面角PAMN的余弦值，cos .(3)直線CD的方向向量(2，0，0)，平面AMN的法向量(2，2，2)，直線CD與平面AMN夾角的正弦值sin .直線CD與平面AMN夾角的余弦值為.1求異面直線的夾角設兩異面直線的方向向量分別為n1、n2，那么這兩條異面直線的夾角為n1，n2或n1，n2，cos |cosn1，n2|.2求面面的夾角如圖，設平面、的法向量分別為n1、n2.因為兩平面的法向量的夾角(或其補角)就等于平面、的夾角，所以cos |cosn1，n2|.3求斜線與平面的夾角如圖，設平面的法向量為n1，斜線OA的方向向量為n2，斜線OA與平面的夾角為，則sin |cosn1，n2|.2如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE與AD的交點，ACBC，且ACBC.(1)求證：AM平面EBC；(2)求直線AB與平面EBC的夾角；(3)求平面EAB與平面EBC的夾角解(1)證明：四邊形ACDE是正方形，EAAC，平面ACDE平面ABC，EA平面ABC.可以以點A為原點，以過A點平行于BC的直線為x軸，分別以AC和AE所在直線為y軸和z軸，建立空間直角坐標系Axyz.設EAACBC2，則A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)M是正方形ACDE的對角線的交點，M(0，1，1)(0，1，1)，(0，2，2)，(2，0，0)，0，0.AMEC，AMCB.又ECCBC，AM平面EBC，AM平面EBC.(2)AM平面EBC，為平面EBC的一個法向量(0，1，1)，(2，2，0)，cos，.，60.直線AB與平面EBC的夾角為30.(3)設平面EAB的法向量為n(x，y，z)，則n，且n，n0且n0.即取y1，x1.n(1，1，0)又為平面EBC的一個法向量，且(0，1，1)，cosn，.設平面EAB與平面EBC的夾角為，則cos |cosn，|，60.平面EAB與平面EBC的夾角60.利用空間向量求空間距離【例4】如圖所示，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點，求：(1)與所成的角；(2)P點到平面EFB的距離；(3)異面直線PM與FQ的距離解如圖，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，則由中點坐標公式得P，Q.(1)，所以0(a)a2，且|a，|a，所以cos，.所以與所成的角為150.(2)設n(x，y，z)是平面EFB的單位法向量，即|n|1，n平面EFB，所以n，且n.又(a，a，0)，(0，a，a)，所以得其中的一個解是所以n.又.設所求距離為d，則d|n|a.(3)設e(x1，y1，z1)是兩異面直線的公垂線上的單位方向向量，則由，得求得其中的一個解e.而(0，a，0)，設所求距離為m，則m|e|a|a.1空間距離有兩點距、點線距、點面距、線線距、線面距和面面距六種情況，高考中以兩點距與點面距為重點考查，而線面距、面面距通?？赊D化為點面距求解2點面距主要利用平面法向量求解，有時也利用等體積轉化法求解4如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是A1B1，CD的中點，求點B到截面AEC1F的距離解以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，0)，F， E，B(1，1，0)，.設平面AEC1F的一個法向量為n(1，)，則n0，n0.，n(1，2，1)又(0，1，0)，點B到截面AEC1F的距離d.轉化與化歸思想的應用【例5】如圖，在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M為AB的中點(1)證明：ACBS；(2)求二面角SCMA的余弦值；(3)求點B到平面SCM的距離解(1)證明：取AC的中點O，連接SO、BO，由題意易知OS、OA、OB兩兩垂直如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，則A(2，0，0)，C(2，0，0)，S(0，0，2)，B(0，2，0)(4，0，0)，(0，2，2)(4，0，0)(0，2，2)0，ACBS.(2)由(1)得M(1，0)，(3，0)，(2，0，2)設n(x，y，z)為平面SCM的一個法向量，則取z1，則x1，y，n(1，1)又(0，0，2)為平面ABC的一個法向量，cosn，.二面角SCMA的余弦值為.(3)由(1)(2)得(2，2，0)，又n(1，1)為平面SCM的一個法向量點B到平面SCM的距離為d.轉化化歸的思想方法是本章最主要的思想方法，一方面把空間中的平行、垂直、夾角、距離等問題轉化為有關的向量計算；另一方面，將異面直線間的距離、平行的直線與平面間的距離、平行平面間的距離轉化成點到面的距離，這些都是這一思想方法的具體