Matlab筆記——數(shù)值計算—高數(shù)篇015.docx

15. 數(shù)值計算高數(shù)篇一、求極限limit(f,x,a)求極限 limit(f,x,a,right)求右極限limit(f,x,a,left)求左極限例1求代碼：syms x;y=(3*x2+5)/(5*x+3)*sin(2/x);limit(y,x,inf)運行結(jié)果：ans =6/5注：Matlab求二元函數(shù)的極限，是用嵌套limit函數(shù)實現(xiàn)的，相當(dāng)于求的是累次極限，需要注意：有時候累次極限并不等于極限。例2求代碼：syms x a b;y=(ax+bx)/2)(3/x);limit(y,x,0,right)運行結(jié)果：ans =a(3/2)*b(3/2)二、求導(dǎo) diff(f,x,n)求函數(shù)f關(guān)于x的n階導(dǎo)數(shù)，默認(rèn)n=1例3 求的1階導(dǎo)數(shù)，并繪圖代碼：syms x a b;y=(ax+bx)/2)(3/x);limit(y,x,0,right)運行結(jié)果：y1 =cos(x)/(cos(x) + 1) + (sin(x)*(sin(x) + 1)/(cos(x) + 1)2例4設(shè)，求代碼：syms x y;z=exp(sin(x*y);zx=diff(z,x)zy=diff(z,y)zxy=diff(zx,y) % 也等于diff(zy,x)運行結(jié)果：zx =y*exp(sin(x*y)*cos(x*y)zy =x*exp(sin(x*y)*cos(x*y)zxy =x*y*exp(sin(x*y)*cos(x*y)2 + exp(sin(x*y)*cos(x*y)x*y*exp(sin(x*y)*sin(x*y)三、求極值1. 一元函數(shù)極值 x0,min=fminbnd(f, a, b)返回函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的極小值點和極小值例5求函數(shù)在區(qū)間(-2,4)上的極值代碼：f=(x) 2*x3-6*x2-18*x+7;g=(x) -2*x3+6*x2+18*x-7;x0,min=fminbnd(f,-2,4)x1,max=fminbnd(g,-2,4)fplot(f,-2,4);運行結(jié)果：x0 = 3.0000min =-47.0000x1 = -1.0000max = -17.00002. 多元函數(shù)極值X1,f1=fminunc(f,X0)處理連續(xù)情形X1,f1=fminsearch(f,X0)可以處理不連續(xù)情形二者用法相同，返回極小值點和極小值，其中X為初始點。例6 求的極小值代碼：f=(x) (1-x(1)2+100*(x(2)-x(1)2)2;x0=-5 -2;x1,f1=fminsearch(f,x0)運行結(jié)果：x1 = 1.0000 1.0000f1 = 2.7969e-010四、求不定積分與定積分1. 符號積分int(f,x)求f(x)關(guān)于x的不定積分int(f,x,a,b)求f(x)關(guān)于x的從a到b的定積分例7求積分和代碼：syms x a;int(log(x)-a)/x2,x)int(log(x)-a)/x2,x,1,inf)運行結(jié)果：ans =-(log(x) - a + 1)/xans =1 a注：不定積分的結(jié)果是忽略任意常數(shù)C的。2. 二重積分可以化為累次積分，再用兩次int函數(shù)實現(xiàn)。例8求二重積分, 先化為累次積分：原式=代碼：syms x y;int(int(1+x+y,y,-sqrt(1-x2),sqrt(1-x2),x,-1,1)運行結(jié)果：ans =pi3. 數(shù)值積分quad(f,a,b)辛普森法定積分，默認(rèn)誤差為10-6，低精度的非光滑曲線計算中是最有效；quadl(f, a, b)Lobatto法定積分，在高精度的光滑曲線計算中更為高效；quad2d(f, a, b, c, d)二重積分，其中f(x,y)為二元函數(shù)，a, b為x的范圍，c(x), d(x)為y的范圍；例9求代碼：f=(x) (log(x)-1)./x.2; % 注意.不能忽略y=quad(f,1,10)運行結(jié)果：y = -0.2303例10用數(shù)值積分法求解例8.代碼：quad2d(x,y) 1+x+y, -1, 1, (x) -sqrt(1-x.2), (x) sqrt(1-x.2), AbsTol, 1e-12) % 注意點運算運行結(jié)果：ans = 3.1416或者用兩次quad函數(shù)，中間需要用arrayfun函數(shù)做向量值化處理，該方法可以推廣到三重積分。quad(x) arrayfun(xx) quad(y) 1+xx+y, -sqrt(1-xx.2),sqrt(1-xx.2),x), -1,1)程序說明：先對f(x,y)關(guān)于y從-sqrt(1-x.2)到sqrt(1-x.2)做一次積分，為了后面使用變量名x，這里先用xx，得到一個關(guān)于xx的函數(shù)（只能接受自變量為標(biāo)量xx）：quad(y) 1+xx+y, -sqrt(1-xx.2),sqrt(1-xx.2)然后用arrayfun函數(shù)把上一步得到的xx的函數(shù)，處理成能接受向量值x（是個x的函數(shù)）：(x) arrayfun(xx) quad(y) 1+xx+y, -sqrt(1-xx.2),sqrt(1-xx.2),x)最后，再關(guān)于x做一次積分。