經(jīng)典雙曲線知識點.doc

雙曲線：了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程；了解雙曲線的簡單幾何性質。重點：雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及簡單的幾何性質. 難點：雙曲線的標準方程，雙曲線的漸進線.知識點一：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1. 雙曲線的定義中，常數(shù)應當滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關性質“兩邊之差小于第三邊”來理解；2. 若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；3. 若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；4若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；5若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識點二：雙曲線的標準方程1當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；2當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中.注意： 1只有當雙曲線的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時,才能得到雙曲線的標準方程； 2在雙曲線的兩種標準方程中，都有； 3雙曲線的焦點總在實軸上，即系數(shù)為正的項所對應的坐標軸上.當?shù)南禂?shù)為正時，焦點在軸上，雙曲線的焦點坐標為，；當?shù)南禂?shù)為正時，焦點在軸上，雙曲線的焦點坐標為，.知識點三：雙曲線的簡單幾何性質雙曲線（a0，b0）的簡單幾何性質（1）對稱性：對于雙曲線標準方程（a0，b0），把x換成x，或把y換成y，或把x、y同時換成x、y，方程都不變，所以雙曲線（a0，b0）是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。（2）范圍：雙曲線上所有的點都在兩條平行直線x=a和x=a的兩側，是無限延伸的。因此雙曲線上點的橫坐標滿足x-a或xa。（3）頂點：雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點。雙曲線（a0，b0）與坐標軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點，坐標分別為A1（a，0），A2（a，0），頂點是雙曲線兩支上的點中距離最近的點。兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸；設B1（0，b），B2（0，b）為y軸上的兩個點，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實軸和虛軸的長度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。注意：雙曲線只有兩個頂點，而橢圓有四個頂點，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。 雙曲線的焦點總在實軸上。實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線。（4）離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。因為ca0，所以雙曲線的離心率。由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線，所以離心率。（5）漸近線：經(jīng)過點A2、A1作y軸的平行線x=a，經(jīng)過點B1、B2作x軸的平行線y=b，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是。我們把直線叫做雙曲線的漸近線。注意：雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。知識點四：雙曲線與的區(qū)別和聯(lián)系標準方程圖形性質焦點，焦距范圍，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點軸實軸長=，虛軸長= 離心率準線方程漸近線方程知識點五：雙曲線的漸近線：（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為注意：（1）已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設為（，焦點在軸上，焦點在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設為.知識點六：雙曲線圖像中線段的幾何特征： 雙曲線，如圖：（1）實軸長，虛軸長,焦距，（2）離心率：；（3）頂點到焦點的距離：，；（4）中結合定義與余弦定理，將有關線段、和角結合起來.1如何確定雙曲線的標準方程？當且僅當雙曲線的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，雙曲線的方程才是標準方程形式。此時，雙曲線的焦點在坐標軸上。2雙曲線標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：ca，cb，且c2=b2+a2。3如何由雙曲線標準方程判斷焦點位置雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上。注意：對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上。4方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線。當時，雙曲線的焦點在x軸上；當時，雙曲線的焦點在y軸上。5求雙曲線標準方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。注意：若定義中“差的絕對值”中的絕對值去掉，點的集合成為雙曲線的一支，先確定方程類型，再確定參數(shù)a、b，即先定型，再定量。若兩種類型都有可能，則需分類討論。6如何解決與焦點三角形PF1F2（P為雙曲線上的點）有關的計算問題？ 與焦點三角形有關的計算問題時，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、，有關角結合起來，建立、之間的關系.7如何確定離心率e的取值情況與雙曲線形狀的關系？ ：離心率，因為c2=a2+b2，用a、b表示為，當e越大時，越大，即漸近線夾角（含x軸）越大，故開口越大；反之，e越小，開口越小。離心率反映了雙曲線開口的大小，且e1。8橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系： 橢圓雙曲線根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|MF2|=2aac0，a2c2=b2（b0）0ac，c2a2=b2（b0），（ab0），（a0，b0，a不一定大于b）標準方程統(tǒng)一為：類型一：雙曲線的定義1已知O1：(x+5)2+y2=4，O2：(x5)2+y2=9（1）若動圓P與1，2均內(nèi)切，求動圓圓心P點的軌跡；（2）若動圓Q與1，2均外切，求動圓圓心Q點的軌跡。解析：（1）設P半徑為R， O1與O2相離， |PO1|=R2，|PO2|=R3 |PO1|PO2|=1，又|O1O2|=10由雙曲線的定義，P點的軌跡是以O1，O2為焦點，2a=1，2c10的雙曲線的右支。（2）設Q半徑為r，則|QO1|=r+2，|QO2|=r+3 |QO2|QO1|=1，又|O1O2|=10 由雙曲線的定義，Q點的軌跡是以O1，O2為焦點，2a=1，2c10的雙曲線的左支。舉一反三：【變式1】已知定點F1(2,0)、F2(2,0)，平面內(nèi)滿足下列條件的動點P的軌跡為雙曲線的是（ ）A|PF1|PF2|=3B|PF1|PF2|=4C|PF1|PF2|=5 D|PF1|2|PF2|2=4 【答案】A【變式2】已知點F1(0,13)、F2(0,13)，動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26，則動點P的軌跡方程為（ ）Ay=0 By=0（x13或x13）Cx=0（|y|13）D以上都不對【答案】C【變式3】已知點P(x,y)的坐標滿足，則動點P的軌跡是（ ）A橢圓 B雙曲線中的一支 C兩條射線 D以上都不對 答案：B類型二：雙曲線的標準方程： 2求與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線的標準方程。解法一：依題意設雙曲線方程為=1由已知得，又雙曲線過點， ：故所求雙曲線的方程為.解法二：依題意設雙曲線方程為，將點代入，解得，所以雙曲線方程為.【變式1】求與橢圓有共同的焦點，且過點的雙曲線的標準方程?！敬鸢浮恳李}意設雙曲線方程為 由已知得，又雙曲線過點， 故所求雙曲線的方程為.【變式2】求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且頂點在軸，焦距為10，的雙曲線的標準方程.【答案】3已知雙曲線的兩個焦點F1、F2之間的距離為26，雙曲線上一點到兩焦點的距離之差的絕對值為24，求雙曲線的標準方程。解析：由題意得2a=24，2c=26。a=12，c=13，b2=132122=25。當雙曲線的焦點在x軸上時，雙曲線的方程為； 當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的方程為。總結升華：求雙曲線的標準方程就是求a2、b2的值，同時還要確定焦點所在的坐標軸。雙曲線所在的坐標軸，不像橢圓那樣看x2、y2的分母的大小，而是看x2、y2的系數(shù)的正負?！咀兪健壳笾行脑谠c，對稱軸為坐標軸，且虛軸長與實軸長的比為，焦距為10的雙曲線的標準方程.【答案】由已知設, ，則()依題意，解得.當雙曲線的焦點在x軸上時，雙曲線的方程為 當雙曲線的焦點在y軸上時，雙曲線的方程為.類型三：雙曲線的幾何性質4方程表示雙曲線，求實數(shù)m的取值范圍。解析：由題意得或或。實數(shù)m的取值范圍為?？偨Y升華：方程Ax2+By2=1表示雙曲線時，A、B異號?！咀兪?】k9是方程表示雙曲線的（ ）A充分必要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分又不必要條件【答案】B【變式2】求雙曲線的焦距?！敬鸢浮?【變式3】已知雙曲線8kx2ky2=2的一個焦點為，則k的值等于（ ）A2 B1 C1 D【答案】C【變式4】（2011 湖南）設雙曲線的漸近線方程為，則的值為A4 B3 C2 D1【答案】C5已知雙曲線方程，求漸近線方程。（1）；（2）；（3）；（4）解析：（1）雙曲線的漸近線方程為：即（2）雙曲線的漸近線方程為： 即（3）雙曲線的漸近線方程為： 即（4）雙曲線的漸近線方程為：即總結升華：雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為即；若雙曲線的方程為（，焦點在軸上，焦點在y軸上），則其漸近線方程為?！咀兪?】求下列雙曲線方程的漸近線方程。：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【變式2】中心在坐標原點，離心率為的圓錐曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為（ ）AB CD【答案】D6根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。（1)與雙曲線有共同的漸近線，且過點；（2）一漸近線方程為，且雙曲線過點。解析：（1）解法一： 當焦點在x軸上時，設雙曲線的方程為 由題意，得，解得， 所以雙曲線的方程為當焦點在y軸上時，設雙曲線的方程為 由題意，得，解得，（舍去） 綜上所得，雙曲線的方程為 解法二：設所求雙曲線方程為（），將點代入得，所以雙曲線方程為即（2）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是. 故設雙曲線方程為，點在雙曲線上， ，解得， 所求雙曲線方程為.總結升華：求雙曲線的方程，關鍵是求、，在解題過程中應熟悉各元素（、及準線）之間的關系，并注意方程思想的應用。若已知雙曲線的漸近線方程，可設雙曲線方程為（）.【變式1】中心在原點，一個焦點在(0,3)，一條漸近線為的雙曲線方程是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D【變式2】過點(2，-2)且與雙曲線有公共漸進線的雙曲線是 ( )AB CD【答案】A 【變式3】以為漸近線的雙曲線方程不可能是（ ）A4x29y2=1 B9y24x2=1 C4x29y2=（R且0） D9x24y2=（R且0）【答案】D【變式4】雙曲線與有相同的（ ）A實軸 B焦點 C漸近線 D以上都不對 【答案】C類型四：雙曲線的離心率：7已知是雙曲線的左、右焦點,過且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點,若是正三角形,求雙曲線的離心率。解析：，是正三角形， ，【變式1】已知雙曲線-=1與x軸正半軸交于A點，F(xiàn)是它的左焦點，設B點坐標為(0,b)，且ABBF，則雙曲線的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、【答案】B 【變式2】 若橢圓的離心率為,則雙曲線的離心率為_【答案】【變式3】 雙曲線的漸進線方程,則雙曲線的離心率為_ 【答案】【變式4】 等軸雙