五、泰勒級數(shù)、傅里葉級數(shù)展開taylor(f,n,x,a)將函數(shù)f(x)在x=a點處展開為n-1階泰勒級數(shù)fseries(f,x,n,a,b)將函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)展開n項傅里葉級數(shù)注：Matlab未提供傅里葉級數(shù)展開函數(shù)，fseries函數(shù)來自論壇。例11求在x=4處展開到2階泰勒式，在的傅里葉展開。代碼：syms a x;f=a/(x-10);y1=taylor(f,3,x,4)g=x2+x;an,bn,f=fseries(g,x,3,-pi,pi)運行結(jié)果：y1 =- a/6 - (a*(x - 4)/36 - (a*(x - 4)2)/216an = (2*pi2)/3, -4, 1, -4/9bn = 2, -1, 2/3 f =cos(2*x) - (4*cos(3*x)/9 - sin(2*x) + (2*sin(3*x)/3 - 4*cos(x) + 2*sin(x) + pi2/3六、求級數(shù)symsum(f, k, m,n)例12求級數(shù)syms n;symsum(-1)(n+1)/(n+1)2,n,1,inf)運行結(jié)果：ans =1 - pi2/12七、代數(shù)方程1. 求代數(shù)方程的解析解solve(eq1,eq2,var1,var2,)例13解方程的x和b，以及方程組代碼：syms a b c x;solve(a*x2+b*x+c,x)solve(a*x2+b*x+c,b)x,y=solve(x+y=1,x-11*y=5,x,y)運行結(jié)果：ans = -(b + (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a)-(b - (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a)ans =-(a*x2 + c)/xx =4/3 y =-1/32. 非線性方程（組）數(shù)值解fsolve(f,x0)求方程f(x)=0在x0附近的近似解，也可以解方程組注：一元連續(xù)函數(shù)的根，可以用fzero(f,x0)例14求解方程。代碼：f=(x) x-exp(-x);x1=fsolve(f,0)運行結(jié)果：x1 = 0.5671例15求解方程組代碼：F=(x) 2*x(1)-x(2)-exp(-x(1); -x(1)+2*x(2)-exp(-x(2);x,fval=fsolve(F,-5;-5)運行結(jié)果：x = 0.5671 0.5671fval = 1.0e-006 * -0.4059 -0.4059八、常微分方程（組）1. 求解析解dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,t)默認(rèn)自變量為t，cond1,2為初值條件，若有足夠初值條件，則得到特解；否則得到通解。若解不出解析解，只能用ode23或ode45求數(shù)值解。用Dy, D2y,表示；用D2y(e)=a表示.例16求解微分方程代碼：y1=dsolve(y*D2y-Dy2=0,x)運行結(jié)果：y1 = C4exp(C3 - C2*x)（注：兩個解）例17求解微分方程組代碼：X,Y=dsolve(Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t),x(0)=2,y(0)=0)運行結(jié)果：X =4*cos(t) - 2/exp(2*t) + 3*sin(t) - (2*sin(t)/exp(t)Y =sin(t) - 2*cos(t) + (2*cos(t)/exp(t)2. 求數(shù)值集（利用求解器）實際問題中，許多常微分方程（組）是求不出解析解的，Matlab提供了多個求數(shù)值集的求解器solver.求解器ODE類型特點說明ode45非剛性一步算法，4,5階Runge-Kutta方法累積截斷誤差大部分場合的首選算法ode23非剛性一步算法，2,3階Runge-Kutta方法累積截斷誤差使用于精度較低的情形ode113非剛性多步法，Adams算法，高低精度均可達(dá)到計算時間比ode45短ode23t適度剛性采用梯形算法適度剛性情形ode15s剛性多步法，Gears反向數(shù)值積分，精度中等若ode45失效時，可嘗試使用ode23s剛性一步法，2階Rosebrock算法，低精度。當(dāng)精度較低時，計算時間比ode15s短調(diào)用格式：T,X=solver(odefun, tspan, X0)其中，tspan為求解區(qū)間；X0為初值條件向量；先改寫高階微分方程做變量代換處理：令，得到，例18求解描述振蕩器的經(jīng)典Ver der Pol微分方程（?。?，做變量代換處理